Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE

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1 Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) Prova scritta 16 luglio 2014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1. Dato il sistema con: si determinino gli autovalori della forma minima. Per determinare la forma minima occorre calcolare la matrice di osservabilità del sistema considerato:

2 che è DI RANGO 3 < 5 (solo le prime tre colonne sono linearmente indipendenti) e gli elementi non nulli nelle prime tre colonne sono nelle posizioni di riga 1, 3 e 5. Pertanto, le variabili di stato appartenenti alla parte osservabile-ricostruibile (i.e. la forma minima) sono appunto la prima, la terza e la quinta. Mantenendo solo le righe e colonne di A con tali indici, si ottiene: i cui autovalori sono: AUTOVALORI = [ ] ESERCIZIO 2. Dato il sistema con: Si progetti una retroazione uscita-ingresso assegnare il massimo numero di autovalori in -4 per

3 La matrice ad anello chiuso con retroazione ingresso-uscita (la cui matrice di guadagni K è di dimensioni 2x1) è: Pertanto gli autovalori che possono essere modificati dal progetto sono solamente quelli della matrice 2x2 evidenziata. Imporre che questi autovalori siano entrambi pari a 4 significa imporre che il polinomio caratteristico sia vincolato ad essere: Risolvendo il sistema di due equazioni in due incognite ottenuto uguagliando due termini costanti e i due coefficienti dei termini di primo grado, risulta: K = [-5-1] T ESERCIZIO 3. Per il sistema autonomo seguente, con corrispondente valore dello stato all istante t = 1 : Si determini il valore dello stato iniziale (cioè all istante t = 0). L esponenziale della matrice A risulta:

4 e ricordando che e 0t = 1 per ogni t, il valore dello stato iniziale risulta: ESERCIZIO 4. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: si calcoli il valore di K tale per cui risulti qualora sia ad u che a d siano applicati dei gradini unitari (i.e. ) Per calcolare l uscita a regime nella condizione descritta dal testo occorre considerare la linearità del sistema e, pertanto, la sovrapposizione degli effetti di u e d: nella quale G 1 (s) è la funzione di trasferimento dell anello avente come ramo di retroazione il blocco (s+6)/(s+4), mentre G 2 (s) è la funzione di trasferimento

5 dell anello avente come ramo diretto K/(s+3) e gli altri due blocchi come retroazione. Sostituendo all espressione ottenuta per y(s) le funzioni di Laplace dei segnali di ingresso u(s) e d(s), applicando il teorema del valore finale: ed imponendo il vincolo di progetto si ottiene: K = 1/9 ESERCIZIO 5. Dato il sistema descritto dal seguente diagramma a blocchi: si determini il valore di K > 0 per cui il sistema risulti semplicemente stabile. Per tale valore di K si calcolino poi i valori numerici dei corrispondenti poli sull asse immaginario del piano complesso. Applicando il criterio di Routh al polinomio a denominatore della funzione di trasferimento ad anello chiuso:

6 si verifica che i due estremi dell intervallo di valori di K per cui il sistema in retroazione risulta stabile sono 0 e 6. In corrispondenza di tali valori il sistema è appunto semplicemente stabile, ma essendo il primo escluso dal vincolo del testo, la prima parte della risposta è: K = 6 Sostituendo tale valore, si può facilmente verificare che: dal cui primo termine si ottengono i poli complessi richiesti: ESERCIZIO 6. Dato il seguente diagramma di Bode delle ampiezze: si determinino le due funzioni di trasferimento G(s) e G c (s), supposte a fase minima.

7

8 TEST A RISPOSTA MULTIPLA DOMANDA 1. Un sistema dinamico, lineare e stazionario, presenta, con ingresso nullo e stato iniziale non nullo, uscita sinusoidale. Il sistema considerato può essere di ordine (dimensione del vettore di stato): DOMANDA 2. La retroazione tra stato stimato mediante osservatore identità ed ingresso, in un sistema dinamico lineare e stazionario, consente di ottenere un sistema globale (i.e. sistema + relativo osservatore) i cui autovalori sono tutti assegnabili arbitrariamente se il sistema sotto osservazione è: completamente raggiungibile completamente osservabile sia completamente raggiungibile che completamente osservabile asintoticamente stabile DOMANDA 3. La matrice di transizione del sistema dinamico: risulta essere: 0 DOMANDA 4. Il polinomio caratteristico di un sistema dinamico lineare, stazionario e tempo continuo, è: Il sistema: presenta modi instabili può presentare modi instabili presenta modi semplicemente stabili presenta modi asintoticamente stabili

9 DOMANDA 5. Per avere errore a regime nullo a fronte del segnale di ingresso a rampa: il guadagno di anello del sistema retroazionato: deve avere almeno un polo nell origine deve avere almeno due poli nell origine deve avere una costante di velocità K v finita deve avere una costante di velocità K v infinita DOMANDA 6. Un sistema avente funzione di trasferimento G(s) con due poli e due zeri posizionati in modo alterno sull asse reale, presenta un luogo delle radici: che per K > 0 evolve tutto sull asse reale che per K < 0 evolve tutto sull asse reale che può evolvere anche al di fuori dell asse reale che ha un asintoto DOMANDA 7. Il tempo di assestamento del sistema avente funzione di trasferimento: diminuisce all aumentare di aumenta all aumentare di diminuisce all aumentare di aumenta all aumentare di DOMANDA 8. Il sistema avente la seguente funzione di trasferimento: può essere reso asintoticamente stabile con uno schema ad anello chiuso, con retroazione unitaria negativa, che includa: un regolatore PI un regolatore PD una rete ritardatrice una rete anticipatrice

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