Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica SISTEMI ELEMENTARI DEL 1 o E 2 o ORDINE

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1 Automation Robotics and System CONTROL Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica SISTEMI ELEMENTARI DEL o E 2 o ORDINE CA 5 Cesare Fantuzzi (cesare.fantuzzi@unimore.it) (cristian.secchi@unimore.it)

2 Sistemi elementari Sistemi elementari del o e 2 o : La funzione di trasferimento di un sistema comunque complesso può ס essere vista come somma di funzioni di trasferimento del primo e secondo, ad esempio: risposte) La stessa proprietà vale per la risposta (somma delle ס 2

3 Risposta a gradino: Sistemi elementari Viene usato come segnale d ingresso u(t) un gradino unitario ס u(t) U(s) () Y(s) G(s) t Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la ס stessa moltiplicata per K (linearità): Y k (s) = G(s) KU(s) = K G(s) U(s) = K Y(s) 3

4 Risposta a gradino: Sistemi elementari all impulso, Nota la risposta al gradino, è molto semplice ricavare la risposta ס alla rampa e a tuti i segnali canonici (con trasformata di Laplace del tipo /s i, i =, 2, 3, ) ס Dato: Allora la risposta all integrale di u(t) è data dall integrale di y(t) Quindi la risposta alla rampa la si può ottenere integrando la risposta al gradino, la risposta alla parabola integrando quella alla rampa, e così via. 4

5 Risposta a gradino: Sistemi elementari Inoltre, se u( - ) =, y( - ) =, l uscita generata dalla derivata di u(t) è ס la derivata di y(t) Quindi ad esempio la risposta all impulso è la derivata della risposta al gradino (l impulso può essere interpretato come la derivata del gradino). 5

6 ס Sistemi elementari Primo Un sistema elementare del primo è caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma in cui la costante di tempo τ costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico. La risposta al gradino unitario ס è data da.8 y(t) Tempo (t/tau) 6

7 ס Sistemi elementari Primo Sistema elementare del primo ha: Per la risposta a gradino, si ס.8 y(t).6 Cioè il valore iniziale è nullo e la ס pendenza (tangente) vale /τ: Tempo (t/tau) 7

8 ס ס ס Risposta di un sistema del Primo per t = τ la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime, per t = 2 τ il valore è pari all'86 86,5% del valore di regime, per t = 3τ si raggiunge il 95,% del valore di regime y(t) Tempo (t/tau) τ 2τ 3τ 8

9 ס Sistemi elementari Primo Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale. y(t) Per t = 5 τ si raggiunge il 99,3% del valore di regime. Per t = 7τ si raggiunge il 99,9 % del valore di regime, cioè l'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille Tempo (t/tau) 9

10 ס Sistemi elementari Primo Al variare di τ varia la velocità di risposta del sistema Se τ T a ס 9.9 j ω τ [, ] τ = τ = - -/ σ y(t) Tempo (sec) Poli più a sinistra (τ piccoli) corrispondono a risposte più veloci.

11 ס Sistemi elementari Primo con zero Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio) La risposta a gradino è data da ס Essendo α = T/τ il rapporto tra le costanti di tempo dello zero e del polo.5 α =.5 α =.5.5 (p = α z) j ω α = - o o α > α < α = σ -.5 Valore iniziale = α Pendenza iniziale = (-α)/τ Tempo (t/τ)

12 ס Sistemi elementari Secondo Spesso i sistemi in retroazione, anche se di elevato, presentano una risposta analoga a quella dei sistemi del secondo. Questo perché in genere la configurazione poli-zeri di un sistema dinamico è caratterizzata dalla presenza di una coppia di poli dominanti complessi coniugati, cioè una coppia di poli (i più vicini all'asse immaginario) il cui contributo nell'espressione del transitorio è notevolmente più importante di quello degli altri poli. j ω σ 2

13 Sistemi elementari Secondo La risposta al gradino unitario è data dalla relazione 2 dove: (t) y Tempo (w * t) n 3

14 ס Sistemi elementari Secondo Per il tipico sistema del secondo, la cui funzione di trasferimento, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori: del coefficiente di smorzamento δ della pulsazione naturale ωn. y(t) δ =..4.2 δ = Tempo (w * t) n 4

15 ס Sistemi elementari Secondo Posizione dei poli della f.d.t. al variare di δ = cos(φ) Im(s) Im(s) p φ ωn Re(s) ω n P = P 2 Re(s) p 2 Im(s) Im(s) p ωn P P 2 Re(s) Re(s) Poli instabili! p 2 5

