Geometria Analitica Domande e Risposte

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Geometria Analitica Domande e Risposte"

Transcript

1 Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano distinguiamo tre casi: a) i due punti hanno la stessa ordinata, ovvero sono sulla stessa retta orizzontale in tal caso basta calcolare il valore assoluto della differenza delle ascisse dei due punti: P ( ) ( ) ; P ; ; P P b) i due punti hanno la stessa ascissa, ovvero sono sulla stessa retta verticale in tal caso basta calcolare il valore assoluto della differenza delle loro ordinate: P ( ) ( ) ; P ; ; c) i due punti sono disposti genericamente nel piano P P P ( ) P ( ) ; P P ( ) ( ) ; ;. Qual è la formula del punto medio di due punti nel piano cartesiano? Dati i punti P ( ; ) e P ( ; ), il punto medio M tra essi ha coordinate: M ( ; ) ; M M. Come si calcola l area di un triangolo nel piano cartesiano a partire dalle coordinate dei suoi punti? Dati i punti A ( ; ), B ( ) ; e C ( ; ), disposti in senso antiorario, essi individuano un triangolo; l area di tale triangolo può essere calcolata: a) calcolando le lunghezze dei lati del triangolo, ovvero le tre distanze AB, BC, CA ed applicando la nota formula di Erone: indicate con a, b e c le misure dei tre lati e con p il perimetro del triangolo, si ha: p p p p A a b c b) molto più semplicemente mediante la seguente formula che fa uso di un determinante del ordine: - -

2 A. Il determinante può essere calcolato con la nota regola di Sarrus: ( ) B. La Retta 4. Qual è l equazione della retta in forma nel piano cartesiano? L equazione della generica retta nel piano cartesiano in forma esplicita è m q, mentre quella in forma implicita è a b c. 5. Che differenza c è tra la forma esplicita e quella implicita? Con la rappresentazione in forma implicita si possono rappresentare tutte le possibili rette del piano mentre con la rappresentazione in forma esplicita si possono rappresentare tutte le rette escluse quelle verticali. 6. Qual è il significato dei coefficienti m e q della rappresentazione in forma esplicita? m è detto coefficiente angolare mentre q è detto intercetta o termine noto m rappresenta l inclinazione o pendenza della retta rispetto all asse. In base al segno (positivo, negativo o nullo) di m possiamo capire se la retta sale, scende o è orizzontale, mentre in base al valore assoluto di m, possiamo capire di quanto sale o scende. m > retta ascendente segno di m : m retta orizzontale m < retta discendent e valore m : m m m > angolo retta - asse > 45 angolo retta - asse 45 < angolo retta - asse < 45 q rappresenta l ordinata del punto di intersezione della retta con l asse delle ordinate. 7. Qual è l equazione della generica retta verticale? L equazione della generica retta verticale non può essere data in forma esplicita poiché la forma esplicita non permette di rappresentare le rette verticali. Tale equazione è: dove h è il punto in cui la retta interseca l asse. h - -

3 8. Qual è l equazione dell asse delle ordinate? L asse delle ordinate o asse è una retta verticale e la sua equazione è: 9. Qual è l equazione della generica retta orizzontale? L equazione della generica retta orizzontale si può ricavare dall equazione della retta in forma esplicita ponendo a zero il coefficiente angolare. Tale equazione è: q dove q è il punto in cui la retta interseca l asse.. Qual è l equazione dell asse delle ascisse? L asse delle ascisse o asse è una retta orizzontale e la sua equazione è:. Qual è l equazione della generica retta passante per l origine? L equazione della generica retta passante per l origine si può ricavare dall equazione generale ponendo q. Tale equazione è: m. Qual è l equazione della retta bisettrice del I-III quadrante? La retta bisettrice del I-III quadrante è una retta ascendente, passante per l origine e, avendo un angolo di 45 rispetto all asse, il suo coefficiente angolare è pari a. Pertanto la sua equazione in forma esplicita risulta: mentre in forma implicita è:. Qual è l equazione della retta bisettrice del II-IV quadrante? La retta bisettrice del II-IV quadrante è una retta discendente, passante per l origine e, avendo un angolo di 45 rispetto all asse, il suo coefficiente angolare è pari a -. Pertanto la sua equazione in forma esplicita risulta: mentre in forma implicita è: 4. Come si fa a verificare se un punto appartiene ad una retta? Per verificare se un punto appartiene ad una retta, si sostituiscono le sue coordinate e nell equazione della retta: se si ottiene un uguaglianza, allora il punto appartiene alla retta; se invece si ottiene una disuguaglianza, il punto non appartiene alla retta. - -

