ANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI. Lezione X: Risposta in Frequenza

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1 ANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI Lezione X: Risposta in Frequenza Rappresentazioni della Funzione di Trasferimento Risposta di regime permanente nei sistemi LTI Risposta armonica Diagrammi di Bode Diagrammi di Bode asintotici (approssimati) Esempi -

2 Rappresentazioni della F.d.T. u(t) G(s) = B(s) A(s) y f (t) Funzione di trasferimento razionale fratta Forma poli-zeri G(s) = b ms m + b m s m + b s + b a n s n + a n s n + a s + a, m n Forma in costanti di tempo (o di Bode) G(s) = K (s z )(s z 2 ) (s z m ) (s p )(s p 2 ) (s p n ) G(s) = K B( + τ s) ( + τ ms) s h ( + τ s) ( + τ n js) -2

3 Risposta Permanente nei Sistemi LTI Classe di funzioni di ingresso: U(s) = Q(s) P (s) = l (s z i ), l r r (s p i ) i= i= Forma di Y f (s) (caso p i distinti e dai poli di G(s)): Y f (s) = G(s)U(s) = H(s)+ n i= k i s p i Scomposizione risposta forzata: y f (t) = y G f (t) + yu f (t) Parte dipendente dai poli di G(s) (transitorio): yf G (t) = L {H(s)} Parte dipendente dalle singolarità di U(s) (regime permanente): } k i y U f (t) = L { n i= s p i -3

4 Risposta Permanente nei Sistemi LTI È di più semplice valutazione rispetto all intera risposta forzata. Fornisce indicazioni della risposta dopo il transitorio iniziale. Sono di pratico interesse i casi in cui l ingresso è una funzione limitata del tempo (e che non tende a zero):. Risposta permanente al Gradino: u(t) = U(t) U(s) = U s y U f (t) = UG()(t) 2. Risposta Armonica (o Risposta in Frequenza): u(t) = U sin ωt U(s) = y U f (t) = U G(jω) sin(ωt + Uω s 2 + ω 2 G(jω)) -4

5 Risposta Armonica Esempio - Sistema del I ordine: u(t) = sin ωt, G(s) = s + ω=.5 ω= From: U() From: U() Amplitude To: Y() Amplitude To: Y() Time (sec.) Time (sec.) ω= 5 ω= From: U() From: U() Amplitude To: Y() Amplitude To: Y() Time (sec.) Time (sec.) -5

6 Risposta Armonica Esempio - Sistema del II ordine: u(t) = sin ωt, G(s) = s 2 +.5s + ω=.5 ω=.5 From: U() 2 From: U() Amplitude To: Y() Amplitude To: Y() Time (sec.) Time (sec.) ω= 5 ω= From: U() From: U() Amplitude To: Y() Amplitude To: Y() Time (sec.) Time (sec.) -6

7 Risposta Armonica: Diagrammi di Bode Rappresentazione grafica della risposta in frequenza: Diagramma di Bode (Modulo in decibel): Ascisse: log (ω) Ordinate: G(jω) db. = 2 log G(jω) Diagramma di Bode (Fase): Ascisse: log (ω) Ordinate: G(jω). = arctan { } Im[G(jω)] Re[G(jω)] Bode Diagrams 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) -7

8 Risposta Armonica: Diagrammi di Bode È utile per G(s) la forma in costanti di tempo (o di Bode) G(jω) = K B( + τ jω) ( + τ m jω) (jω) h ( + τ jω) ( + τ n jω) Principali proprietà dei diagrammi di Bode: La scala in decibel trasforma prodotti in somme: G(jω) db = K B db + +τ jω db + + +τ mjω db h ω db +τ jω db +τ n jω db La fase di prodotti è anch essa uguale alla somma delle fasi: G(jω) = K B + ( + τ jω)+ + ( + τ m jω) h(π/2) ( + τ jω) ( + τ n jω) Inoltre: G(jω) db = G(jω) db G(jω) = G(jω) -8

9 Diagrammi di Bode di Sistemi Elementari Guadagno semplice: G(s) = K G(jω) db = 2 log K, G(jω) = K = (π) Bode Diagrams K db Phase (deg); Magnitude (db) K< 9 45 K> 45 Frequency (rad/sec) -9

10 Diagrammi di Bode di Sistemi Elementari Integratore: G(s) = s G(jω) db = 2 log (ω), G(jω) = π/2 Bode Diagrams 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) -

11 Polo semplice: G(s) = + sτ Diagrammi di Bode di Sistemi Elementari G(jω) db = 2 log + ω 2 τ 2, G(jω) = arctan(ωτ) Approssimazione asintotica: db per ωτ <<, 2 log ωτ per ωτ >> Bode Diagrams 5 5 Phase (deg); Magnitude (db) 5 2 ωτ 45 9 Frequency (rad/sec) -

12 Poli complessi coniugati: G(s) = Diagrammi di Bode di Sistemi Elementari + 2ζ s ω n + s2 ω 2 n [ ( ) ] 2 2 ( ) [ 2 ω G(jω) db = 2 log ω n + 4ζ 2 ω ω n, G(jω) = arctan Bode Diagrams 2ζ( ωn) ω ( ωn) ω 2 ] 2 ζ Phase (deg); Magnitude (db) ω/ω n ζ Frequency (rad/sec) -2

13 Diagrammi di Bode di Sistemi Elementari Elemento di ritardo: G(s) = e sτ, ( τ > ). G(jω) db = db, G(jω) = ωτ Bode Diagrams 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) -3

14 Parametri Caratteristici Risposta Armonica B 3 : Banda a 3dB Pulsazione corrispondente ad una attenuazione di 3dB rispetto al modulo per ω = = G(jB 3 ) = G() / 2 M r : Picco di risonanza Picco del modulo della risposta in frequenza = M r = max ω G(jω) ω r : Pulsazione di risonanza Pulsazione corrispondente al picco del modulo della risposta in frequenza -4

15 Parametri Caratteristici Sistemi Elementari Sistemi del I ordine: Banda a 3dB B 3 = / τ Sistemi del II ordine: Banda a 3dB B 3 = ω n 2ζ ζ 2 + 4ζ 4 Picco di risonanza Pulsazione di risonanza M r = 2ζ ζ 2 ω r = ω n 2ζ 2-5

16 Relazioni Parametri Sistemi II Ordine B 3 in funzione di ζ: B 3 = ω n 2ζ ζ 2 + 4ζ B 3 /ω n ζ M r in funzione di ζ: M r = 2ζ ζ Mr ζ -6

17 Esempi di Tracciamento Diagrammi di Bode Esempio : G (s) = s + 2 s 3 + 2s 2 + 4s Esempio 2: G 2 (s) = 3(s + ) (s + 3)(s + 5)(s + ) Esempio 3: G 3 (s) = s 2 + s (s 2 s + )(s + ) -7