Risposta in frequenza. Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada

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1 Risposta in frequenza Fondamenti di Automatica Prof. Silvia Strada

2 Risposta sinusoidale u(t) G(s) y(t) Asintoticamente stabile U ampiezza ut ( ) Usin( t) π pulsazione T Vale il seguente Teorema della risposta in frequenza Dato un sistema LTI asintoticamente stabile con fdt G(s) e ingresso ut ( ) Usin( t) l uscita di regime di tale sistema (in pratica dopo t a 5t dominante ) sarà yt Y t ( ) sin ( + ϕ) indipendentemente da x(). con Amplificazione/attenuazione Y U G( j) ϕ G( j) Sfasamento Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

3 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Definizione di Risposta in frequenza x y Risposta in frequenza ( t) Ax( t) + Bu( t) ( t) Cx( t) + Du( t) G ( ) ( ) ( s) C( si A) B + D G j C j I A B+ D definita per tutti i valori di che non siano poli di G Definizione valida anche per sistemi non asintoticamente stabili Im Proprietà ( j) G ( j) G Re D ora in avanti si farà riferimento a sistemi SISO 3

4 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio Utilizzando Heaviside: Utilizzando il teorema della risposta in frequenza si ottiene lo stesso risultato asintotico: 4

5 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio Osservazioni: Il metodo di Heaviside permette di calcolare l espressione analitica dell uscita valida per ogni t>. Comprende SIA il transitorio SIA il valore di regime. La soluzione calcolata con il teorema della risposta in frequenza converge a quella calcolata con Heaviside quando i transitori del sistema (che deve essere a.s. perché valga il teorema) si esauriscono. La durata del transitorio è regolata dalla dinamica dominante del sistema, in questo caso: 5

6 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio 6

7 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio Cosa succede se si cambiano i parametri dell ingresso (mantenendo invariata la sua pulsazione)? Non è necessario ricalcolare la risposta ASINTOTICA (quella completa, sì). 7

8 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio Confronto tra le due risposte asintotiche 8

9 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio G( s) G( j) + sτ + jτ G( j) + jτ + τ argg( j) arg() arg( + jτ ) arctg( τ ) Modulo rif per esempio per τ Fase rif

10 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio U τ G( s) u( t) sen(t) + s G( j) + j 5 π argg( j) arg() arg( + j) arctg j 8 y( t) sen(t.) t > t a 5 5. Osservazione: per indicare l argomento/fase di un numero complesso si useranno sia arg che

11 Esempio Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza ( ) ξ ξ ξ ξ ξ ) ( 4 ) ( ) ( ) ( n n n n n n n n n n n n n j G In j G j j G s s s G più piccolo è lo smorzamento maggiore è il modulo della risposta in frequenza per n RISONANZA

12 Dove siamo arrivati.. Teorema della r.i.f. u(t) G(s) y(t) Asintoticamente stabile u ( t) U sin( t + γ ) y( t) G( j ) U sin( t + γ + arg( G( j )) U U * Spettro di ampiezza (in realtà solo punto in questo caso) Spettro di una sinusoide u t) U sen( t + ) ( γ γ γ * Spettro di fase (in realtà solo punto in questo caso) Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

13 ricorda.. funzione f della variabile reale t, definita su tutto l asse t e PERIODICA T Coefficienti di Fourier Sotto larghe ipotesi F n f T T n jn t ( t) e dt, intero π T Spettro di Fourier { F } n { F } n { arg Fn },, Spettro Spettro di di ampiezza fase Lo spettro è Discreto n Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 3

14 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio Il calcolo dei coefficienti è fatto tramite apposite formule, implementate in moltissimi software di calcolo. Ad esempio in Matlab: fft pulsazione *pi*frequenza Rappresentazione del modulo in funzione della frequenza Il valore -9 è dovuto al fatto che, per Matlab, la funzione fondamentale è il coseno. Rispetto al coseno, il seno è sfasato di -9 Rappresentazione della fase in funzione della frequenza 4

