Studio di sistemi dinamici tramite FdT. Risposta transitoria e risposta a regime

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1 Parte 8, 1 Studio di sistemi dinamici tramite FdT Risposta transitoria e risposta a regime

2 Parte 8, 2 Alcune definizioni e richiami! Consideriamo un sistema LTI, a tempo continuo oppure a tempo discreto, asintoticamente stabile (as. s.) (cfr. Parte 3, 4 e 6) e supponiamo che il sistema si trovi inizialmente nello stato nullo (condizioni iniziali nulle).! Se si applica ora al sistema un ingresso qualsiasi (anche non limitato), che cosa si può dire dell evoluzione dell uscita del sistema in risposta a tale sollecitazione in ingresso?! Cominciamo analizzando il caso dei sistemi a tempo continuo. Nel caso di sistemi a tempo discreto si potranno fare considerazioni analoghe.

3 Parte 8, 3 Sistema a tempo continuo as. s. : risposta transitoria e risposta a regime! Consideriamo un sistema a tempo continuo as. s. completamente descritto dalla funzione di trasferimento! (cioè non ci sono cancellazioni) ed applichiamo al sistema un ingresso qualsiasi (anche non limitato) [ma che ammetta trasformata di Laplace razionale]. Per la risposta (ancora in termini di trasformata di Laplace) vale che

4 Parte 8, 4! Ora, mettendo in evidenza nella scomposizione in fratti semplici della trasformata di Laplace della risposta Y(s) i termini associati a poli asintoticamente stabili, semplicemente stabili ed instabili si ottiene Contributo alla risposta dei poli as. stabili. Contributo alla risposta dei poli sempl. stabili. Contributo alla risposta dei poli instabili.

5 Parte 8, 5! Il contributo alla risposta dovuto ai termini associati ai poli a parte reale negativa è un contributo che svanisce a tempo lungo, poiché tende a zero al crescere del tempo:! Risposta transitoria! I contributi alla risposta dovuti ai termini associati ai poli sempl. stabili oppure instabili (sono termini da imputare al segnale d ingresso) certamente non tendono a zero al crescere del tempo: in realtà man mano che il tempo passa la risposta diviene sempre più simile a quella ottenibile dai soli contributi considerati! Risposta a regime permanente

6 Parte 8, 6 Un esempio! Si applica al sistema in condizioni iniziali nulle, l ingresso! Espressa tramite la trasformata di Laplace, la risposta del sistema è data dall espressione (si tratta della risposta forzata del sistema [cfr. Parte 2, slide 53-54] ):

7 Parte 8, 7! In base a quanto visto finora, nella risposta del sistema sono identificabili le parti:! Risposta transitoria! Risposta a regime permanente Y trans. (s) = s s + 10 [ y trans. (t) = 1 4 e 2t + 9 ] 100 e 10t 1(t) y reg. (t) = Y reg. (s) = s s 2 [ ] 5 t 1(t)

8 Parte 8, 8! Graficamente l evoluzione della risposta è

9 Parte 8, 9 Sistema a tempo discreto as. s. : risposta transitoria e risposta a regime! Consideriamo ora invece un sistema a tempo discreto, as. s. completamente descritto dalla funzione di trasferimento! (cioè non ci sono cancellazioni) ed applichiamo al sistema un ingresso qualsiasi (anche non limitato) [ma che ammetta Z-trasformata razionale]. Per la risposta (espressa in termini di Z-trasformata) vale che

10 Parte 8, 10!! Valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per il caso a tempo continuo. Mettendo in evidenza nella scomposizione in fratti semplici i termini associati a poli asintoticamente stabili, semplicemente stabili ed instabili si ottiene Contributo alla risposta dei poli as. stabili. Contributo alla risposta dei poli sempl. stabili. Contributo alla risposta dei poli instabili.

11 Parte 8, 11! Il contributo alla risposta dovuto ai termini associati ai poli a modulo inferiore all unità è un contributo che svanisce a tempo lungo, poiché tende a zero al crescere del tempo:! Risposta transitoria! I contributi alla risposta dovuti ai termini associati ai poli sempl. stabili oppure instabili (sono termini da imputare al segnale d ingresso) certamente non tendono a zero al crescere del tempo: in realtà man mano che il tempo passa la risposta diviene sempre più simile a quella ottenibile dai soli contributi considerati! Risposta a regime permanente

12 Parte 8, 12 Riassumendo: sistemi LTI as. s. a tempo continuo ed a tempo discreto! La risposta in regime permanente è soltanto una situazione asintotica, alla quale la risposta effettiva converge al crescere del tempo.! La differenza tra risposta effettiva e risposta in regime permanente viene chiamata risposta in regime transitorio (o risposta transitoria). Quest ultima tende effettivamente a zero al crescere del tempo.

