Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione

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1 Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Risposta in frequenza Rappresentazione grafica naturale Rappresentazione grafica modificata di fdt elementari Esempio 7 Politecnico di Torino 1

2 Risposta in frequenza (1/3) La risposta in frequenza si analizza tramite G(s) s= jω j = G(jω) = G(jω) e = M( ω) e jϕ( ω) G( jω) ω < Sia s che ω sono misurati in rad/s (equivalente a s 1 ) L unità di misura di G(jω) e di G(jω) = M( ω), data dal rapporto fra l unità di misura dell uscita e quella dell ingresso, verrà definita d ora in poi unità naturale (u n ), = 4 7 Politecnico di Torino

3 Risposta in frequenza (/3) ϕ(ω) è misurata in radianti (rad) oppure in gradi ( ) Per il modulo M(ω) è usuale utilizzare anche l unità di misura decibel (db): M = log db 1 ( M ) u nat 5 Risposta in frequenza (/3) ϕ(ω) è misurata in radianti (rad) oppure in gradi ( ) Per il modulo M(ω) è usuale utilizzare anche l unità di misura decibel (db): M db = log1( Mu nat ) Proprietà particolari: 6 7 Politecnico di Torino 3

4 Risposta in frequenza (/3) ϕ(ω) è misurata in radianti (rad) oppure in gradi ( ) Per il modulo M(ω) è usuale utilizzare anche l unità di misura decibel (db): M db = log1( Mu nat ) Proprietà particolari: ± 1 ± 1 ± 1 Se G = G1 G Gk (blocchi in cascata) ± 1 ± 1 ± 1 Allora M = M M M u nat 1,u nat,u nat k,u nat IMPORTANTE! M = ± M ± M ± ± M db ϕ = ±ϕ 1,dB,dB 1 ± ϕ ± ± ϕk k,db 7 Rappresentazioni grafiche Risposta in frequenza (3/3) M(ω): R R (variabile indipendente ω in ascissa, variabile dipendente M in ordinata) ϕ(ω): R R (variabile indipendente ω in ascissa, variabile dipendente ϕ in ordinata) 8 7 Politecnico di Torino 4

5 Rappresentazione grafica naturale Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, modulo M (u n )in ordinata, ω in scala lineare 1 7 Politecnico di Torino 5

6 Rappresentazione grafica naturale Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, modulo M (u n )in ordinata, ω in scala lineare Diagramma naturale del modulo 11 Rappresentazione grafica naturale Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, modulo M (u n )in ordinata, ω in scala lineare Diagramma naturale del modulo Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, fase ϕ (gradi) in ordinata, ω in scala lineare 1 7 Politecnico di Torino 6

7 Rappresentazione grafica naturale Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, modulo M (u n )in ordinata, ω in scala lineare Diagramma naturale del modulo Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, fase ϕ (gradi) in ordinata, ω in scala lineare Diagramma naturale della fase 13 Un esempio (1/3) Sia data la seguente fdt G(s) = s(s s s + 1)(s + 1) G(jω) = jω( ω jω jω + 1)(jω + 1) Si noti che per ω G(jω) = j j jω ω e per ω G(jω) = j j 3 3 jω ω 14 7 Politecnico di Torino 7

8 3 Un esempio (/3) Risposta in frequenza di G (ascisse in scala lineare) Modulo (u nat ) Fase ( ) ω (rad/s) 15 Un esempio (3/3) Risposta in frequenza di G (ascisse in scala lineare, zoom) 3 Modulo (u nat ) Fase ( ) ω (rad/s) 16 7 Politecnico di Torino 8

9 Script Matlab utilizzato I quattro grafici precedenti sono stati generati con lo script Matlab Intro_UL.m 17 7 Politecnico di Torino 9

10 Rappresentazione grafica modificata Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, modulo M (db) in ordinata, ω in scala logaritmica 19 Rappresentazione grafica modificata Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, modulo M (db) in ordinata, ω in scala logaritmica Diagramma di Bode del modulo 7 Politecnico di Torino 1

11 Rappresentazione grafica modificata Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, modulo M (db) in ordinata, ω in scala logaritmica Diagramma di Bode del modulo Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, fase ϕ (gradi) in ordinata, ω in scala logaritmica 1 Rappresentazione grafica modificata Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, modulo M (db) in ordinata, ω in scala logaritmica Diagramma di Bode del modulo Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, fase ϕ (gradi) in ordinata, ω in scala logaritmica Diagramma di Bode della fase 7 Politecnico di Torino 11

