Controlli Automatici - Parte A

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1 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 2 febbraio Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Quali dei seguenti sistemi sono instabili? s+2 G(s) = s 2 (s+3)(2s+1) s 2 G(s) = (3s+1)(s 2 +4) s+2 G(s) = s(s 2 +1)(s+3) s+2 G(s) = (3s+1)(s 2 4) 2. La pendenza iniziale (cioè il valore iniziale della derivata) della risposta al gradino y(t) del sistema definito 2s 2 8 dalla funzione di trasferimento G(s) = (s+4)(2s+2) vale: ẏ() = ẏ() = 1 ẏ() = 1 ẏ() = 3. La risposta all impulso del sistema descritto dala funzione di trasferimento G(s) = g(t) = e t +e 1 3 t g(t) = 3 2 e t 3 2 e 3t 1 (s+1)(s/3+1) risulta: g(t) = 3 2 et 3 2 e3t g(t) = e t +e 3t 4. Le due funzioni di trasferimento G 1 (s) = lo stesso guadagno statico 1 s 2 +.2s+1 e G 1 1(s) = s 2 +.4s+4 lo stesso tempo di assestamento nella riposta al gradino la stessa sovraelongazione nella risposta al gradino lo stesso periodo delle oscillazioni nella risposta al gradino sono caratterizzate da: 5. L equazione differenziale ÿ +3cos(t)y = 2x, dove x è l ingresso, y l uscita e t la variabile tempo, è lineare non lineare stazionaria non stazionaria

2 25 6. Ponendo la funzione di trasferimento G(s) = s(s+1)(s+5) 2 inretroazione(epostochequestasiastabile) l errore a regime per ingresso a rampa X(s) = 4 s 2 sarà: nullo costante e pari a.4 costante e pari a.1 infinito 7. Dato il sistema meccanico di figura composto da masse, molle e smorzatori, quale sarà l ordine della funzione di trasferimento tra ingresso F(t) e uscita v 2 (t): 1 2 K 1 M 1 K 2 M 2 F(t) 3 4 B 1 v1 (t) v 2 (t) 5 8. Se gli elementi della prima colonna della tabella di Routh di una equazione caratteristica di 3 grado sono tutti positivi tranne uno che è negativo, ne segue che l equazione caratteristica può avere una coppia di radici complesse coniugate a parte reale positiva ha solo una radice a parte reale positiva ha almeno una radice a parte reale positiva 9. La funzione di risposta armonica permette di determinare: la risposta libera di un sistema il valore a regime della risposta forzata di un sistema con segnale di ingresso sinusoidale il valore a regime della risposta forzata di un sistema con segnale di ingresso costante 1. Il diagrammadi Bode delle ampiezze del sistema G(s) = (s+z 1)(s+z 2 ) s(s+p 1 )(s+p 2 ) e τs con < z 1 < z 2 < p 1 < p 2, per ω presenta una: pendenza di -2 db/decade pendenza di -4 db/decade pendenza di -6 db/decade pendenza di -8 db/decade

3 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 2 febbraio Esercizi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (11 su 22), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x 1 (t) = [2sin(5t) 6]e 3t, x 2 (t) = { t < 3 e 2(t 3) (t 3) 2 t 3 b) Calcolareanaliticamente la risposta al gradinounitario y i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G 1 (s) = s2 +19s s 2 +13s+36, G 2(s) = 5s2 2s+17 s 2 +2s+17 c) Dato il seguente schema a blocchi: E X(s) A B Y(s) C D utilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso X(s) all uscita Y(s). d) Data la funzione di trasferimento G(s) = (.5 s)(s 2 +2s+125) (12+s)(1+.5s)(s 2 +.6s+.36) disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino di ampiezza 1, x(t) = 1. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata.