15 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio 5

16 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Estensioni del Th. R.i.f.: ingresso multisinusoidale Ingresso multisinusoidale u(t) multisinusoidale u(t) periodico u(t) generico N sin( t + γ ) + U sin( t + γ ) U N sin( Nt + γ N ) U k sin( kt + k ) k u( t) U γ U * Spettro di ampiezza * * 3 Principio di sovrapp. effetti + Th. r.i.f. u k * 4 γ * * Spettro di fase * 3 * 4 ( t) U k sin( kt + γ k ) yk ( t) G( jk ) U k sin( kt + γ k + argg( jk )) 6

17 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Estensioni del Th. R.i.f.: ingresso multisinusoidale N y( t) G( j ) U sin( t + γ + argg( j )) k k k Spettro di ampiezza Spettro di fase k k k Spettro di ampiezza di u(t) R.i..f. Modulo Spettro di ampiezza di y(t) U * * * 3 * 4 modulo rif Modulo rif Y * * * * omega [rad/sec] 7

18 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Estensioni del Th. R.i.f.: ingresso periodico Ingresso periodico u( t) u( t + T ), t Serie di u( t) U Fourier + U sin( t + γ ) + U T periodo sin( t + γ ) +... π pulsazione T k fondamentale (espressa per comodità qui con seni ma è equivalente, cambiano di conseguenza le fasi!) k u( t) U + k U k sin( k t + γ ) k Spettro di ampiezza di u(t) U * * * * * 3 4 8

19 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Estensioni del Th. R.i.f.: ingresso periodico Serie di Fourier u( t) U + U k sin( kt + γ k ) k π T k k Principio di sovrapp. effetti + Th. r.i.f. y( t) k G() U + G( jk ) U k sin( kt + γ k + argg( jk )) 9

20 ricorda.. funzione f della variabile reale t, definita su tutto l asse t Trasformata di Fourier in forma esponenziale Spettro F ( j) F F arg + ( j) f ( t) jt e dt ( j) F( j),, Spettro Spettro di di Sotto larghe ipotesi ampiezza fase Lo spettro è Continuo U () Spettro di ampiezza Notazione f ( j) F [ f ( t) ] - ( t) F [ F( j) ] F Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

21 ricorda.. Antitrasformata di Fourier in forma esponenziale + f ( t ) F ( j ) e j t d Almeno nei punti in cui f π è continua e derivabile La relazione tra una funzione del tempo e la sua trasformata di Fourier è biunivoca! (come per traf. e antitr. Di Laplace) f ( t) F( j) Antitrasformata di Fourier in forma trigonometrica se f è reale e quindi f + π ( j) F ( j) F ( t) F( j) cos( t + arg F( j) ) d Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza f è vista come somma non numerabile di armoniche, cioè di funzioni elementari sinusoidali di pulsazione reale, con ampiezza e fase dipendenti dallo spettro

22 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Estensioni del Th. R.i.f.: ingresso generico Ingresso generico Sotto deboli ipotesi: Integrale di Fourier + u( t) U ( j)sin( t + γ ( )) d U () Spettro di ampiezza Principio di sovrapp. effetti + Th. r.i.f. + y( t) G( j) U ( j)sin( t + γ ( ) + argg( j)) d

23 Rappresentazione grafica della risposta in frequenza Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Per ogni, la r.i.f. è un numero complesso e, come tale, esprimibile mediante numeri reali (modulo/fase o Re/Im) che variano conla pulsazione: G( j) G( j) e j G( j) Re( G( j)) + j Im( G( j)) Due principali rappresentazioni Im( G( j)) diagramma polare G( j) Magnitude (db) G( j) diagrammi di Bode Bode Diagram Re( G( j)) il diagramma è punteggiato nei valori di Phase (deg) Frequency (rad/s) 3

24 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagrammi di Bode Sono diagrammi cartesiani della risposta in frequenza nei quali le scale degli assi delle ascisse e delle ordinate sono scelti secondo opportuni criteri che ne facilitano il tracciamento. Sia nel diagramma del modulo che in quello della fase l asse delle ascisse (pulsazioni) ha scala logaritmica (log ) ma sull asse si dispongono i valori della pulsazione, non i suoi logaritmi!! la distanza tra due ascisse e > è proporzionale al rapporto /, cioè alla differenza tra i log e log, anziché alla differenza -, come accadrebbe in scala lineare. Quindi, considerate quattro pulsazioni,, 3, 4 tali che 4 / 3 /, la distanza tra le ascisse 3 e 4 è uguale a quella tra e. In particolare, una distanza corrispondente ad un rapporto tra pulsazioni pari a dieci viene chiamata decade la pulsazione nulla è il punto sull asse delle ascisse (pulsazioni) 4