12 Rappresentazione grafica modificata Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, modulo M (db) in ordinata, ω in scala logaritmica Diagramma di Bode del modulo Pulsazione ω (rad/s) in ascissa, fase ϕ (gradi) in ordinata, ω in scala logaritmica Diagramma di Bode della fase Diagramma di Bode DdB 3 Un esempio (1/3) Sia data la fdt dell esempio precedente G(s) = s(s s s + 1)(s + 1) G(jω) = jω( ω jω jω + 1)(jω + 1) Si noti che per ω G(jω) = j j jω ω e per ω G(jω) = j j 3 3 jω ω 4 7 Politecnico di Torino 1

13 Un esempio (/3) Risposta in frequenza di G (ascisse in scala logaritmica) 5 Modulo (db) Fase ( ) ω (rad/s) 5 Un esempio (3/3) Risposta in frequenza di G (ascisse in scala logaritmica, zoom) 6 Modulo (db) Fase ( ) ω (rad/s) 6 7 Politecnico di Torino 13

14 Script Matlab utilizzato I quattro grafici precedenti sono stati generati con lo script Matlab Intro_UL.m 7 Modulo (u nat ) 1 Confronti (1/) Risposta in frequenza di G (ascisse in scala lineare, zoom) 3 A B C D Modulo (db) Risposta in frequenza di G (ascisse in scala logaritmica, zoom) 6 A B C D Politecnico di Torino 14

15 Confronti (/) Risposta in frequenza di G (ascisse in scala lineare, zoom) Fase ( ) A E F D Risposta in frequenza di G (ascisse in scala logaritmica, zoom) Fase ( ) -1 - A E F D Politecnico di Torino 15

16 7 Politecnico di Torino Fdt elementari (1/5) Una qualunque fdt può essere espressa come prodotto di fdt elementari (fattori) appartenenti a quattro diverse tipologie i n n 4 i 3 i 1 s s 1 (s) : f s 1 (s) : f s (s) : f K (s) : f ± ± ± ω + ω ζ + λ 3 Fdt elementari (/5) La molteplicità i implica che i DdB del singolo fattore si ottengono semplicemente moltiplicando per i i DdB di modulo e fase dei fattori di molteplicità unitaria: 1 n n s s 1 (s) : f s 1 (s) : f s (s) : f K (s) : f ± ± ± ω + ω ζ + λ

17 Fdt elementari (3/5) I DdB di un fattore che è l inverso di un altro si ottengono semplicemente cambiando segno sia al DdB del modulo che a quello della fase. Si può quindi fare riferimento ai seguenti fattori elementari f (s) : f f f (s) : (s) : (s) : K s 1 1 s 1 λ ζ s 1 + s + ωn ω n 1 33 Fdt elementari (4/5) I fattori elementari f 1 (s), f (s), f 3 (s), f 4 (s) sono caratterizzati rispettivamente da: f 1 : un guadagno f : un polo nell origine (integratore) f 3 : un polo reale λ (negativo o positivo, ovvero stabile o instabile) f 4 : una coppia di poli complessi coniugati con pulsazione naturale ω n e fattore di smorzamento 1<ζ<1 (si ricorda che: ζ> coppia stabile; ζ< coppia instabile; ζ= coppia sull asse immaginario) 34 7 Politecnico di Torino 17

18 I fattori elementari f (s), f 3 (s), f 4 (s) f (s) : s 1 Fdt elementari (5/5) s f3(s) : 1 λ 1 ζ s f4(s) : 1 + s + ωn ωn sono espressi in forma a guadagno stazionario unitario Naturalmente i fattori inversi sono caratterizzati da zeri 1 35 DdB di un guadagno (1/) f (s) = K, 1 con K M( ω) = log 1 ( K ), costante ω per K >, costante ω ϕ( ω) = 18 per K <, costante ω 36 7 Politecnico di Torino 18

19 DdB di un guadagno (1/) f (s) = K, 1 con K M( ω) = log 1 ( K ), costante ω per K >, costante ω ϕ( ω) = 18 per K <, costante ω Ovviamente è altrettanto corretto il valore di +18 (sul piano complesso sono indistinguibili) 37 DdB di un guadagno (/) Risposta in frequenza di K=+ e K=- Modulo (db) - K=+/- db/dec Fase ( ) K=+ K= ω (rad/s) 38 7 Politecnico di Torino 19

20 Script Matlab utilizzato I grafici della diapositiva precedente sono stati generati con lo script Matlab bode_guadagno.m 39 DdB di un polo nell origine (1/3) Per maggiore generalità si prende in considerazione il fattore K f(s) =, con K > s K f(jω) = j ω K M( ω) = log1 = K ω ϕ( ω) = 9 = costante db log ω 1 ( ω) 4 7 Politecnico di Torino

