Soluzione degli esercizi del Capitolo 13

Transcript

1 Soluzione degli esercizi del Capitolo 3 Soluzione dell Esercizio 3. Il luogo diretto è costituito da due rami posizionati sull asse reale. Uno di essi si sposta dal polo in a e l altro percorre il segmento tra il polo in e lo zero in (si veda la Figura S3.). Mediante la regola della punteggiatura si può valutare che il sistema diventa instabile per valori positivi di ρ maggiori di ρ =. Il luogo inverso è mostrato in Figura S3.. I due rami che partono dai poli si incrociano nel punto Q di ascissa x Q.45, diventano complessi, e si ricongiungono nel punto Q di ascissa x Q 3.45, per poi tendere uno verso lo zero in e l altro verso +. Anche nel caso di ρ < c è dunque un valore limite oltre il quale il sistema diventa instabile. Dal tracciamento preciso del luogo si trova che tale valore è ˆρ = 3. D altra parte è immediato verificare che tale valore è quello che annulla il coefficiente di primo grado del polinomio caratteristico in anello chiuso. In conclusione, il sistema è asintoticamente stabile solo per valori di ρ compresi nell intervallo [ 3, ]. La presenza dello zero nel semipiano destro che attira verso di sé un ramo del luogo rende impossibile aumentare a piacimento ρ senza perdere la stabilità. Soluzione dell Esercizio 3. Il luogo diretto è costituito da due semirette che, partendo dai poli di L(s) in ±j ω, tendono all infinito lungo l asse immaginario. Nel luogo inverso i rami uscenti dai due poli si muovono lungo l asse immaginario verso l origine, dove si incontrano e si diramano poi verso ±. Non esiste quindi alcun valore di ρ per cui entrambi i poli in anello chiuso abbiano parte reale strettamente negativa. Soluzione dell Esercizio 3.3 Come si vede dalla Figura S3.3, il luogo diretto è costituito da 3 rami reali tutti contenuti nel semipiano sinistro. Ciò dimostra l asintotica stabilità per qualunque valore di ρ positivo. D altra parte, tracciando i diagrammi di Bode di L(s)/ρ (Figura S3.4) si nota che il modulo attraversa una sola volta l asse a db, e la fase non scende maisotto 9. Inoltre tutti i poli di L(s) hannoparterealenegativa. Pertanto, quando ρ è positivo tutte le condizioni del criterio di Bode sono soddisfatte e si può affermare che il sistema retroazionato è asintoticamente stabile. Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy)

2 Figura S3.: Luogo diretto nell Esercizio Figura S3.: Luogo inverso nell Esercizio 3.. Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy)

3 Figura S3.3: Luogo diretto nell Esercizio db 5 6 ω gradi ω Figura S3.4: Diagrammi di Bode di L(s)/ρ nell Esercizio 3.3. Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy) 3

4 Figura S3.5: Luogo inverso nell Esercizio 3.4. Soluzione dell Esercizio 3.4 Utilizzando l approssimante di Padé del primo ordine si ottiene L(s) = µe τs s µ(.5τs) s(+.5τs) = ρ(s /τ) s(s+/τ) con ρ = µ. Per µ > occorre quindi tracciare il luogo inverso che, ponendo per semplicità τ =, ha la forma mostrata nella Figura S3.5. Per valori di τ diversi la scala va modificata del fattore /τ. Si nota che, per valori elevati di µ i rami abbandonano il semipiano sinistro e il sistema diventa instabile. Al fine di determinare il valore limite µ per il quale i rami attraversano l asse immaginario occorre ricavare l ordinata esatta di uno dei punti di attraversamento, per esempio quella del punto P. Per far ciò si utilizzi l Equazione (3.5), nel caso del luogo inverso: attraverso semplici considerazioni geometriche si conclude che l angolo ϕ formato dalla congiungente il punto P con il polo in /τ rispetto all asse reale è di 45. Pertanto l ordinata di P è y = /τ e in corrispondenza, grazie alla regola della punteggiatura, risulta µ = /τ. D altra parte questo è proprio il valore di µ che rende immaginarie le radici del polinomio caratteristico ϕ(s) =.5τs +(.5τµ)s+µ Si conclude quindi che il sistema (approssimato) rimane asintoticamente stabile per < µτ <. Come si vede, tale risultato è leggermente più ottimistico sul margine di guadagno rispetto a quello (esatto) dell Esempio.8, che assicura la stabilità asintotica solo per < µτ < π/. Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy) 4

