PRIMA PROVA PARZIALE DI CONTROLLO DIGITALE A.A. 2005/ aprile 2006 TESTO E SOLUZIONE

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1 PRIMA PROVA PARZIALE DI CONTROLLO DIGITALE A.A. 2005/ aprile 2006 TESTO E SOLUZIONE

2 Esercizio Assegnato il sistema dinamico, non lineare, tempo invariante x (k + ) = x (k) + x 2 (k) 2 + u(k) x 2 (k + ) = x 2 (k) + + x (k) x 2 (k) + u(k) y(k) = x (k) x 2 (k) 3 Domanda.. Si determinino gli stati e le uscite d equilibrio del sistema in corrispondenza dell ingresso costante u(k) = 2 (k). All equilibrio deve valere che { x (k + ) = x (k) x k x 2 (k + ) = x 2 (k) x 2 k quindi x = x + 3( x 2 ) 2 x 2 = x 2 + ( + x )( x 2 ) + 2 = ȳ = ( x x 2 ) 3 2 x = + x 2 = + ȳ = ( x x 2 ) 3 In definitiva si ottengono due stati d equilibrio, in corrispondenza dei quali l uscita assume due distinti vaslori d equilibrio: x = + x 2 = + ȳ = 0 x = x 2 = + ȳ = 8

3 Domanda.2. Determinare l espressione del sistema linearizzato in corrispondenza di tutti i punti di equilibrio calcolati nella risposta alla domanda precedente. Assegnato il sistema dinamico nonlineare a tempo discreto { x(k + ) = f (x(k), u(k)) y(k) = g (x(k), u(k)) nel generico stato d equilibrio ( x, ū), il sistema dinamico linearizzato è descritto dalle equazioni di stato seguenti δ x (k + ) = Aδ x (k) + B δ u (k) δ y (k) = C δ x (k) + D δ u (k) dove valgono le δ x (k) = δ (k) δ 2 (k) δ n (k) T, con δ i (k) = x i (k) x i,i =, 2 n. Inoltre δ u (k) = u(k) ū ed infine δ y (k) = y(k) ȳ. Per il sistema assegnato le matrici che compaiono nelle equazioni sono date da A = f i ( ) x j x, ū = 2( x 2 )( + ū) 2 x + ( x 2 ) x D = f i g( ) u x, ū = 0 B = f i ( ) u x, ū = ( x2 ) 2 C = g( ) x j x, ū = 3( x x 2 ) 2 3( x x 2 ) 2 In particolare, per i due stati d equilibrio trovati in precedenza, le matrici che compaiono nelle equazioni di stato del sistema linearizzato sono x = + x 2 = + ȳ = 0 = A = B = 0 C = 0 0 x = x 2 = + ȳ = 8 = A = B = 0 C = 2 2 essendo la matrice D identicamente nulla in entrambi i casi. Si noti, analizzando le matrici di stato del sistema linearizzato nei due stati d equilibrio considerati, che il primo stato d equilibrio risulta instabile (la matrice A possiede un autovalore di modulo maggiore dell unità), mentre per il secondo punto d equilibrio non si può decidere. Infatti la matrice A del linearizzato in questo caso possiede un autovalore stabile ed uno al limite della stabilità. Ciò autorizza ad affermare che il sistema linearizzato considerato è semplicemente stabile, ma non autorizza a stabilire alcunché a proposito della stabilità dello stato d equilibrio considerato per il sistema nonlineare di partenza.

4 Esercizio 2 Si consideri il seguente sistema dinamico a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni: x(k + ) = x(k) + 2 u(k) y(k) = 0 x(k) Domanda 2. Partendo dallo stato iniziale x 0 = T, si applica al sistema l ingresso u(k) = { 0 per k < 0 per k 0 Trovare l espressione analitica di y(k). Espressa tramite la Z trasformata, l espressione cercata è data da Y (z) = C z (z I A) x 0 + C (z I A) B U(z) dove chiaramente U(z) è la Z trasformata del segnale d ingresso e vale U(z) = z z Nel calcolo dell espressione di Y (z) è necessario determinare la matrice (zi A). Si noti che a causa della struttura sia della matrice C che della matrice B non è necessario determinare completamente la matrice (zi A), ma solamente gli elementi della prima ed ultima riga (z I A) = (z + ) 2 (z + 4) (z + )(z + 4) 2(z + ) 2(z + )??? 0 (z + ) (z + )(z + 5) A questo punto la risposta libera del sistema, a partire dalle condizioni iniziali assegnate, è calcolabile nel modo seguente Y L (z) = C z (z I A) z (7z + 3) x 0 = (z + )(z + 4) Antitrasformando l espressione appena trovata si arriva a y L (k) = 8( ) k ( 4) k (k), k N Per quanto riguarda la risposta forzata del sistema vale l espressione Antitrasformando si ottiene Y F (z) = C (z I A) B U(z) = y F (k) = 6z (z + )(z + 4)(z ) 3 5 ( )k ( 4)k (k), k N La risposta del sistema è la somma delle due espressioni trovate 3 y(k) = y L (k) + y F (k) = 5 + 7( )k 3 5 ( 4)k (k), k N