4 e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: d(t) r(t) e(t) K G(s) (1+2s)(s 4) s 2 (s 2 +6s+225) y(t) e.1) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. e.2) Posto K = 1, calcolare l errore a regime e quando sul sistema retroazionato agiscono contemporaneamente il segnale di riferimento r(t) = 2+2t e il disturbo d(t) = 3sin(5t). e.3) Tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). e.4) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato per valori negativi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. f) Si faccia riferimento al diagramma di Bode delle ampiezze della funzione G(s) mostrato in figura. 4 3 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] f.1) Ricavare l espressione analitica della funzione G(s). f.2) Valutare in maniera approssimata la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 4+2 sin(.6t+π/2).

5 Cognome: Nome: N. Matr.: 8 Diagrammi di Bode Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]

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7 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 2 febbraio Quiz Per ciascuno dei seguenti quesiti, segnare con una crocetta le risposte che si ritengono corrette. Alcuni quesiti possono avere più risposte corrette. I quiz si ritengono superati se vengono individuate almeno metà delle risposte esatte (punti 5.5 su 11), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della seconda prova. 1. Quali dei seguenti sistemi sono instabili? s+2 G(s) = s 2 (s+3)(2s+1) s 2 G(s) = (3s+1)(s 2 +4) s+2 G(s) = s(s 2 +1)(s+3) s+2 G(s) = (3s+1)(s 2 4) 2. La pendenza iniziale (cioè il valore iniziale della derivata) della risposta al gradino y(t) del sistema definito 2s 2 8 dalla funzione di trasferimento G(s) = (s+4)(2s+2) vale: ẏ() = ẏ() = 1 ẏ() = 1 ẏ() = 3. La risposta all impulso del sistema descritto dala funzione di trasferimento G(s) = g(t) = e t +e 1 3 t g(t) = 3 2 e t 3 2 e 3t g(t) = 3 2 et 3 2 e3t g(t) = e t +e 3t 4. Le due funzioni di trasferimento G 1 (s) = lo stesso guadagno statico 1 s 2 +.2s+1 e G 1 1(s) = s 2 +.4s+4 lo stesso tempo di assestamento nella riposta al gradino la stessa sovraelongazione nella risposta al gradino lo stesso periodo delle oscillazioni nella risposta al gradino 1 (s+1)(s/3+1) risulta: sono caratterizzate da: 5. L equazione differenziale ÿ +3cos(t)y = 2x, dove x è l ingresso, y l uscita e t la variabile tempo, è lineare non lineare stazionaria non stazionaria

8 25 6. Ponendo la funzione di trasferimento G(s) = s(s+1)(s+5) 2 inretroazione(epostochequestasiastabile) l errore a regime per ingresso a rampa X(s) = 4 s 2 sarà: nullo costante e pari a.4 costante e pari a.1 infinito 7. Dato il sistema meccanico di figura composto da masse, molle e smorzatori, quale sarà l ordine della funzione di trasferimento tra ingresso F(t) e uscita v 2 (t): 1 2 K 1 M 1 K 2 M 2 F(t) 3 4 B 1 v1 (t) v 2 (t) 5 8. Se gli elementi della prima colonna della tabella di Routh di una equazione caratteristica di 3 grado sono tutti positivi tranne uno che è negativo, ne segue che l equazione caratteristica può avere una coppia di radici complesse coniugate a parte reale positiva ha solo una radice a parte reale positiva ha almeno una radice a parte reale positiva 9. La funzione di risposta armonica permette di determinare: la risposta libera di un sistema il valore a regime della risposta forzata di un sistema con segnale di ingresso sinusoidale il valore a regime della risposta forzata di un sistema con segnale di ingresso costante 1. Il diagrammadi Bode delle ampiezze del sistema G(s) = (s+z 1)(s+z 2 ) s(s+p 1 )(s+p 2 ) e τs con < z 1 < z 2 < p 1 < p 2, per ω presenta una: pendenza di -2 db/decade pendenza di -4 db/decade pendenza di -6 db/decade pendenza di -8 db/decade