16 Sistemi elementari Secondo f.d.t. Caratteristiche della risposta poli della ס Im(s).5 Risposte al gradino () δ< p ω n.5 δ= δ> -δω n R() Re(s) δω n δω n p 2 veloce transitorio lento instabile 6

17 ס Sistemi elementari Secondo I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un sistema del secondo sono: Massima sovraelongazione (o massimo sorpasso) S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale..4.2 S Tempo di ritardo T r : tempo per raggiungere il 5% del valore finale. Tempo di salita T s : tempo occorrente perchè l'uscita passi dal al 9% del valore finale. y(t) Tempo di assestamento T a : tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale. T T s a Istante di massima sovraelongazione T m : istante al quale si presenta la massima sovraelongazione T r T m Tempo (t) 7

18 Sistemi elementari Secondo Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello ס della massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la Si ottiene Ponendo la derivata uguale a zero, si ha da cui 8

19 ס Sistemi elementari Secondo Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi e - πδ/(-δ 2 ) / (-δ ωt) +e y(t) e -2 πδ/(-δ 2 ) /2 (-δ ωt) -e π/(-δ 2 ) /2 2π/(-δ 2 ) /2 3π/(-δ 2 ) /2 4π/(-δ 2 ) /2 9

20 ס Sistemi elementari Secondo Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente: In un sistema del secondo la massima sovraelongazione è funzione unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al % quando tale coefficiente è nullo S % Controlli Automatici δ - CA-5-2

21 ס Sistemi elementari Secondo Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento T a. Un limite superiore per T a si può ricavare da da cui Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato T a, dovrà essere Il prodotto δ ωn è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale σ dei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale. 2

22 ס ס Sistemi elementari Secondo Il coefficiente di smorzamento δ dipende dalla posizione dei poli complessi coniugati. Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle rette b e b. 22

23 SISTEMI DEL Sistemi elementari Secondo SECONDO ORDINE ( δ < ) Al variare di ω n si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo: 4.4 Risposta al variare di ω n (.5-5).2.8 y( t) NB: il coefficiente di smorzamento è costante (δ =.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia Tempo (sec) 23

24 ס Sistemi elementari Secondo Se i poli complessi coniugati variano:: 2 Risposta (ω = π/2; T = 4) y(t) Tempo (sec) 24

25 Sistemi elementari Secondo poli: Se infine si considerano ס 2.5 Risposta (ω n = π/2) 2.5 y(t) Tempo (sec) 25

26 Sistemi elementari Secondo SISTEMI DEL SECONDO ORDINE (δ ) Poli reali: Im(s) Coincidenti per δ = Distinti per δ > P P 2 Re(s) -δ ω n 26

27 L'equazione ס Sistemi elementari Secondo fornisce la risposta per δ <, cioè nel caso in cui il sistema presenti poli complessi coniugati. Per δ = (poli reali coincidenti) si ha: e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla a relazione e.8 Per δ = non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale.4 senza mai superarlo. y(t) Tempo (w * t) n 27

28 ס Sistemi elementari Secondo Per δ > (poli reali distinti) si ha e quindi (dalle tabelle) e) la risposta al gradino gad oè data dalla a funzione con.8 y(t) Tempo (w n * t)

29 Sistemi elementari Secondo Risposta all impulso di: p 2.5 = -25 K = p 2 = -2 p 2 = Termine corrispondente a p 2.5 Im(s).5 Risposta completa p p 2 Re(s) Termine corrispondente a p Tempo (s) 29

30 Sistemi elementari Secondo Risposta al gradino di:.5 Termine corrispondente a p 3 p = -25 K = -.87 p 2 = -2 K 2 = Risposta completa p 3 = K 3 = Termine corrispondente a p Im(s) -.5 Termine corrispondente a p 2 Re(s) p p 2 p Tempo (s) 3

31 Sistemi elementari Secondo Sia data la funzione con zero Si può scrivere: Da cui 3

32 Sistemi elementari Secondo con zero T =.2,, Impulse Response 2.5 T = 2 T =.2.5 Amplitude.5 T = -.5 T = Time (sec) 32

33 Sommario visto: Abbiamo ס Relazione tra la risposta dei sistemi elementari (primo e secondo ) e locazione dei poli sul piano complesso. Come esercizio alla lavagna abbiamo visto come utilizzare la retroazione per modificare la posizione dei poli (per sistemi del primo e del secondo ). 33