5 Domanda 2.2 Analizzare la stabilità e la stabilità BIBO del sistema. Alla luce dell analisi di stabilità effettuata, commentare il risultato della domanda 2.. Stabilità interna: il polinomio caratteristico del sistema è data da p(z) = (z + ) 2 (z + 4) in cui si nota la presenza di una radice di modulo superiore all unità (z = 4). Ciò permette di concludere che il sistema è internamente instabile. Stabilità BIBO: la funzione di trasferimento del sistema è pari a F(z) = 6 (z + )(z + 4) ed anche in essa compare il modo instabile. (z = 4). È possibile concludere allora che il sistema è anche BIBO instabile. Considerazioni: a conferma di quanto appena evidenziato si noti che sia la risposta libera y L (k) che quella forzata y F (k) divergono, al crescere di k, a causa del termine ( 4) k. La si è calcolata nel determinare la risposta forzata del sistema, nella risposta alla domanda precedente.

6 Esercizio 3 Si consideri il sistema dinamico descritto dallo schema a blocchi in figura. d d 2 u + + P(z) + y 2 ove = 0.5 z + 0.4, P(z) = z 0. z Domanda 3.. Determinare le espressioni delle funzioni di trasferimento tra gli ingressi u(k), d (k), d 2 (k) e l uscita y(k). Determinazione della FdT T u, y : facendo riferimento alla figura seguente S u + + P(z) + y 2 per quanto riguarda il sottosistema S in figura vale che T S = P(z) 2P(z) e quindi la funzione di trasferimento cercata è data da T u, y = P(z) 2P(z) + P(z)

7 Sostituendo le espressioni di e di P(z) si arriva a T u, y = 0.5(z + 0.4) z 2 0.3z 0.23 Determinazione della FdT T d, y: facendo riferimento alla figura seguente d + + y P(z) 2 si può scrivere che e sostituendo le espressioni di P(z) e : T d, y = P(z) (2 )P(z) (z + 0.4)(z 0.) T d, y = z 2 0.3z 0.23 Determinazione della FdT T d2, y: facendo riferimento alla figura seguente d y P(z) 2 vale l espressione ed in definitiva T d2, y = P(z)(2 ) T d2, y = (z 0.)(z + 0.5) z 2 0.3z 0.23

8 Domanda 3.2. Sfruttando le espressioni delle funzioni di trasferimento calcolate nella risposta alla domanda 3., determinare l espressione analitica della sola risposta di regime, quando gli ingressi valgono rispettivamente u(k) = 2 (k) d (k) = 2 (k) d 2 (k) = (k) (k 5) Le funzioni di trasferimento da utilizzare sono T u, y = 0.5(z + 0.4) z 2 0.3z 0.23 (z + 0.4)(z 0.) T d, y = z 2 0.3z 0.23 (z 0.)(z + 0.5) T d2, y = z 2 0.3z 0.23 e sono tutte BIBO stabili. È possibile allora utilizzare il teorema del valore finale per trovare il valore di regime dell uscita, dato che gli ingressi applicati sono semplici segnali a gradino oppure combinazioni di segnali a gradino. In particolare si ha che dove y regime (k) = y,reg + y 2,reg + y 3,reg z y,reg = lim T u, y (z) 0.5z z z z = ed infine z 2z y 2,reg = lim T d, z y(z) z z = y 3,reg = 0 dato che la FdT T d2, y è BIBO stabile ed il segnale d ingresso considerato si annulla dopo i primi 5 campioni. In definitiva il valore di regime cercato è pari a y regime (k) = y,reg + y 2,reg + y 3,reg = 6.064

9 Esercizio 4 È assegnato il sistema rappresentato dalla funzione di trasferimento = z (z + 0.5) 2 (z 0.9) Domanda 4.. Determinare una FdT approssimante per il sistema, tramite l approssimazione a poli dominanti. Motivare le scelte fatte. La FdT considerata possiede tre poli ed un solo zero: la latenza (eccesso poli su zeri) è allora pari a 2. Inoltre il guadagno statico della FdT è dato da µ = G() = 56 9 Si può approssimare la FdT assegnata con una funzione di trasferimento approssimante G approx (z) che possieda un polo pari al polo dominante della, quindi in z = 0.9; nessuno zero ed un ulteriore polo nell origine, così da rispettare la latenza medesimo guadagno statico della funzione di trasferimento approssimata In definitiva la funzione di trasferimento approssimante che rispetta le specifiche appena elencate è G approx (z) = z (z 0.9) La bontà dell approssimazione è evidenziata dalla figura seguente, in cui sono sovrapposte la risposta al gradino unitario della funzione e della sua approssimante G approx (z) G approx (z) tempo Figura : Risposta al gradino della FdT originaria e di quella approssimante G approx (z).

