FORMULARIO DI CONTROLLI AUTOMATICI

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1 FORMULARIO DI CONTROLLI AUTOMATICI Sistema x (t) = A x (t) + B u (t) y (t) = C x (t) + D u (t) Funzione di trasferimento G (s) = y (s) / u (s) = C (si A) -1 B + D Sistema Serie G (s) = i G i (s) prodotto delle G (s) Sistema Parallelo somma delle G (s) G (s) = i G i (s) Sistema in Retroazione Negativa G (s) = G 1 (s) / [ 1 + G 1 (s) G 2 (s) ] Sistema in Retroazione Positiva G (s) = G 1 (s) / [ 1 G 1 (s) G 2 (s) ] Funzione d anello L (s) = G 1 (s) G 2 (s) Risposta in Frequenza G (jw) = y (jw) / u (jw) = C (jwi A) -1 B + D PS: in sostanza si trasforma la s in jw Diagrammi di Bode Vengono rappresentati su carta semilogaritmica, distinguendo due diagrammi: quello del modulo (ascisse w poste in decadi, ordinate in db decibel) e quello della fase che vede nelle ascisse gli w, anche qui posti in decadi, e nelle ordinate i gradi. Fattorizzazione della G (s) e della G (jw)

2 dove indichiamo con: Guadagno della Funzione Zero semplice Zero complesso coniugato Polo nell origine se g>0, zero nell origine se g<0 Polo semplice Polo complesso coniugato Diagramma del Modulo NB: per gli zeri la retta sale, per i poli la retta scende!!! X = 20 log 10 retta parallela all asse 0dB. Se manca si traccia la retta lungo l asse 0dB per tutto il diagramma Retta inclinata di 20dB/decade (moltiplicata per g) che attraversa tutto il diagramma e passa dal punto 10 0 all intersezione con la retta di oppure se manca di 0dB Retta inclinata di 20dB/decade che parte dal punto nella retta di oppure se manca di 0dB. Dove = 1/w c e dove w c è il coefficiente di jw Retta inclinata di 20dB/decade che parte dal punto T nella retta di oppure se manca di 0dB. Dove T = 1/w c e dove w c è il coefficiente di jw Retta inclinata di 40dB/decade che parte dal punto w n = nella retta di oppure se manca di 0dB. Dove T = 1/coefficiente termine quadro. Retta inclinata di 40dB/decade che parte dal punto w n = nella retta di oppure se manca di 0dB. Dove T = 1/coefficiente termine quadro. Inoltre calcoliamo anche il termine = [ w n x coeff.di jw ] / 2 che ci dice quanto scosta il diagramma reale da quello asintotico. Diagramma de valore (il suo valore è sempre compreso tra 0 e 1)

3 Tracciati tutti i contributi si sommano algebricamente, formando il diagramma asintotico e da questo si traccia qualitativamente il diagramma reale. Diagramma della fase PS: sono tutte linee orizzontali parallele > 0 retta orizzontale a 0 su tutto il diagramma < 0 retta orizzontale a 180 su tutto il diagramma g > 0 retta orizzontale a 90 g su tutto il diagramma g < 0 retta orizzontale a 90 g su tutto il diagramma Retta orizzontale a 90 che parte dal punto Retta orizzontale a 90 che parte dal punto T Retta orizzontale a 180 che parte dal punto w n Retta orizzontale a 180 che parte dal punto w n Diagramma de valore (il suo valore è sempre compreso tra 0 e 1) Tracciati tutti i contributi si sommano algebricamente, formando il diagramma asintotico e da questo si traccia qualitativamente il diagramma reale. Criterio di Bode Se la funzione di trasferimento d anello L (s) non ha poli con parte reale positiva (P=0) e se inoltre il diagramma del modulo di Bode della L (s) attraversa una sola volta l asse a 0dB allora il sistema si dirà asintoticamente stabile se risulta > 0 e margine della fase > 0. Margine di guadagno K m Misura la distanza in corrispondenza alla pulsazione w p per la quale si ha una fase di 180 tra il valore del modulo della funzione e l asse a 0 db. Se tale valore non esiste allora K m =