25 Diagrammi di Bode Per quanto riguarda il diagramma del modulo, sull asse delle ordinate si rappresenta il logaritmo, in base, del modulo, moltiplicato per. Così facendo si rappresenta il valore del modulo della risposta in frequenza in decibel (db) G( j) G( j) log G( j) db I valori in decibel del modulo vengono rappresentati su una scala lineare Bode Diagram Magnitude (db) 4 45 Phase (deg) -45 Il diagramma si traccia quindi su un apposita carta semilogaritmica : asse delle -9 ascisse in scala logaritmica, asse delle ordinate in scala lineare F ( d/ ) Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 5

26 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagrammi di Bode Per quanto riguarda il diagramma della fase, sull asse delle ordinate si rappresenta la fase della risposta in frequenza in Bode gradi. Diagram Anche questo diagramma andrà quindi tracciato su carta semilogaritmica. Magnitude (db) 4 I valori in gradi della fase vengono rappresentati su una scala lineare 45 Phase (deg) ( / ) 6

27 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Foglio standard A4 di carta semilogaritmica 7

28 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode del modulo Mettiamo la FdT nella forma con guadagno, tipo e costanti di tempo: G ( s) µ g s i ( + T s) ( + τ is) i i s j G ( j) µ j g i i + T + τ j i i j Modulo in Decibel: G # # #3. #3. ( j) log µ g log j log+ jτ i + log+ db i i jt i 8

29 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode del modulo del guadagno # µ log µ db db Non c è dipendenza da il grafico è una RETTA ORIZZONTALE db µ ± µ db db µ ±. µ db db 9

30 Diagramma di Bode del modulo di poli o zeri nell origine Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza # g log j g log Con asse ascisse scala logaritmica la dipendenza da è lineare RETTA pendenza -g db/decade [per convenzione si dice g] che taglia asse ascisse in g db + 4dB + db + 4db / decade; g + db / decade; g g< db. Si ottiene la pendenza normalizzata del diagr. del modulo dividendo la pendenza per db/decade db 4dB db / decade; g + 4 db / decade; g + g> 3

31 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode del modulo di un polo reale #3. log+ τ reale jτ andamento complesso in fz di. Si traccia un grafico semplificato che si chiama DIAGRAMMA DI BODE ASINTOTICO log + τ τ τ << << >> >> : τ : τ log logτ db RETTA logτ log logτ pendenza db / decade τ db db 3

32 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode del modulo di un polo reale #3. Errore massimo tra diagramma vero e asintotico è per + + τ log T log 3 db db 3dB asintoto db. τ τ τ diagramma reale diagramma asintotico 3

33 Diagramma di Bode del modulo di due poli coincidenti #3. 4log+ jτ τ reale db 6dB db. τ τ τ 33 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Diagrammi di Bode

34 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode del modulo di poli complessi coniugati #3. log+ j τ log+ jτ Andamento più complesso!! Gs () s ξ + s + Per il tracciamento dei diagrammi asintotici si introduce l approssimazione di sostituire ai due poli c.c. due poli reali coincidenti, aventi parte reale uguale a ± n n n db n E un approssimazione un po grossolana 34

35 Diagramma di Bode del modulo di poli complessi coniugati #3. Il diagramma reale è influenzato pesantemente dallo smorzamento ξ L approssimazione con il diag. asintotico è accettabile solo per valori relativamente grandi dello smorzamento,.5 ξ db ξ asintoto verticale Gs () s n ξ + s + n e tutto rimane identico per ξ <. n Digrammi reali vs. asintotico n n Per ξ (poli immaginari) il diag. ha un asintoto verticale per n. per ξ.7 c è un massimo nel diagramma reale del modulo, detto picco di risonanza ed è circa in corrispondenza di n