9 Cognome: Nome: N. Matr.: Controlli Automatici - Parte A Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo Compito del 2 febbraio Esercizi Rispondere in maniera analitica ai seguenti quesiti. I problemi e le domande a risposta aperta si ritengono superati se vengono conseguiti almeno metà dei punti totali (11 su 22), diversamente il compito verrà ritenuto insufficiente a prescindere dal risultato della prima prova. a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x 1 (t) = [2sin(5t) 6]e 3t, x 2 (t) = X 1 (s) = { t < 3 e 2(t 3) (t 3) 2 t 3 1 (s+3) (s+3), X 2 2(s) = (s+2) 3e 3s b) Calcolareanaliticamente la risposta al gradinounitario y i (t) delle seguenti funzioni di trasferimento G i (s): G 1 (s) = s2 +19s s 2 +13s+36, G 2(s) = 5s2 2s+17 s 2 +2s+17 La risposta Y 1 (s) vale Y 1 (s) = G 1 (s) 1 s = s+19 s 2 +13s+36 = 3 s+4 2 s+9 di conseguenza l andamento temporale (ovvero l anti-trasformata di Laplace) risulta y 1 (t) = 3e 4t 2e 9t. La risposta Y 2 (s) = G 2 (s) 1 s pertanto può essere decomposta in fratti semplici come Y 2 (s) = 1 s + 3+2j s+1 4j + 3 2j s+1+4j y 2 (t) = e t cos(4t ) c) Dato il seguente schema a blocchi: E X(s) A B Y(s) C D utilizzando la formula di Mason calcolare la funzione di trasferimento G(s) che lega l ingresso X(s) all uscita Y(s). G(s) = Y(s) X(s) = AB 1 AC +BD AE ABCD ABDE

10 d) Data la funzione di trasferimento G(s) = (.5 s)(s 2 +2s+125) (12+s)(1+.5s)(s 2 +.6s+.36) disegnare l andamento qualitativo della risposta y(t) a un gradino di ampiezza 1, x(t) = 1. Calcolare il valore a regime y dell uscita y(t) del sistema, stimare qualitativamente il tempo di assestamento T a del sistema e il periodo T ω dell eventuale oscillazione smorzata. Riscrivendo la funzione nella forma poli-zeri G(s) = 2(s.5)(s2 +2s+125) (s+2)(s+12)(s 2 +.6s+.36) si evidenzia immediatamente come i poli dominanti (complessi coniugati) siano in p =.3±j.5196 ma sia presente anche uno zero a fase nonminima (cioè positivo) in.5 che determina una sottoeleongazione iniziale. Di conseguenza la risposta al gradino avrà un andamento qualitativo di tipo oscillatorio smorzato come mostrato in figura y 1 y(t) 5 T a t [s] Il valore a regime dell uscita per un gradino in ingresso di ampiezza A = 1 risulta y = AG() = , il tempo di assestamento T a è mentre il periodo delle oscillazioni vale T a = 3 Re{p} = 3 = 1 s..3 T ω = 2π ω = 2π = s..5196