4 5. Come si effettua l intersezione tra due rette? Per effettuare l intersezione tra due rette si procede in due modi, quello algebrico e quello grafico: a) in modo algebrico si mettono le equazioni delle due rette a sistema e con uno dei metodi studiati al terzo anno (sostituzione, confronto, Cramer, ecc.) si risolve il sistema. I valori della e della daranno le coordinate dell eventuale punto di intersezione. b) in modo grafico si tracciano i grafici delle due rette sullo stesso diagramma, delineando il punto di intersezione; le coordinate di tale punto potranno essere dedotte graficamente. Ovviamente i risultati ottenuti con i due metodi dovranno essere coincidenti. Si possono verificare tre situazioni: a) se il sistema algebrico è impossibile vuol dire che non esistono intersezioni, quindi le due rette sono geometricamente parallele; b) se il sistema algebrico è indeterminato vuol dire che esistono infinite soluzioni, quindi le due rette sono geometricamente coincidenti; c) infine se il sistema algebrico è determinato, esiste una sola soluzione e le due rette sono incidenti. 6. Quando due rette sono parallele? m q e m' q' Due rette di equazioni angolari; in altre parole dev essere: sono parallele se hanno gli stessi coefficienti m m' Se le due rette sono date in forma implicita a b c e a ' b' c' esse sono parallele se risulta: a : b a': b' 7. Quando due rette sono perpendicolari? m q e m' q' Due rette di equazioni sono perpendicolari se uno dei coefficienti angolari è uguale all opposto del reciproco dell altro: m Se le due rette sono date in forma implicita a b c e a ' b' c', esse sono perpendicolari se risulta: a a' b b' m' 8. Cosa si intende per fascio proprio di rette? Un fascio proprio di rette è l insieme di tutte le rette del piano passanti per un punto proprio ( ) L equazione del fascio proprio di rette passanti per P è : ( ) m P. ; 9. Cosa si intende per fascio improprio di rette? Un fascio proprio di rette è l insieme di tutte le rette del piano parallele ad una retta data. Ad esempio, l equazione del fascio proprio di rette parallele alla retta 5 è : q dove q è il parametro al cui variare vengono descritte tutte le rette del fascio

5 . Come si trova l equazione della retta passante per un punto P e parallela ad una retta data r? In primo luogo si trova il fascio proprio di rette passanti per P. Successivamente al coefficiente angolare del fascio si sostituisce il valore del coefficiente angolare della retta r assegnata. Esempio numerico. Si vuole l equazione della retta passante per ( ; ) r : 5. Il fascio proprio di rette passanti per ( ; ) P ha equazione: ( ( ) ) m ( ) m m m P e parallela alla retta La retta r : 5 ha per coefficiente angolare m -. Sostituendo tale valore nell equazione del fascio si ottiene: ( ) 6 e infine. Come si trova l equazione della retta passante per un punto P e perpendicolare ad una retta data r? In primo luogo si trova il fascio proprio di rette passanti per P. Successivamente al coefficiente angolare del fascio si sostituisce l opposto del reciproco del valore del coefficiente angolare della retta r assegnata. Esempio numerico. Si vuole l equazione della retta passante per ( ; ) retta r : 5. Il fascio proprio di rette passanti per ( ; ) P ha equazione: ( ( ) ) m ( ) m m m P e perpendicolare alla La retta r : 5 ha per coefficiente angolare m -. Per avere la retta perpendicolare dobbiamo calcolare l opposto del reciproco di m, dunque: m ( ) Sostituendo nell equazione del fascio si ottiene : e infine