21 DdB di un polo nell origine (/3) Dall espressione del modulo di f (ω) si deduce che Per ω=1 M=K db Per ω= K M= db (cioè 1 u n ) Il modulo dipende linearmente da log 1 (ω) attraverso il coefficiente Il DdB del modulo è una retta con pendenza di db/dec 41 Modulo (db) 4 DdB di un polo nell origine (3/3) Risposta in frequenza di G=K/s, con K=1 ω=1, M=K = db ω= K, M= db db/dec Fase ( ) ω (rad/s) 4 7 Politecnico di Torino 1

22 Script Matlab utilizzato I grafici della diapositiva precedente sono stati generati con lo script Matlab bode_polo.m 43 DdB di un polo multiplo nell origine K Sia f (s) =, con K > i s 44 7 Politecnico di Torino

23 DdB di un polo multiplo nell origine K Sia f (s) =, con K > i s i = molteplicità del polo 45 DdB di un polo multiplo nell origine Sia K f (s) =, con K > i s Per ω=1 M=K db Per ω = i K M= db (cioè 1 u n ) Il modulo dipende linearmente da log 1 (ω) attraverso il coefficiente i Il DdB del modulo è una retta con pendenza di i db/dec 46 7 Politecnico di Torino 3

24 s f3(s) = 1 λ f (jω) = 1 è comodo definire 3 f ( 1 jsign( λ) Ω) DdB di un polo reale λ (1/6) Ω = ω λ ( 1 + Ω ) M( Ω) = log1 ϕ( Ω) = sign( λ) arctan 3 (jω) = 1 j 1 ( Ω) ω λ 1 (adimensionata) 47 DdB di un polo reale λ (/6) Approssimazione in bassa frequenza (BF): ω << λ ω<< λ Ω<< 1 ( f ) lim 3 M = db = 1 ϕ = M e ϕ indipendenti da λ e in particolare dalla stabilità del polo 48 7 Politecnico di Torino 4

25 DdB di un polo reale λ (3/6) Approssimazione in alta frequenza (AF): lim ω>> λ Ω>> 1 ( f ) 3 ( Ω) 1 M = log1 = sign( λ) jω ϕ = sign( λ) 9 ω >> λ ϕ dipendente da λ e in particolare: ϕ= 9 per polo stabile ϕ=+9 per polo instabile ( R { λ} < ) ( R { λ} > ) M indipendente da λ e in particolare dalla stabilità del polo (pend.= db/dec) 49 DdB di un polo reale λ (4/6) Calcolo nel punto centrale Ω = 1 ovvero ω = 1 1 M = log1 3dB lim( f3 ) = ( 1 jsign( λ) ) ω= λ Ω= 1 ϕ = sign( λ) 45 ϕ dipendente da λ e in particolare: ϕ= 45 per polo stabile ϕ=+45 per polo instabile λ M indipendente da λ e in particolare dalla stabilità del polo 5 7 Politecnico di Torino 5

26 Modulo (db) DdB di un polo reale λ (5/6) Risposta in frequenza di G=(1-s/ λ) -1 Ω=1, M=-3 db λ, stabile o instabile db/dec Fase ( ) Ω=1, fase=±45 λ, instabile λ, stabile Ω = ω/ λ 51 DdB di un polo reale λ (6/6) Da ricordare Il contributo di un polo in BF è di ~ db/dec e di ~, indipendentemente che sia stabile o instabile Il contributo di un polo in AF è di ~ db/dec, che sia stabile o meno, di ~+9 se instabile e di ~-9 se stabile Nel punto centrale, Ω = 1 ovvero ω= λ, il modulo vale ~-3 db e la fase vale +45 se instabile e -45 se stabile L asintoto del modulo in AF (a - db/dec) interseca l asse a db esattamente in Ω =1 5 7 Politecnico di Torino 6

27 Script Matlab utilizzato I grafici dei DdB del polo reale sono stati generati con lo script Matlab bode_poloreale.m 53 DdB di poli complessi coniugati (1/9) ζ s f4(s) = 1 + s + ωn ωn è comodo definire f (jω) = 4 M( Ω) 1 Ω = f ω ω ω (jω) = 1 ω 1 ( 1 Ω + jζω) = log1 ( 1 Ω ) + 4ζ ϕ( Ω) = arg( 1 Ω + jζω) n 4 Ω + (adimensionata) n jζ 1 ω ωn 54 7 Politecnico di Torino 7