36 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Risonanza Se un sistema con risonanza viene alimentato da una sinusoide con pulsazione uguale alla pulsazione di risonanza, produrrà in uscita una sinusoide di ampiezza molto più elevata dell ampiezza della sinusoide in ingresso

37 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode del modulo di uno zero reale #3. db + log+ jt Τ reale E tutto simmetrico rispetto all asse delle pulsazioni + 3dB diagramma reale + Errore massimo tra diagramma vero e asintotico è per + log T + + 3dB! db. T T diagramma asintotico T 37

38 Diagramma di Bode del modulo di zerii reali coincidenti o complessi coniugati Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza #3. Caso simmetrico, rispetto all asse delle pulsazioni, dei medesimi casi visti già per i poli 38

39 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza db Regole pratiche per il tracciamento del diagramma asintotico di Bode del modulo complessivo.sommando, a pari pulsazione, i singoli contributi analizzati, si può ricavare il diagramma di Bode del modulo complessivo. Esso è peraltro tracciabile fin dall inizio applicando qualche regola semplice: pendenza iniziale -g il tratto iniziale o il suo prolungamento, passa per, µ db cambi di pendenza in corrispondenza di poli e zeri: polo cambio di pendenza di - db db / decade poli cc cambio di pendenza di - db db 4db / decade zero cambio di pendenza di + db + db / decade db zeri cc cambio di pendenza di + db + 4db / decade db 39

40 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio G( s) g T τ n Singolarità zero ( s ) s( s + )( s + 8s + 5) Caratteristiche 5 µ 5 n 5 rad / s ξ n polo G( s) 8 5 ξ.8 5 rad / s ( s) 8 s( + s)( + s rad / s n s ) 5 4

41 G ( j) db diagramma del asintotico modulo del asintotico modulo Diagramma Bode - Modulo La pendenza normalizzata finale è pari, a meno del segno, al grado relativo -4 db pulsazione pendenza iniziale passa per e ordinata log µ 7.95 cambi di pendenza opposti ± non cambia pendenza! 5 cambio di pendenza di 4 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

42 Il diagramma reale lo tracceremmo qualitativamente a partire da quello asintotico considerando anche lo smorzamento (essendo ξ.8>.5 non c è picco di risonanza) G ( j) db Diagramma di Bode - Modulo - -4 db pulsazione Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 4

43 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode della fase Mettiamo la FdT nella forma con guadagno, tipo e costanti di tempo: G ( s) µ g s i ( + T s) ( + τ is) i i µ s j G( j) g j i i ( + T j) i ( + τ i j) G # # #3. #3. g ( j) µ ( j) ( + jτ ) + i ( + jti ) i i Di nuovo, sarà sufficiente analizzare il diagramma della fase dei singoli termini e poi sommarli 43

44 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode della fase del guadagno # µ µ > 8 µ < (oppure 8 ) Rette costanti 8 44

45 Diagramma di Bode della fase di poli o zeri nell origine Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza # g ( j) g ( j) g > g < g 9 9, 8, , + 8,... Rette costanti g g 9 8 g g

46 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode della fase di un polo reale #3. ( + jτ ) atan( τ ) Seτ > τ 46

47 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode della fase di un polo reale #3. (#3.) Si osserva che: ( + jτ ) ( ) ( jτ ) per τ > per τ < << τ >> Per uno zero reale vale ovviamente tutto identico ma cambiato di segno! τ + 9 τ τ < T > polo zero nel nel semipiano semipiano destro sinistro 9 τ > T < polo zero nel nel semipiano sinistro semipiano destro 47

48 48 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode della fase di una coppia di poli complessi coniugati #3. ( )( ) atan atan n n n n j j j ξ ξ τ τ ) ( + + s s s G n n ξ µ Per si ha > ξ >> + << n n n n n π π π ξ se ) ( se / se atan

49 Diagramma di Bode della fase di una coppia di poli complessi coniugati #3. (#3.) Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza +8 Re[ τ ] < ( ξ < ) Re[ T ] > ( ξ > ) n 8 Re[ τ ] > ( ξ > ) Re[ T ] < ( ξ < ) 49