6 . Come si trova l equazione della retta passante per due punti P ( ) e ( ) ; P ;? In primo luogo si trova il fascio proprio di rette passanti per P. Successivamente al coefficiente angolare del fascio si sostituisce il valore di m così ottenuto: m Esempio numerico. Si vuole l equazione della retta passante per P ( ;) e ( 4;) Il fascio proprio di rette passanti per P ( ;) ha equazione: ( ) m m m P. Calcoliamo ora m: m 4 6 Sostituendo nell equazione del fascio si ottiene : e infine. Qual è l espressione della distanza di un punto da una retta? Se la retta è data in forma esplicita, la distanza d tra il punto ( ; ) d ( m q) m P e la retta m q è : Se invece la retta è data in forma implicita, la distanza d tra il punto ( ) d a b a b c P e la retta a b c è ; - 6 -

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

Appunti: il piano cartesiano. Distanza tra due punti

Appunti: il piano cartesiano. Distanza tra due punti ppunti: il piano cartesiano Distanza tra due punti Come determinare la distanza tra i punti ( ; ) e ( ; ): Se i due punti e hanno la stessa ascissa = allora (-3;1) (-3; 5) d()= d()= 1 5 4 4 Se i due punti

Dettagli

Quadro riassuntivo di geometria analitica

Quadro riassuntivo di geometria analitica Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive

Dettagli

Piano cartesiano e Retta

Piano cartesiano e Retta Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L

Dettagli

Punti nel piano cartesiano

Punti nel piano cartesiano Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE).

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

Rappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni:

Rappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni: ultima modifica /0/0 ESERCIZI PROPOSTI IL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE DI UN PUNTO NEL PIANO CARTESIANO A Quali sono le coordinate dei punti indicati in figura? B Quali sono le coordinate dei punti indicati

Dettagli

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse: La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione

Dettagli

LE COORDINATE CARTESIANE

LE COORDINATE CARTESIANE CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni GEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Conoscenze (tutti)

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Conoscenze (tutti) ELEMENTI DI GEMETRIA ANALITICA Conoscenze (tutti) 1. Completa. a. La formula matematica che mette in relazione il valore della x con il corrispondente valore della y si chiama... b. Le equazioni di primo

Dettagli

asse fuoco vertice direttrice Fig. D3.1 Parabola.

asse fuoco vertice direttrice Fig. D3.1 Parabola. D3. Parabola D3.1 Definizione di parabola come luogo di punti Definizione: una parabola è formata dai punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. L equazione della parabola

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

C I R C O N F E R E N Z A...

C I R C O N F E R E N Z A... C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa

Geometria analitica di base. Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Funzioni quadratiche Funzioni a tratti Funzioni di proporzionalità inversa Equazioni di primo grado nel piano cartesiano Risoluzione grafica di un equazione

Dettagli

Piano cartesiano e retta

Piano cartesiano e retta Piano cartesiano e retta Il punto, la retta e il piano sono concetti primitivi di cui non si da una definizione rigorosa, essi sono i tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Osservazione

Dettagli

LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO

LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un verso di percorrenza;

Dettagli

1. LA GEOMETRIA ANALITICA

1. LA GEOMETRIA ANALITICA LA GEOMETRIA ANALITICA IL PIANO CARTESIANO Coordinate cartesiane Due rette orientate nel piano perpendicolari tra loro, aventi come punto d intersezione il punto O, costituiscono un sistema di riferimento

Dettagli

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2 Distanza tra punti e punto medio di un segmento Siano P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ) due punti del piano cartesiano. La distanza di P da Q vale: P Q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (si utilizza il Teorema

Dettagli

Esercizi di Geometria Analitica

Esercizi di Geometria Analitica Esercizi di Geometria Analitica Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 10 settembre 2012 Capitolo 1 Esercizi di geometria analitica

Dettagli

Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari)

Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari) Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari). Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato

Dettagli

Geometria analitica. coppia di numeri equazione di 2 grado. delle equazioni

Geometria analitica. coppia di numeri equazione di 2 grado. delle equazioni 1 Geometria analitica La geometria analitica stabilisce una corrispondenza tra il mondo della geometria e il mondo dell'algebra. Ciò significa che gli enti geometrici hanno degli enti corrispondenti nel

Dettagli

LA RETTA. La retta è un insieme illimitato di punti che non ha inizio, né fine.