28 Approssimazione in BF: ω << ω Ipotesi : ω<<ω Ω<< ( f ) lim 4 1 n DdB di poli complessi coniugati (/9) M = db = 1 ϕ = n ( ζ ) M e ϕ indipendenti da ζ e in particolare dalla stabilità dei poli 55 lim ω>>ω Ω>> 1 n Approssimazione in AF: ω >> ω Ipotesi : ( f ) = ( Ω + jζω) 4 DdB di poli complessi coniugati (3/9) 1 ( ζ ) ( Ω) M = 4log1 ϕ = sign( ζ) 18 n ϕ dipendente da ζ e in particolare: ϕ= 18 per poli stabili (ζ>) ϕ=+18 per poli instabili (ζ<) M indipendente da ζ e in particolare dalla stabilità dei poli. Pendenza = 4 db/dec 56 7 Politecnico di Torino 8

29 DdB di poli complessi coniugati (4/9) ( ) Calcolo nel punto centrale : ω = ωn Ipotesi : ζ 1 1 M = log 1 lim ( f ) = ( ζ) 4 j ζ ω=ω Ω= 1 n ϕ = sign( ζ) 9 ϕ dipendente da ζ e in particolare: ϕ= 9 per poli stabili (ζ>) ϕ=+9 per poli instabili (ζ<) M dipendente da ζ, ma non dalla stabilità dei poli 57 DdB di poli complessi coniugati (5/9) f Caso particolare: ζ = 4 ζ= = ( 1 Ω ) 1 M = log1 1 Ω = 4log Ω < 1 ϕ = ± 18 Ω > 1 indeterm. per Ω = 1 1 ( Ω) in BF in AF per Ω 1 ± 58 7 Politecnico di Torino 9

30 Modulo (db) 4 DdB di poli complessi coniugati (6/9) Risposta in frequenza di G= ( 1+ζs/ω +s -1 /ω n n ) ζ= ζ=+.5 ζ=+.4 e ζ=-.4 4 db/dec - ζ= Fase ( ) 18 9 ζ=-.4 ζ= ζ=+.5-9 ζ=+.4 ζ= Ω = ω/ω n DdB di poli complessi coniugati (7/9) Da ricordare Il contributo in BF è di ~ db/dec e di ~, indipendentemente che siano stabili o instabili Il contributo in AF è di ~ 4 db/dec, che siano stabili o meno, di ~+18 se instabili e di ~-18 se stabili Nel punto centrale, Ω = 1 ovvero ω= ω n, il modulo vale 1/( ζ ) u n mentre la fase vale +9 se instabili e -9 se stabili L asintoto del modulo in AF interseca l asse a db esattamente in Ω =1 6 7 Politecnico di Torino 3

31 DdB di poli complessi coniugati (8/9) NB: Il DdB del modulo presenta un massimo M r (risonanza) in ω r ω n Tale massimo esiste se ζ < ω r = ωn 1 ζ ωr < ωn M r = M( ωr ) = > 1 ζ 1 ζ Ovviamente M( ω = ω n ζ< 1 ) < M( ω = ω ) ( u ) r nat 61 Risposta in frequenza di G=(1+ζs/ω +s /ω n n ) -1, con ζ=.4 e ω =1 n 6 ω=ω =1 4 n M=1/(ζ)=1.5 (1.94 db) DdB di poli complessi coniugati (9/9) Modulo (db) ω=ω r = 1-ζ =.8 M =1/(ζ 1-ζ )=1.36 (.7 db) r Ω = ω/ω n Politecnico di Torino 31

32 Script Matlab utilizzato I grafici dei DdB della coppia di poli complessi coniugati sono stati generati con lo script Matlab bode_policompl.m 63 7 Politecnico di Torino 3

33 La fdt G(s) (1/3) La fdt G(s) = s(s s s + 1)(s + 1) 1.1 = 1 1 s s s = s.1 1 s 1 può essere vista come il prodotto (blocchi in cascata) dei seguenti fattori elementari 65 La fdt G(s) (/3) G 1 = s integratore con guadagno K = G = 1 s.1 inverso del fattore con polo reale λ =.1 ( zero) G 3 s s = poli complessi coniugati con ω = 1, ζ =. 1 n n 66 7 Politecnico di Torino 33