50 Diagramma di Bode della fase di una coppia di poli complessi coniugati #3. (#3.) Il diagramma reale (o effettivo) dipenderà dallo smorzamento ξ: ξ non c è errore per ξ Re[ τ ] > ( ξ > ) Re[ T ] < ( ξ < ) 9 n I medesimi grafici ma tra e 8 per Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Re[ τ ] < ( ξ < ) Re[ T ] > ( ξ > )

51 Regole pratiche per il tracciamento del diagramma asintotico di Bode della fase complessivo.sommando, a pari pulsazione, i contributi analizzati, si può ricavare il diagramma di Bode della fase complessivo. Esso è peraltro tracciabile fin dall inizio applicando qualche regola semplice: fase iniziale (a sinistra delle pulsazioni di tutti gli zeri e poli non nulli) ( µ - g 9 ) salti di ±9 in corrispondenza delle pulsazioni pari all inverso del modulo delle costanti di tempo (ossia al modulo di poli e zeri): τ > T < τ < T > polo zero polo zero reale reale reale reale nel nel nel nel semipiano sinistro semipiano destro semipiano semipiano destro sinistro Re[ τ ] > poli complessi nel semipiano sinistro ( ξ > ) Re[ T ] < zeri complessi nel semipiano destro ( ξ < ) -8 Re[ τ ] < poli complessi nel semipiano destro ( ξ < ) Re[ T ] > zeri complessi nel semipiano sinistro ( ξ > ) Il diagramma asintotico della fase è costante a tratti Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza +8 5

52 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio G( s) g T τ n Singolarità zero ( s ) s( s + )( s + 8s + 5) Caratteristiche 5 µ 5 n 5 rad / s ξ n polo G( s) 8 5 ξ.8 5 rad / s ( s) 8 s( + s)( + s rad / s n s ) 5 5

53 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio -5 Diagramma di Bode - Fase gradi pulsazione per < : µ g per : ( 9 ) 8 per 5: 8 53

54 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio -5 Diagramma di Bode - Fase Il diagramma reale della fase lo possiamo tracciare a mano in modo qualitativo, a partire da quello asintotico, considerando anche lo smorzamento gradi pulsazione 54

55 Sistemi con ritardo di tempo Tra i sistemi dinamici vi sono anche sistemi lineari ma con fdt NON RAZIONALE Un esempio notevole di questa classe è il ritardo di tempo u S y( t) u( t τ ) τ > sistema dinamico LTI y Funzione di trasferimento τs [ u( t τ )] e U ( ) Y ( s) L s G( s) e τs FdT non razionale G () y u Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 55

56 Sistemi con ritardo di tempo G( s) e τs G( j) e τj G( j) G( j) τ Diagrammi di Bode: db 57 τ τ Diagramma di Bode del modulo Diagramma di Bode della fase 57 non è una retta perchè w è in scala logaritmica Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 56

57 Sistemi a fase (o a sfasamento) minima/o G( s) + s + s G( s) s + s hanno diagramma di Bode del modulo identico ma diagramma della fase diverso! se però restringiamo l insieme delle funzioni di trasferimento a quelle che godono delle seguenti proprietà: il guadagno è positivo non ci sono poli nel semipiano destro aperto non ci sono zeri nel semipiano destro aperto non ci sono ritardi puri allora un diagramma del modulo è associato ad una e una sola funzione di trasferimento. Ne consegue che, dato il diagramma dei modulo, è possibile ricavare univocamente il diagramma della fase sistemi che godono di queste 3 proprietà si chiamano sistemi a fase minima. Perché?? Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 57

58 Sistemi a fase (o a sfasamento) minima/o Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza I sistemi a fase minima si chiamano così perché, dato un diagramma del modulo, tra tutti i sistemi asintoticamente stabili la cui risposta in frequenza ha quel diagramma del modulo, quella a fase minima ha il massimo valore di fase ad ogni pulsazione Diagramma di Bode - Modulo fase minima + s G( s) + s fase non minima s G ( s) + s Diagramma di Bode - Modulo 5 5 db Diagramma di Bode - Fase -5 - gradi db Diagramma di Bode - Fase -5 gradi