LA RETTA. La retta è un insieme illimitato di punti che non ha inizio, né fine. LA RETTA La retta è un insieme illimitato di punti che non ha inizio, né fine. Proprietà: Per due punti del piano passa una ed una sola retta. Nel precedente modulo abbiamo visto che ad ogni punto del

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA 1 IL PIANO CARTESIANO

GEOMETRIA ANALITICA 1 IL PIANO CARTESIANO GEOMETRI NLITIC 1 IL PINO CRTESINO Il piano cartesiano è costituito da due rette orientate e tra loro perpendicolari chiamate assi cartesiani, generalmente una orizzontale e l altra verticale, sulle quali

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

Circonferenza. Matteo Tugnoli. February 26, 2012

Circonferenza. Matteo Tugnoli. February 26, 2012 Circonferenza Matteo Tugnoli February 26, 2012 Versione preliminare, NON esente da errori, se il lettore riscontrasse delle imprecisioni può gentilmente segnalarle a matteo_tugnoli@yahoo.it 1 Luogo dei

Dettagli

Questo paragrafo e quello successivo trattano gli stessi argomenti del capitolo B6 relativo alla soluzione grafica dei sistemi di primo grado.

Questo paragrafo e quello successivo trattano gli stessi argomenti del capitolo B6 relativo alla soluzione grafica dei sistemi di primo grado. D1. Retta D1.1 Equazione implicita ed esplicita Ogni equazione di primo grado in due incognite rappresenta una retta sul piano cartesiano (e viceversa). Si può scrivere un equazione di primo grado in due

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57

Dettagli

Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo

Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo 24 febbraio 2010 1 Per altri materiali didattici o per contattarmi: Blog personale:

Dettagli

Funzioni elementari. Funzioni lineari. 13. Funzioni elementari. Funzioni lineari.

Funzioni elementari. Funzioni lineari. 13. Funzioni elementari. Funzioni lineari. Funzioni elementari. Funzioni lineari. Funzioni elementari Per potere determinare le proprietà e quindi il grafico di una qualsiasi funzione a partire dalla sua espressione analitica, dobbiamo prima di

Dettagli

B6. Sistemi di primo grado

B6. Sistemi di primo grado B6. Sistemi di primo grado Nelle equazioni l obiettivo è determinare il valore dell incognita che verifica l equazione. Tale valore, se c è, è detto soluzione. In un sistema di equazioni l obiettivo è

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano note a cura di Luigi Carlo Oldani - novembre 9 A technique ceases to be a trick and becomes a method only when it has been encountered enough times to seem natural. W.J.LeVeque,

Dettagli

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1. Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero

Dettagli

Anno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE SECONDA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE

Anno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE SECONDA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE LICEO LAURA BASSI - BOLOGNA Anno Scolastico 2015/16 PROGRAMMAZIONE ANNUALE CLASSE SECONDA LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO ECONOMICO-SOCIALE LICEO MUSICALE MATEMATICA ARGOMENTI: EQUAZIONI

Dettagli

Problemi con discussione grafica

Problemi con discussione grafica Problemi con discussione grafica Un problema con discussione grafica consiste nel determinare le intersezioni tra un fascio di rette (proprio o improprio) e una particolare funzione che viene assegnata

Dettagli

PALESTRA PER IL RECUPERO

PALESTRA PER IL RECUPERO PIAN CARTESIAN E RETTA PALESTRA PER IL RECUPER SVLTI Determinare l equazione della retta passante per ð 3; Þ e per il punto P d intersezione della retta r di equazione 0 e della retta s di equazione 0.

Dettagli

2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0.

2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0. CLASSE 3^ C LICEO SCIENTIFICO Novembre 01 La circonferenza 1. Ricava l equazione di ciascuna delle circonferenze rappresentate, spiegando in maniera esauriente il procedimento che seguirai, prima di svolgere

Dettagli

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 013-014 ESERCIZI RELATIVI A SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO Esercizio 1: Fissato su una retta un sistema di riferimento

Dettagli

Geometria analitica di base (seconda parte)

Geometria analitica di base (seconda parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo

Dettagli

PIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi

PIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso

Dettagli

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO DEFINIZIONE Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti

Dettagli

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono

Dettagli

Formulario di Geometria Analitica a.a

Formulario di Geometria Analitica a.a Formulario di Geometria Analitica a.a. 2006-2007 Dott. Simone Zuccher 23 dicembre 2006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).