10 Domanda 4.2. Si consideri ora un altro sistema dinamico, descritto dalla FdT seguente: F(z) = z 0.4 (z + 0.5) 2 Per questo sistema determinare una FdT approssimante di tipo FIR, di ordine opportuno. Motivare le scelte fatte. L spprossimante cercato G FIR (z) deve fornire una buona approssimazione sia alla risposta all impulso del sistema originario F(z), che della risposta al gradino dello stesso. Allo scopo di determinare i coefficienti del FIR approssimante, è necessario determinare i primi valori della risposta impulsiva del sistema dinamico descritto da. Per determinare i coefficienti della risposta all impulso del sistema si può utilizzare l algoritmo di divisione ripetuta ( long division ). Si noti che il sistema ha latenza pari a, il che significa che il primo campione della risposta impulsiva (all istante k = 0) è certamente nullo. L agoritmo di divisione ripetuta fornirà allora i campioni della risposta impulsiva a partire dal secondo campione della stessa (cioè dall istante k = ). () (+) 0.4 (2) ( ).4 (3) (+) (4) ( ) (5) (+) (6) ( ) (7) (+) () ( ) (8) ( ) (9) (+) (2) ( ) (0) ( ) Trascurando i termini successivi della risposta impulsiva del sistema 2 si può determinare la funzione di trasferimeto del FIR approssimante F FIR (z) =.036 z.4z 0 +.5z 9 0.8z z z z 2 La costante di guadagno introdotta nell espressione di F FIR consente di manterene anche per il sistema approssimante lo stesso guadagno statico del sistema originario. Nelle figure seguenti viene riportato rispettivamente il confronto tra la risposta all gradino del sistema originale e quello approssimante (nella prima figura) ed il confronto tra la risposta all impulso del sistema originale e di quello approssimante: 2 Quindi assumendo che siano identicamente nulli dall istante k = 3 compreso in poi...

11 .2 risposta al gradino G FIR (z) tempo Figura 2: Risposta al gradino della FdT originaria e di quella approssimante G FIR (z)..5 risposta all impulso G FIR (z) tempo Figura 3: Risposta all impulso della FdT originaria e di quella approssimante G FIR (z).

12 Esercizio 5 Con riferimento al sistema rappresentato dallo schema a blocchi in figura: u + P(z) y ove = z (z )(z 2), P(z) = z a, a, b IR (z b) Domanda 5.. Analizzare la stabilità a ciclo chiuso del sistema, al variare dei parametri a, b IR. Evidenziare, eventualmente anche facendo uso di grafici, le regioni di IR 2 in cui, al variare di a, b si ha stabilità asintotica oppure stabilità semplice od instabilità. Il polinomio caratteristico di ciclo chiuso è pari a: ossia, dopo alcuni passaggi (z ) (z 2) (z b) + z (z a) = 0 z 3 z 2 (2 + b) + z (2 a + 3b) 2b = 0 Per studiare la stabilità del sistema in funzione dei parametri a, b conviene applicare la trasformazione bilineare ed applicare il criterio di Routh Hurwitz. Applicazione della trasformazione bilineare z = w+ w primo passo dell algoritmo (2 + b) (2 + a + 3b) 2b ( + b) a + 2b ( + b) ( a + 2b) ( a) 2 0 b b ( a + b) ( b) 2 2

13 Secondo passo dell algoritmo ( a) (2 2a + 2b) 4 ab 8 a a 2b 6b a 3 a a + 2b 3 6b + a (6b a + 5) a 2b a 2b (3 8b + a) a ( a) (a + 2b ) In definitiva il polinomio trasformato è dato da ( a) w 3 + (a + 2b ) w 2 + (3 8b + a) w + (6b a + 5) = 0 Ora si può applicare il criterio di Routh Hurwitz al polinomio nella variabile w. La tabella di Routh è la seguente 3 ( a) (3 + a 8b) 2 (a + 2b ) (6b a + 5) 8 ( a + b 2b 2 ) a + 2b 0 (6b a + 5) La stabilià asintotica è garantita dal soddisfacimento delle condizioni espresse dai sistemi di disequazioni 3 a > 0 a < 0 a + 2b > 0 a + b 2b 2 a + 2b > 0 a + 6b + 5 > 0 oppure a + 2b < 0 a + b 2b 2 a + 2b < 0 a + 6b + 5 < 0 Graficamente le regioni nello spazio dei parametri (b, a) che garantiscono stabilità asintotica sono rappresentate nella figura seguente. 3 Ottenuti imponendo costanza di segno ai termini della prima colonna della tabella di Routh.

14 Soltanto il primo sistema di disequazioni ammette soluzione, quindi esiste una regione nel piano (b, a) all interno della quale è possibile scegliere i due parametri essendo certi che il sistema risultante sarà asintoticamente stabile. Al di fuori di tale regione (evidenziata in giallo in figura) per qualsiasi scelta dei parametri (b, a) certamente non si ha stabilità asintotica v 3 v 2 v v parametro a parametro b Figura 4: In figura la regione di asintotica stabilità in giallo nel piano dei parametri (b, a). Le curve rappresentano i vincoli individuati uguagliando a zero gli elementi nella prima colonna della tabella di Routh rispettivamente l elemento in riga 3, riga 2 ecc..