59 Sistemi a fase (o a sfasamento) minima/o In termini di diagrammi di Bode asintotici, il diagramma della fase parte da zero (guad. positivo), in corrispondenza di ogni zero, per i sistemi a fase minima, la pendenza normalizzata del diagramma del modulo aumenta di un unità, mentre il diagramma della fase aumenta di +9, mentre in corrispondenza di un polo, la pendenza normalizzata del diagramma del modulo diminuisce di un unità, mentre il diagramma della fase cambia di -9 allora il legame tra il diagramma del modulo e della fase asintotici è molto semplice, perché in ogni intervallo di pulsazioni compreso tra due singolarità della FdT (polo o zero) risulta: ( pendenza modulo) G( j) 9 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 59

60 Rappresentazione grafica della risposta in frequenza Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Per ogni, la r.i.f. è un numero complesso e, come tale, esprimibile mediante numeri reali (modulo/fase o Re/Im) che variano conla pulsazione: G( j) G( j) e j G( j) Re( G( j)) + j Im( G( j)) Due principali rappresentazioni Im( G( j)) diagramma polare G( j) Magnitude (db) G( j) diagrammi di Bode Bode Diagram Re( G( j)) il diagramma è punteggiato nei valori di Phase (deg) Frequency (rad/s) 6

61 Azione filtrante di sistemi dinamici A seconda di come è sagomato il diagramma del modulo della risposta in frequenza, supposto asintoticamente stabile il sistema, alcune delle armoniche dell ingresso saranno riprodotte fedelmente in uscita (al più amplificate di un valore costante) altre invece saranno attenuate. In questo senso si dice che i sistemi dinamici si comportano come FILTRI, perché modificano il contenuto armonico di un segnale (ad esempio attenuandone le componenti di alta frequenza) In particolare, nel campo dei controlli automatici, assumono rilevanza alcuni tipi di filtri. Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 6

62 Filtri passa basso (low-pass) Sistemi che lasciano passare inalterate (sia in modulo sia in fase) le armoniche di pulsazione inferiore ad un determinato valore, attenuando e sfasando quelle di valore superiore Il modulo della r.i.f. di un filtro passabasso ha tipicamente l andamento: G ( j) db µ db 3dB Banda passante B [, ] Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 6

63 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Filtri passa basso (low-pass) Prerequisito per potere parlare di filtro passa basso è che: per nessuna pulsazione il modulo di G(j) superi il guadagno di G(s) più di 3 db: G( j) G( j) < db 3 db db Verificato ciò, si definisce banda passante del filtro il seguente insieme di pulsazioni BP { : G( j ) G( j) > db} 3 db db La banda passante di un filtro passa basso è quindi costituita da un intervallo di pulsazioni con b estremo superiore della banda passante. [ ], b 63

64 Esempio µ G( s) τ > + sτ Filtro passa basso G ( j) db µ db 3dB Banda passante BP [, ] τ b τ Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 64

65 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio u( t).7sin(π 5 t) + sin(π t) G( s) s + b π b rad / s banda passante di G(s) è [, b ] Diagramma di Bode - Modulo Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t) db F(f) Diagramma di Bode - Fase gradi f (Hz) 65

66 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio u( t).7sin(π 5 t) + sin(π t) G( s) s + b π b rad / s banda passante di G(s) è [, b ] Diagramma di Bode - Modulo Single-Sided Amplitude Spectrum of Y(t) db F(f) Diagramma di Bode - Fase gradi f (Hz) 66

67 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio u( t).7sin(π 5 t) + sin(π t) G( s) s + b b π rad 4 / s banda passante di G(s) è [, b ] Single-Sided Amplitude Spectrum of Y(t) Diagramma di Bode - Modulo db F(f) Diagramma di Bode - Fase gradi f (Hz) 67

68 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Filtri passa basso (low-pass) tempo di assestamento della risposta allo scalino con τ banda passante con τ Applicazione pratica LPF (low-pass filters): abbattimento effetto del rumore di misura 68

69 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Filtri passa alto (high-pass) Sistemi che lasciano passare le armoniche di pulsazione superiore ad un determinato valore, attenuando quelle di valore inferiore. Il modulo della r.i.f. di un filtro passa alto ha tipicamente l andamento: G ( j ) db G ( j) 3dB db B b [, ) + deve per forza essere un sistema non strettamente proprio b 69