Dettagli

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza

Dettagli

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne CHE COS È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da

Dettagli

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.

Dettagli

Francesco Zumbo

Francesco Zumbo La retta - Teorema di Talete - Equazione della retta: passante per due punti, implicita, esplicita - Parallele e Perpendicolari - Fascio Propio e improprio - Intersezione tra rette Francesco Zumbo www.francescozumbo.it

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta.

GEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta. EQUAZIONE DELLA RETTA Teoria in sintesi GEOMETRIA ANALITICA Dati due punti A e B nel piano, essi individuano (univocamente) una retta. La retta è rappresentata da un equazione di primo grado in due variabili:

Dettagli

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con

Dettagli

Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13

Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04/11/ 13 Soluzione esercizi sulle funzioni - 5 a E Liceo Scientifico - 04// 3 Esercizio. Si consideri la funzione ) se 0 f) e se 0. e si verifichi che non è continua in 0. Che tipo di discontinuità presenta in

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Dettagli

TEST SULLE COMPETENZE Classe Seconda

TEST SULLE COMPETENZE Classe Seconda TEST SULLE COMPETENZE Classe Seconda 1 Una sola tra le seguenti proposizioni è FALSA Quale? A Se due punti A e B hanno la stessa ascissa, il coefficiente angolare della retta che li contiene non è definito

Dettagli

Appunti sulla circonferenza

Appunti sulla circonferenza 1 Liceo Falchi Montopoli in Val d Arno - Classe 3 a I - Francesco Daddi - 16 aprile 010 Appunti sulla circonferenza In queste pagine sono trattati gli argomenti riguardanti la circonferenza nel piano cartesiano

Dettagli

Appunti ed esercizi di geometria analitica PRIMA PARTE

Appunti ed esercizi di geometria analitica PRIMA PARTE Appunti ed esercizi di geometria analitica PRIMA PARTE Per la teoria studiare su il libro di testo La retta e i sistemi lineari, modulo E, da pagina 594 a pagina 597. Esercizi da pagina 617 a pagina 623.

Dettagli

Esercizi svolti sulla parabola

Esercizi svolti sulla parabola Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 19 dicembre 011 Esercizi svolti sulla parabola Esercizio 1. Determinare l equazione della parabola avente fuoco in F(1, 1) e per direttrice

Dettagli

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB); VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.

Dettagli

CORSO DI RECUPERO DI MATEMATICA PER ALUNNI CLASSI TERZE CON GIUDIZIO SOSPESO

CORSO DI RECUPERO DI MATEMATICA PER ALUNNI CLASSI TERZE CON GIUDIZIO SOSPESO CORSO DI RECUPERO DI MATEMATICA PER ALUNNI CLASSI TERZE CON GIUDIZIO SOSPESO ESERCIZI PROPOSTI 1. DATI I PUNTI A(3,-) E B(-5,): A. RAPPRESENTARLI SUL PIANO; B. CALCOLARE LA LORO DISTANZA; C. CALCOLARE

Dettagli

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1. L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze

Dettagli

Istituto di Istruzione Superiore L. da Vinci Civitanova Marche. Anno scolastico PROGRAMMA SVOLTO. Materia: Matematica

Istituto di Istruzione Superiore L. da Vinci Civitanova Marche. Anno scolastico PROGRAMMA SVOLTO. Materia: Matematica Anno scolastico 2015-2016 PROGRAMMA SVOLTO Materia: Matematica Docente: Massimiliano Iori Classe : 2F Indirizzo: Linguistico Disequazioni lineari Le diseguaglianze: definizioni e proprietà. Disequazioni

Dettagli

Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM )

Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) 1. Scrivere l'equazione della retta passante per i punti P1(-3,1), P2(2,-2). Dobbiamo applicare l'equazione di una retta passante per due

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO II LB Matematica 2015/2016