34 1 s G 4 = 1 polo reale λ = 1 1 G = 4 G k k= 1 La fdt G(s) (3/3) 67 della fdt G Le cinque diapositive che seguono riportano, nell ordine, i DdB del modulo di G 1, G, G 3, G 4 e G Lo studente verifichi che il modulo di G in una qualunque ω è dato dalla somma dei moduli delle fdt G i nella stessa ω Le ulteriori cinque successive diapositive riportano, nell ordine, i DdB della fase di G 1, G, G 3, G 4 e G Lo studente verifichi che la fase di G in una qualunque ω è data dalla somma delle fasi delle fdt G i nella stessa ω 68 7 Politecnico di Torino 34

35 Convenzioni grafiche utilizzate polo nell origine zero nell origine polo reale coppia di poli complessi coniugati zero reale nell origine coppia di zeri complessi coniugati 69 DdB dei moduli (1/5) 5 Modulo di G 1-5 db/dec ω Politecnico di Torino 35

36 DdB dei moduli (/5) 5 + db/dec Modulo di G ω DdB dei moduli (3/5) 5 14 db Modulo di G db/dec ω Politecnico di Torino 36

37 DdB dei moduli (4/5) 5 Modulo di G 4-5 db/dec ω DdB dei moduli (5/5) 5 db/dec Modulo di G -5 6 db/dec ω Politecnico di Torino 37

38 DdB delle fasi (1/5) 5 Fase di G ω 75 DdB delle fasi (/5) 5 Fase di G ω 76 7 Politecnico di Torino 38

39 DdB delle fasi (3/5) 5 Fase di G ω 77 DdB delle fasi (4/5) 5 Fase di G ω 78 7 Politecnico di Torino 39

40 DdB delle fasi (5/5) 5 Fase di G ω 79 Script Matlab utilizzato I grafici delle precedenti dieci diapositive sono stati generati con lo script Matlab bode_esempio1.m 8 7 Politecnico di Torino 4

41 DdB in Matlab (1/) I DdB possono essere tracciati in ambiente Matlab utilizzando il comando bode (per la sintassi consultare il relativo help o il manuale breve fornito a parte) Nel caso della fdt precedente, ad esempio, i comandi Matlab che permettono di ottenere i DdB nel modo più semplice sono i seguenti: >> s=tf( s ) >> G=*(s+.1)/s/(s^+.*s+1)/(s+1) >> bode(g), grid on 81 DdB in Matlab (/) 8 7 Politecnico di Torino 41

42 Approssimazioni in BF e in AF G 5.8 G BF AF 3 s s s 3 3 A M = db; ω = 5.8 B M = db; ω = D A C D ω = 1; M = 6 db = u n ω = 1; M = 46 db = u n C B 83 DdB dei poli specchio riassuntivo C Politecnico di Torino 4

43 DdB dei poli specchio riassuntivo C DdB dei poli specchio riassuntivo C Politecnico di Torino 43

44 DdB dei poli specchio riassuntivo C DdB dei poli specchio riassuntivo C Politecnico di Torino 44

45 DdB dei poli specchio riassuntivo C DdB dei poli specchio riassuntivo C Politecnico di Torino 45

46 DdB dei poli specchio riassuntivo C DdB dei poli specchio riassuntivo C Politecnico di Torino 46

47 Script Matlab utilizzato I DdB delle precedenti nove diapositive sono stati generati con lo script Matlab bode_riassuntivo_poli.m 93 DdB degli zeri I DdB degli zeri si ottengono da quelli dei poli di pari valore cambiando segno sia ai moduli (in db) che alle fasi (in gradi) 94 7 Politecnico di Torino 47

48 Osservazioni importanti (1/3) Il DdB del modulo tende a db ( u n ) c è almeno un polo sull asse immaginario (del piano C) Polo reale in, semplice o multiplo (in tal caso il modulo per ω ) Coppia di poli immaginari coniugati in ±jω o, semplice o multipla (in tal caso il modulo per ω ω o e la fase presenta una discontinuità di ±18 per ω=ω o ) 95 Osservazioni importanti (/3) Il DdB del modulo tende a db ( u n ) c è almeno uno zero sull asse immaginario (del piano C) Zero reale in, semplice o multiplo (in tal caso il modulo per ω ) Coppia di zeri immaginari coniugati in ±jω o, semplice o multipla (in tal caso il modulo per ω ω o e la fase presenta una discontinuità di ±18 per ω=ω o ) 96 7 Politecnico di Torino 48

49 Osservazioni importanti (3/3) I DdB dei poli (zeri) di molteplicità i si ottengono da quelli del polo (zero) semplice moltiplicando i valori del modulo e della fase per i 97 7 Politecnico di Torino 49