70 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Filtri passa alto (high-pass) Prerequisito per potere parlare di filtro passa alto è che: per nessuna pulsazione il modulo di G(j) superi il guadagno di alta frequenza di G(s) più di 3 db: G( j) G( j ) < db 3 db db Verificato ciò, si definisce banda passante del filtro il seguente insieme di pulsazioni BP { : G( j ) G( j ) > db} 3 db db La banda passante di un filtro passaalto è quindi costituita da un intervallo di pulsazioni con b estremo inferiore della banda passante. [ b, ] 7

71 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Esempio sτ G( s) τ > + sτ G ( j) db filtro passa alto G( j ) db db 3dB Banda passante BP [, ) τ τ b + Applicazione pratica HPF: derivazione numerica/rimozione di parti costanti da un segnale (ad es. bias sensori) 7

72 Diagrammi polari Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza E il grafico della risposta in frequenza G(j) nel piano complesso al variare di. Modulo e fase sono mostrati insieme nel grafico. Im G( j) Re -. G( j) G( j)

73 Diagrammi polari: costruzione concettuale per punti Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 73

74 Diagrammi polari: convenzioni Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 74

75 Diagrammi polari Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Per il tracciamento dei diagrammi polari useremo il metodo, comodo, di dedurli dai corrispondenti andamenti dei diagrammi di Bode, in particolare da quelli asintotici (dal modulo e dalla fase). Lo vediamo attraverso quattro esempi. Diagramma di Bode - Modulo - db Diagramma di Bode - Fase -4-5 gradi G( s) + s 75

76 Diagrammi polari Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 5 Diagramma di Bode - Modulo db Diagramma di Bode - Fase gradi G( s) + s ( + s)( +.s) 76

77 Diagrammi polari Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode - Modulo 3 db Diagramma di Bode - Fase gradi G( s) ( + s) 3 77

78 Diagrammi polari Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Diagramma di Bode - Modulo - db Diagramma di Bode - Fase -5 - gradi G( s) s 78

79 Diagrammi polari: poli complessi coniugati Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 79

80 Diagrammi polari: poli complessi coniugati Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 8

81 Diagrammi polari: caso di poli sull asse immaginario Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza Ricorda: la r.i.f. non è definita per i valori di pari ai poli di G(s)! G G s ( s) ( j) s j εe jϑ π, ϑ, Im Quarto di cerchio di raggio infinitesimo ε e angolo che varia da a π/ Re Ricorda: la r.i.f. non è definita per i valori di pari ai poli di G(s)! semicerchi nel semipiano destro! 8

82 Diagrammi polari: caso di poli sull asse immaginario G ( s) s - -9 Im Fase costante a -9 e modulo che parte da Infinito e tende a zero Re 8 Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza

83 Diagrammi polari: caso di poli sull asse immaginario Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza G ( j) ϑ ϑ j : ε π : e ε s ε jϑ e numero reale π j π con fase - π, ϑ, Im Per i valori intermedi di θ si ottengono I punti del quarto di cerchio con raggio infinito che congiunge i due estremi Re 83

84 Sistemi con ritardo di tempo u ( t) y( t) G r ( s) e τs Se ad esempio G r µ + sτ Risulta: G G ( s) µ, τ > ( j) G ( j) r ( j) G ( j) r G 8 τ π sτ ( s) G ( s) e il diagramma polare di G(j) ha un andamento a spirale a partire da µ (il modulo tende a zero e la fase decresce indefinitamente). Perché?? r Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 84

85 Sistemi con ritardo di tempo G( s) e τs G( j) e τj G( j) G( j) τ Diagramma polare del ritardo puro: circonferenza di raggio unitario percorsa un numero infinito di volte in senso orario a partire dal semiasse reale positivo Im - Re Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 85

86 Sistemi con ritardo di tempo G r µ τ s ( s) e µ, T, τ > + st Diagramma polare del sistema con ritardo: per valori crescenti di il grafico tende a zero con una spirale, perche il modulo diminuisce fino a zero e la fase continua a decrescere, sempre piu al crescere di >> gtf(,[ ]) Transfer function: s + >> g.iodelay.5 Imaginary Axis Nyquist Diagram Transfer function: exp(-.5*s) * s Real Axis Prof. S. Strada Fondamenti di Automatica Risposta in frequenza 86