PROGRAMMA SVOLTO II LB Matematica 2015/2016 PROGRAMMA SVOLTO II LB Matematica 2015/2016 Sistemi di equazioni lineari: metodo di sostituzione, metodo del confronto, riduzione e Cramer. Cenni a matrici e operazioni con esse. Interpretazione grafica

Dettagli

CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica

CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica ISTITUTO PROVINCIALE DI CULTURA E LINGUE NINNI CASSARÀ SEDE DI VIA FATTORI CORSI I.D.E.I. - LA PARABOLA CLASSI QUARTE Prof. E. Modica erasmo@galois.it DEFINIZIONI Definizione. Dicesi parabola il luogo

Dettagli

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco

LA PARABOLA. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse y e passante per l origine. Equazione canonica Vertice V ( 0,0) Fuoco LA PARABOLA La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Parabola con asse di simmetria coincidente con l asse

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano

Dettagli

Breve formulario di matematica

Breve formulario di matematica Luciano Battaia a 2 = a ; lim sin = 1, se 0; sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; f() = e 2 f () = 2e 2 ; sin d = cos + k; 1,2 = b± ; a m a n = 2a a n+m ; log a 2 = ; = a 2 + b + c; 2 + 2 = r 2 ; e

Dettagli

Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti

Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti ) Considerata nel piano cartesiano l ellisse Γ : + y = 8 valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni. I fuochi si trovano sull asse delle ordinate

Dettagli

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE 1 Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = (1 + 2x) 4 nel suo punto di intersezione con l asse y 2 Scrivi l equazione della retta tangente

Dettagli

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio

Dettagli

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico

PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico PROGRAMMA MATEMATICA Classe 1 A AFM anno scolastico 2015-2016 I numeri naturali rappresentazione dei numeri naturali, le quattro operazioni, multipli e divisori di un numero. Criteri di divisibilità, le

Dettagli

D4. Circonferenza - Esercizi

D4. Circonferenza - Esercizi D4. Circonferenza - Esercizi Trasformare l equazione della circonferenza nell altra forma e rappresentare graficamente la circonferenza trovandone prima centro e raggio. 1) + --=0 [(-1) +(-1) =, C(1;1),

Dettagli

CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 31 Agosto 2015 Recupero MATEMATICA

CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 31 Agosto 2015 Recupero MATEMATICA CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 3 Agosto 205 Recupero MATEMATICA. Scrivi l equazione della circonferenza passante per i punti ;2 e 2;5 e avente il centro sulla retta di equazione = 2 2. L asse del segmento

Dettagli

CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI)

CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI) CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI) D1 E' dato il fascio 2x+4y +k(8x+5y 6)=0 trovare le coordinate del centro... Risposta. Le rette base del fascio sono r1 : 2x+4y-=0 r2 : 8x+5y-6=0

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

LAVORO ESTIVO di MATEMATICA Classi Terze Scientifico Moderno N.B. DA CONSEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE DI MATEMATICA DI SETTEMBRE

LAVORO ESTIVO di MATEMATICA Classi Terze Scientifico Moderno N.B. DA CONSEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE DI MATEMATICA DI SETTEMBRE LAVORO ETIVO di MATEMATICA Classi Terze cientifico Moderno N.B. A CONEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE I MATEMATICA I ETTEMBRE PROBLEMI I ALGEBRA APPLICATA ALLA GEOMETRIA ) In un cerchio di raggio r si determini

Dettagli

Il valore assoluto (lunghezza, intensita )

Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) = se 0 - se < 0 = 5 5-0, = 0 3, = 3 Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo. Geometricamente rappresenta la misura della distanza

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

a rappresenta l intercetta o termine noto della retta, ossia il valore della y quando x = 0.

a rappresenta l intercetta o termine noto della retta, ossia il valore della y quando x = 0. Esercitazioni sulla prima parte delle lezioni di Micro Richiamo di Analisi Matematica La forma funzionale più semplice è la retta, la quale può essere genericamente descritta dalla seguente relazione:

Dettagli

Protocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale

Protocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale Protocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale DISCIPLINA: MATEMATICA RESPONSABILE: CAGNESCHI F. IMPERATORE D. CLASSE: prima servizi commerciali Utilizzare le tecniche e le procedure

Dettagli

1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4).