13 Parte 8, 13 Studio dei sistemi dinamici tramite FdT Risposta in frequenza per sistemi LTI a tempo continuo

14 Parte 8, 14 - Risposta alla sinusoide Hp: as. stabilita`

15 Parte 8, 15 Supponiamo per semplicita` che tutti i poli siano reali distinti (as. stabilita`) Per (a transitorio esaurito)

16 - Calcolo di Parte 8, 16

17 Parte 8, 17 - Si dimostra che - Scriviamo ora i numeri complessi in termini di modulo ed argomento, cioe`: dove

18 Parte 8, 18 - Teorema Risposta in Frequenza (AS. STAB.) A transitorio esaurito (in pratica per ) Stessa pulsazione sinusoide in ingresso! dove

19 Parte 8, 19 - Definizione Risposta in Frequenza funzione complessa di variabile reale

20 Parte 8, 20 - Esempio 1

21 Parte 8, 21 Decresce rispetto a Sinusoidi in ingresso subiscono un attenuazione via via maggiore al crescere di

23 Parte 8, 23 ha un massimo in risonanza in questo intervallo di pulsazioni la sinusoide in ingresso viene amplificata

24 Parte 8, 24 - Estensioni del Teorema Risposta in Frequenza multi-sinusoidale periodico generico

25 Parte 8, 25 - Ingresso multi-sinusoidale Sovrapposizione effetti + teo. risposta in frequenza (a transitorio esaurito)

26 Parte 8, 26 - Ingresso periodico di periodo Serie di Fourier Sovrapposizione effetti + teo. risposta in frequenza (a transitorio esaurito)

27 - Ingresso generico Parte 8, 27 Sotto ipotesi blande si puo` scrivere Integrale di Fourier Spettro di ampiezza Spettro di fase Sovrapposizione effetti + teo. risposta in frequenza (a transitorio esaurito)

28 - Rappresentazioni grafiche della r.i.f. Parte 8, 28 Diagramma polare Diagrammi di Bode

29 Parte 8, 29 - Diagrammi di Bode: convenzioni Modulo - ascisse: - ordinate: Fase - ascisse: - ordinate:

30 Parte 8, 30 Scala lineare Scala logaritmica

31 Parte 8, 31 decade

32 - Diagrammi di Bode: Modulo Parte 8, 32 (A) (B) (C),(D)

33 Parte 8, 33 (A) retta costante

34 Parte 8, 34

35 Parte 8, 35 (B) Per convenzione: retta con pendenza [ 20 g db/decade] passante per 0 db in

36 Parte 8, 36

37 (C) Parte 8, 37 Se ovvero Se ovvero

38 Parte 8, 38 max errore approssimazione diagramma vero diagramma asintotico

39 Parte 8, 39 Errore di approssimazione in

40 (D) Parte 8, 40 semipiano sinistro semipiano destro

41 Parte 8, 41 Se Se

42 Parte 8, 42 diagramma asintotico diagramma veri per diversi valori di

43 Parte 8, 43 Errore di approssimazione in Se Se

44 Parte 8, 44

45 Parte 8, 45 - Regole per il tracciamento del diagr. asint. del modulo Pendenza iniziale Tratto iniziale passa in per Cambi di pendenza in corrispondenza di poli e zeri: - zero - polo Pendenza finale = nr. zeri nr. poli solo se non str. propria

47 Parte 8, 47

49 Parte 8, 49

51 Parte 8, 51

53 Parte 8, 53

54 Parte 8, 54 - Diagrammi di Bode: Fase - ascisse: - ordinate:

55 Parte 8, 55 - Argomento di un numero complesso Si impone per convenzione: e se si impone per convenzione:

56 Parte 8, 56 - Se (Funzione atan2 di Matlab) - Se - Se

57 Parte 8, 57 - Argomento di un numero complesso: Proprieta` Quindi l argomento di un numero complesso segue regole analoghe a quelle del logaritmo nel caso del modulo

58 - Diagrammi di Bode: Argomento Parte 8, 58 (A) (B) (C),(D)

59 Parte 8, 59 (A) retta costante

60 Parte 8, 60 (B) retta costante

61 Parte 8, 61 (C) Se Se In

62 Parte 8, 62 diagramma vero diagramma asintotico zero semipiano sinistro (polo semipiano destro) zero semipiano destro (polo semipiano sinistro)