5 Figura S3.6: Luogo diretto nell Esercizio 3.5. Soluzione dell Esercizio 3.5 L esercizio può essere risolto mediante il luogo delle radici pur di definire ϕ(s) = D(s)+ρN (s) D(s) = s 4 +s 3 +4s, N (s) = s +4, ρ = θ Si noti innanzitutto che, perché ϕ(s) abbia tutte radici nel semipiano sinistro, è necessario che sia θ > (vedi Teorema 3.6), e quindi ha senso considerare solo il luogo diretto. La Figura S3.6 mostra che due rami del luogo giacciono completamente nel semipiano destro. Perciò si conclude che non esistono valori di θ per cui tutte e 4 le radici hanno parte reale negativa. A conferma di ciò si costruisca la tabella di Routh associata al polinomio ϕ(s) e si osservi che non esistono valori di θ che rendono concordi tutti gli elementi della prima colonna: θ 4θ 4 θ 4θ 8 4θ θ 4θ Per quanto riguarda la ricerca dei valori di θ per cui nessuna delle radici è reale, dalla Figura S3.6 si nota che due radici sono sempre complesse coniugate, mentre le altre due lo diventano per valori di θ maggiori del valore θ corrispondente al punto di diramazione sull asse reale. Con la regola della punteggiatura Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy) 5

6 Figura S3.7: Luogo inverso nell Esercizio 3.5. si ricava θ.3. Osservando poi il luogo inverso (Figura S3.7), si deduce che per θ il polinomio ha sempre due radici reali, una positiva e una negativa. In conclusione, le 4 radici sono tutte complesse coniugate per θ >.3. Soluzione dell Esercizio 3.6 Come primo tentativo si consideri un regolatore puramente statico R(s) = ρ, con ρ >. È evidente dal luogo delle radici della Figura S3.8 che questo tipo di regolatore non è in grado di stabilizzare il sistema. Per spostare il baricentro del luogo e l incrocio degli asintoti più a sinistra, si può cancellare con uno zero del regolatore il polo in s = e aggiungere un polo più veloce in s = a, con a > da determinarsi. Ciò corrisponde alla scelta che produce la funzione d anello L(s) = R(s) = ρ(s+) (s+a) ρ (s )(s+3)(s+a) Ponendo per esempio a =, si ottiene il luogo riportato nella Figura S3.9. Con un opportuna scelta della costante ρ la stabilizzazione è possibile, ma, come si vede dal diagramma, il vincolo sul tempo di assestamento non può essere soddisfatto. Infatti tale vincolo impone che entrambi i poli in anello chiuso siano alla sinistra della retta verticale con ascissa σ 5/T a =.5. Ciò può accadere solo se il punto di diramazione dei rami si trova a sinistra di σ. Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy) 6

7 Figura S3.8: Luogo delle radici con regolatore statico nell Esercizio 3.6. Per verificare se esiste un valore di a che rispetta tale condizione, si calcoli il punto di massimo della funzione γ(x) = (x )(x+3)(x+a) Con semplici calcoli si trova che tale punto si sposta verso sinistra all aumentare di a, ma per a raggiunge il valore limite x =.5, che risulta a destra di σ. Si conclude che il regolatore finora progettato non può assicurare la specifica sul tempo di assestamento. Si consideri allora, come ulteriore tentativo, il regolatore R(s) = ρ(s+)(s+3) (s+a) che cancella anche l altro polo stabile di G(s). La forma del luogo è ancora simile alla precedente, ma adesso il punto di diramazione dei rami è il punto di massimo della funzione γ(x) = (x )(x+a) che corrispondere a una radice dell equazione γ (x) = (x+a) (x )(x+a) = Ponendo in tale equazione x = σ =.5, si trova a =.5 (come è facile verificare, l altra soluzione a =.5 fa sì che x =.5 sia un punto di minimo di γ(x), corrispondente al punto di diramazione sul luogo inverso). Occorre quindi scegliere a >.5. Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy) 7