11 e) Sia dato il seguente sistema retroazionato: d(t) r(t) e(t) K G(s) (1+2s)(s 4) s 2 (s 2 +6s+225) y(t) e.1) Determinare per quali valori del parametro K il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. L equazione caratteristica del sistema retroazionato è 1+K (1+2s)(s 4) s 2 (s 2 +6s+225) = s4 +6s 3 +(2K +225)s 2 7Ks 4K = La corrispondente tabella di Routh è la seguente 4 1 2K K 3 6 7K 2 19K K K > = K(133K +936) = < K < 24K K < Il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per: K = = < K < La pulsazione ω corrispondente al valore limite K è: 24K ω = 19K = 9.35 rad/s +135 e.2) Posto K = 1, calcolare l errore a regime e quando sul sistema retroazionato agiscono contemporaneamente il segnale di riferimento r(t) = 2+2t e il disturbo d(t) = 3sin(5t). Dato che il sistema è lineare e soggetto quindi alla sovrapposizione degli effetti, l errore E(s), espresso mediante la trasformata di Laplace, risulterà: E(s) = E r (s)+e d (s) dove E r (s) è l errore dovuto al riferimento mentre E d (s) è l errore dovuto al disturbo. L errore e r ( ) dovuto al riferimento, composto da una costante e da una rampa, sarà nullo, essendo il sistema considerato di tipo 2, pertanto è necessario calcolare soltanto l errore dovuto al disturbo d(t), che è dato da: E d (s) = F d (s)d(s) dove D(s) è la trasformata di Laplace di d(t) e F d (s) è la funzione di trasferimento tra D(s) e E d (s) che vale F d (s) = G(s) 1+KG(s) = 2s 2 +7s+4 s 4 +6s 3 +25s 2 +7s+4. Essendo d(t) sinusoidale è possibile sfruttare il concetto di risposta armonica ottenendo e d (t) = 3 F d (j5) sin(t+arg{f d (j5)}) con F d (j5) =.144 e arg{f d (j5)} = o = rad. In conclusione e = e d =.431sin(5t ).

12 e.3) Tracciare (nello schema fornito in allegato) i diagrammi asintotici di Bode delle ampiezze e delle fasi della funzione G(s). Vedi figura in fondo. e.4) Tracciare qualitativamente il luogo delle radici del sistema retroazionato per valori negativi del parametro K. Determinare esattamente gli asintoti, il centro degli asintoti, le intersezioni con l asse immaginario e i corrispondenti valori del guadagno K. Dal momento che la costante di guadagno del sistema è positiva, per tracciare il luogo delle radici richiesto (K < ) è necessario prendere in considerazione le regole per valori negativi del guadagno. Essendo 2 il grado relativo del sistema, ci saranno due asintoti che sono disposti orizzontalmente lungo l asse reale (σ a = 4.75). Dall analisi svolta mediante il criterio di Routh, risulta che il luogodelle radici attraversa l asse immaginario in corrispondenza di ±j9.35. Il luogo delle radici per K < è riportato nella seguente figura. Root Locus Imaginary Axis Real Axis f) Si faccia riferimento al diagramma di Bode delle ampiezze della funzione G(s) mostrato in figura.

13 4 3 Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s] f.1) Ricavare l espressione analitica della funzione G(s). G(s) = 6(s2 +.8s+.4) s(s 2 2s+4) =.6(25s2 +2s+1) s(.25s 2.5s+1) dove il valore µ =.6 si determina, per esempio, calcolando il modulo β dell approssimante G (s) = µ s in corrispondenza della pulsazione ω =.2 rad/s (il segno + dipende dal fatto che la fase iniziale ϕ = 9 o deriva dal solo contributo del polo nell origine): G (s) s=.2j = µ = µ = β 1 db µ.6. s s=.2j.2 In corrispondenzadi ω =.2 rad/s è presenteuna coppia di zeri complessiconiugati(quindicon ω n =.2) stabili il cui coefficiente di smorzamento vale: δ = 2M ωn 2.4 =.2. La distanza M ωn 8 db.4 si legge dal diagramma di Bode dei moduli. In ω = 2rad/sèpresenteunacoppiadipolicomplessiconiugati(quindiconω n = 2)instabilicaratterizzati da un coefficiente di smorzamento δ =.5 (dal momento che il grafico reale interseca quello asintotico in corrispondenza del punto di rottura in 2). f.2) Valutare in maniera approssimata la risposta a regime y (t) del sistema G(s) quando in ingresso è presente il segnale: x(t) = 4+2 sin(.6t+π/2). Essendo il sistema instabile (dal momento che è presente una coppia di poli complessi coniugati con δ < e quindi parte rale positiva) la risposta a regime a un qualunque ingresso (anche limitato) diverge, per cui y (t) =.

14 Cognome: Nome: N. Matr.: 8 Diagrammi di Bode Modulo M [db] Fase φ [gradi] Pulsazione ω [rad/s]