63 Parte 8, 63 (D) Se Se In

64 zeri semipiano sinistro (poli semipiano destro) Parte 8, 64 zeri semipiano destro (poli semipiano sinistro)

65 Parte 8, 65 - Regole per il tracciamento del diagr. asint. della fase Valore iniziale Cambi di valore in corrispondenza di poli e zeri: semipiano sinistro semipiano destro poli zeri

67 Parte 8, 67

69 Parte 8, 69

71 Parte 8, 71 N.B.: sale a causa del polo > 0

73 Parte 8, 73

74 Parte 8, 74 - Legami tra e In generale nessuno Per sistemi a fase minima: - formula di Bode in funzione di - legame tra i diagrammi asintotici

75 Parte 8, 75 - Sistema a fase minima Guadagno Poli e zeri con

76 Parte 8, 76

77 Parte 8, 77 - Legami tra e Per sistemi a fase minima: Pendenza Valore Polo Zero

78 - Diagrammi polari Parte 8, 78

79 Parte 8, 79

80 - Esempio 1 Parte 8, 80

81 Parte 8, 81

82 Parte 8, 82

84 Parte 8, 84

85 Parte 8, 85 per E reale per

87 Parte 8, 87

88 Parte 8, 88

89 - Compito a casa: Parte 8, 89 valutare la posizione dell asintoto

90 Parte 8, 90

91 Parte 8, 91 Ritardo di tempo Ritardo

92 Parte 8, 92 Funzione di trasferimento G(s) Non è razionale Guadagno statico:

93 Risposta alla sinusoide Parte 8, 93 VALE IL TEOREMA R.I.F.!!!!!

94 Diagramma di Bode del modulo Parte 8, 94 PASSA-TUTTO Diagramma di Bode della fase

95 Sistemi con ritardo Parte 8, 95

96 Parte 8, 96 Studio di sistemi dinamici a tempo discreto tramite FdT Risposta in frequenza

97 Parte 8, 97 Uscita a regime ad ingresso sinusoidale Sistema asintoticamente stabile Ingresso sinusoidale Che espressione avrà l uscita forzata del sistema?

98 Parte 8, 98 Poli tutti distinti transitorio Risposta di regime sinusoidale

99 Parte 8, 99 Cenni di dimostrazione! Partendo dall ingresso! Sulla falsariga di quanto appena ottenuto per il caso a tempo continuo e sfruttando la linearità si ottiene per la risposta a regime l espressione

100 Parte 8, 100 Valgono considerazioni analoghe a quelle viste per la risposta a regime sinusoidale nel caso di sistemi dinamici a tempo continuo.

101 Parte 8, 101 Teorema fondamentale della risposta in frequenza Se si applica ad un sistema lineare asintoticamente stabile con FdT l ingresso sinusoidale l uscita a transitorio esaurito assume l espressione indipendentemente dallo stato iniziale.

102 Risposta in frequenza Parte 8, 102 La funzione complessa definita per tali che il termine non sia polo di G(z), viene chiamata risposta in frequenza associata al sistema. Formalmente vale la

103 Parte 8, 103 La risposta in frequenza coincide allora con la FdT del sistema valutata sui punti della circonferenza di raggio unitario e centro l origine degli assi nel piano della variabile z. Ci sono molte analogie con il legame tra risposta in frequenza e FdT per i sistemi dinamici lineari a tempo continuo.

104 Parte 8, 104 E possibile estendere il risultato ottenuto applicando un ingresso sinusoidale puro ad un sistema lineare a tempo discreto ai casi in cui l ingresso sia sviluppabile in serie di Fourier, oppure sia dotato di trasformata di Fourier, con considerazioni analoghe a quelle fatte nei casi simili per sistemi a tempo continuo. Per i dettagli si rimanda al testo di Bolzern, Scattolini, Schiavoni.

105 Parte 8, 105 Diagrammi di Bode e polari della risposta in frequenza Il tracciamento dei diagrammi di Bode e polari della risposta in frequenza di un sistema lineare a tempo discreto è difficoltoso. Sarebbe necessario valutare il numero complesso per un numero sufficientemente elevato di valori di Solitamente il tracciamento dei diagrammi della risposta in frequenza si riduce all individuazione di pochi punti, fornendo informazioni puramente qualitative.

106 Parte 8, 106 Non approfondiremo alcuna tecnica di tracciamento manuale dei diagrammi della risposta in frequenza di sistemi dinamici lineari a tempo discreto. Qualora sia necessario analizzare in dettaglio la risposta in frequenza si ricorrerà a programmi di calcolo su elaboratore elettronico.