8 Figura S3.9: Luogo delle radici con regolatore del primo ordine nell Esercizio Figura S3.: Luogo delle radici con regolatore del secondo ordine nell Esercizio 3.6. Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy) 8

9 3.5 y t Figura S3.: Risposta di y a un riferimento w a scalino con il regolatore progettato nell Esercizio 3.6. In conclusione, un regolatore che soddisfa tutti i requisiti è, per esempio, R(s) = ρ(s+)(s+3) (s+5) Il valore di ρ può essere determinato con la regola della punteggiatura sul luogo di Figura S3., imponendo che il sistema in anello chiuso abbia due poli coincidenti nel punto di diramazione x Si ricava ρ = 5.67(5 3.67) 78. A titolo di verifica, la Figura S3. mostra l andamento della risposta di y a un riferimento a scalino. Naturalmente, il valore a transitorio esaurito non è unitario perché nel progetto non non sono state considerate specifiche sulla precisione statica. Soluzione dell Esercizio 3.7 Applicare una retroazione statica dall uscita corrisponde a utilizzare il regolatore R(s) = ρ, che genera la funzione d anello L(s) = ρs (s+)(s ) Dall esame dei luoghi delle radici diretto e inverso, riportati nelle Figure S3. e S3.3, si vede che nessun valore di ρ rende asintoticamente stabile il sistema. In particolare, nel luogo diretto la presenza dello zero nell origine impedisce al ramo proveniente dal polo instabile di penetrare nel semipiano sinistro. D altra parte Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy) 9

10 Figura S3.: Luogo diretto con retroazione statica nell Esercizio Figura S3.3: Luogo inverso con retroazione statica nell Esercizio 3.7. Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy)

11 Figura S3.4: Luogo diretto con retroazione dinamica nell Esercizio 3.7. non è lecito cancellare lo zero nell origine con un integratore pena la perdita dell asintotica stabilità. Una maniera per assicurare la stabilità è quella di usare un regolatore con un polo instabile (facendo in modo che l asintoto verticale del luogo abbia ascissa negativa) e aumentare sufficientemente il guadagno d anello. Per esempio, con la scelta ρ R(s) = s.5 il luogo diretto si modifica come mostrato in Figura S3.4. A questo punto, qualunque valore di ρ maggiore del valore ρ = 4.48 per cui si hanno poli immaginari fornisce una soluzione ammissibile. Soluzione dell Esercizio 3.8 Se si utilizza un regolatore del tipo R(s) = ρ/s, il luogo delle radici (diretto) risultante è quello mostrato in Figura S3.5. Poiché il baricentro del luogo si conserva al variare di ρ e il ramo uscente dall origine si muove verso sinistra, i due rami uscenti dai poli a basso smorzamento entrano necessariamente nel semipiano destro, già per piccoli valori di ρ. Se invece si impiega il regolatore R(s) = ρ(s +s+) s(s+) dotato di due zeri con pulsazione naturale uguale a quella dei poli di G(s) e smorzamento ξ =.5, nonché di un polo ad alta frequenza, necessario per la realizzabilità, il luogo si modifica come mostrato in Figura S3.6. Come si Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy)

12 Figura S3.5: Luogo diretto con regolatore ad azione integrale nell Esercizio 3.8. nota, gli zeri tendono ad attirare verso di sé i rami uscenti dai poli complessi, garantendo stabilità per ogni valore positivo di ρ. Per esempio, ponendo ρ =, la risposta dell uscita a uno scalino del riferimento è quella riportata nella Figura S3.7, dove viene confrontata con la risposta del sistema non controllato, cioè quella di G(s). Oltre alla precisione statica si riscontra una soddisfacente precisione dinamica, con un assestamento abbastanza rapido sul valore desiderato senza eccessive oscillazioni. Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy)

13 Figura S3.6: Luogo diretto con regolatore ad azione integrale nell Esercizio anello chiuso anello aperto.6.4. y t Figura S3.7: Risposta di y a uno scalino del riferimento w con il regolatore progettato nell Esercizio 3.8 confrontata con la risposta di y a uno scalino di u in anello aperto. Copyright c 5 - McGraw-Hill Education srl (Italy) 3