4 Margine di fase Misura la differenza tra 180 ed il valore il modulo della fase o calcolata in corrispondenza alla pulsazione w c che rende unitario il modulo della funzione. Se tale valore non esiste allora = Diagramma di Nyquist Il diagramma di Nyquist ci da informazioni importanti per verificare il criterio di Nyquist, mostrando attraverso il piano di Gauss, il diagramma polare della fase della funzione. lim [G (s)] s0 lim [G (s)] s valore da cui inizia il diagramma di Nyquist qualitativo valore in cui finisce il diagramma di Nyquist qualitativo Si traccia il diagramma della fase di Bode e da esso si ricava il diagramma polare percorrendo il percorso del diagramma asintotico e riportandolo qualitativamente sugli assi cartesiani. Da questo tracciamo il suo opposto, prendendo come asse simmetrico quello delle ascisse. Il grafico ottenuto è il diagramma di Nyquist Criterio di Nyquist P = numero di poli a parte reale positiva della G(s) N = numero di circonduzioni che il diagramma di Nyquist fa attorno al punto (-1,0) Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema sia asintoticamente stabile è: N = P Routh Hurwitz Indica la stabilità interna del sistema G(s) = N(s) / D(s) d(s) = D(s) + KN(s) d(s) = a n s n + a n-1 s n-1 + a n-2 s n a 1 s + a 0 = a n (s) + a n-1 (s)

5 Se la prima colonna mantiene lo stesso segno in tutti I suoi elementi, il sistema è asintoticamente stabile, instabile altrimenti. Inoltre ad ogni cambio di segno corrisponde una radice instabile In presenza di parametri k nella prima colonna, si pone il termine >0 e risolvendo tale/i disequazione/i si trovano i valori di k affinché il sistema risulti stabile. Funzioni di Sensitività S(s) = 1 / [1 + R(s)G(s) ] F(s) = [R(s)G(s)] / [1 + R(s)G(s)] Q(s) = [R(s)] / [1 + R(s)G(s)] Funzione di Sensitività Funzione di Sensitività Complementare Funzione di Sensitività del Controllo Risposte in Frequenza delle Funzioni di Sensitività S(jw) = L(jw) per w > w c altrimenti 1 F(jw) = 1 / L(jw) per w <= w c altrimenti 1 Q(jw) = R(jw) per w > w c altrimenti 1 / [ G(jw) ] Progettazione del Controllore Viene utilizzata la tecnica della Sintesi per Tentativi, che vede via via in base a delle specifiche date incrementare il controllore. E utile scomporre il controllore in due parti: R(s) = R 1 (s) R 2 (s) dove: R 1 (s) = µ R / s g parte statica del regolatore R 2 (s) = ( i ) / ( i ) parte dinamica o rete stabilizzatrice Le specifiche per la progettazione del regolatore si traducono sempre in margine di fase e di guadagno. Per modificarli quindi bisogna aggiungere poli (per abbassare il grafico) oppure zeri (per alzarlo) oppure aggiungendo il guadagno. Regola: ad ogni polo o zero aggiunto, si deve inserire rispettivamente uno zero o polo arbitrario magari alla fine del grafico in modo che non dia fastidio Polo o zero (1 + st) dove la T = 1 / w, dove w è il valore preo dal grafico per cui la ns. specifica è verificata. Progetto controllore parte statica Si riferisce sempre all errore a regime per una forma d ingresso di un riferimento. Si vede la tabella sotto e si pone il valore corrispondente paragonato alla specifica data. Si risolve l eventuale disequazione ed il risultato, fratto eventuali poli (si vede dalla colonna g) è il regolatore statico. Progettazione in presenza di specifiche dinamiche (cenni) Presenza di disturbo d a bassa frequenza Si pone la risposta in frequenza della S(s) <= alla specifica data. Presenza di disturbo n ad alte frequenze Si pone la risposta in frequenza della F(s) <= alla specifica data

6 Sovraelongazione S% S% = 100e /V1-2 oppure possiamo ricavare direttamente dal grafico accanto = 100 Specifica K v E il prolungamento del polo o zero nell origine del diagramma asintotico fino ad intersecare l asse a 0dB. La differenza tra il punto dell intersezione e il punto in perpendicolare che tocca il grafico è il K v. NB: esistono altre specifiche che però riguardo questo corso abbiamo solo accennato e quindi non è il caso di inserirle. Inoltre in caso di aumento del margine di fase può essere utilizzata una rete anticipatrice, mentre in caso di diminuzione, una rete ritardatrice.