1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4). . Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 7;3) e ( 7;3) e passante per il punto ( 6;). Determino il centro di simmetria dell ellisse, O, punto medio dei due fuochi, ovvero (0;3), perciò

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

risoluzione di problemi da risolvere tramite la risoluzione di sistemi ed equazioni di 1^ grado. 5 R ed i Radicali

risoluzione di problemi da risolvere tramite la risoluzione di sistemi ed equazioni di 1^ grado. 5 R ed i Radicali ORD. MODULO MODULO ARGOMENTO 1 Disequazioni disequazioni di 1^ grado disequazioni fratte disequazioni di grado superiore da risolvere con la scomposizione in fattori sistemi di disequazioni 2 Geometria

Dettagli

Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano

Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano Appunti di Geometria Analitica In questi brevi appunti, richiameremo alcune nozioni di geometria analitica studiate negli anni precedenti: in particolare, rivedremo il concetto di coordinate cartesiane

Dettagli

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1).

(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1). G4 Derivate G4 Significato geometrico di derivata La derivata di una funzione in un suo punto è il coefficiente angolare della sua retta tangente Esempio G4: La funzione = e la sua retta tangente per il

Dettagli

a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni

a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni Svolgimento Esercizi Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-2,2) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x=-5, y=1. Da dove è partita? 2) Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -32)

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA PER LA CLASSE 2^A DEL LICEO SCIENTIFICO MALPIGHI SEZIONE ASSOCIATA I.I.S

PROGRAMMA DI MATEMATICA PER LA CLASSE 2^A DEL LICEO SCIENTIFICO MALPIGHI SEZIONE ASSOCIATA I.I.S PROGRAMMA DI MATEMATICA PER LA CLASSE 2^A DEL LICEO SCIENTIFICO MALPIGHI SEZIONE ASSOCIATA I.I.S. VIA SILVESTRI ANNO SCOLASTICO 2015-2016 INSEGNANTE: MASCI ORNELLA ALGEBRA - Equazioni letterali fratte

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano

GEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano 6 La circonferenza nel piano cartesiano onsideriamo la circonferenza in figura in cui il centro è ; e il raggio 5 r : se indichiamo con P ; un punto della circonferenza avremo, per definizione, che la

Dettagli

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1948 Luglio, matematicamente.it Luglio 1948, primo problema

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1948 Luglio, matematicamente.it Luglio 1948, primo problema Luglio 1948, primo problema In un cerchio di raggio r è condotta una corda AB la cui distanza dal centro è r/. Inscrivere nel segmento circolare che non contiene il centro, un triangolo ABC in modo che

Dettagli

Sistemi di 1 grado in due incognite

Sistemi di 1 grado in due incognite Sistemi di 1 grado in due incognite Problema In un cortile ci sono polli e conigli: in totale le teste sono 7 e zampe 18. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile? Soluzione Indichiamo con e con

Dettagli

Generalità Introduttive

Generalità Introduttive Generalità Introduttive L'obiettivo della geometria analitica è quello di classificare e rappresentare rette, curve, enti geometrici in genere che soddisfano certe condizioni.ad ogni fatto geometrico corrisponde

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Abbiamo visto come, fissato un sistema di riferimento, a ciascun punto sia possibile associare una coppia ordinata di numeri reali (le sue coordinate). Se adesso consideriamo

Dettagli

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano

1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano 1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione

Dettagli

Protocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: tecnico della grafica

Protocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: tecnico della grafica DISCIPLINA: MATEMATICA Protocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: tecnico della grafica RESPONSABILE: CAGNESCHI F. - IMPERATORE D. CLASSE/INDIRIZZO: prima tecnico della grafica calcolo numerico

Dettagli

Esercizi e problemi sulla parabola

Esercizi e problemi sulla parabola Esercizi e problemi sulla parabola Esercizio 1. Si consideri l'insieme di parabole: con k R, k 1. Γ k : y = (k + 1)x x + k 4 (a) Determinare, per quali k, la parabola passa per l'origine. (b) Determinare,

Dettagli