Condizione di allineamento di tre punti

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1 LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione. TEOREMA Ad ogni retta del piano cartesiano corrisponde un equazione lineare in due variabili e, viceversa, a ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano cartesiano. 0 Esiste cioè, una corrispondenza biunivoca fra i punti di una retta e le soluzioni della corrispondente equazione lineare. 1 Ad ogni retta del piano cartesiano corrisponde un equazione lineare in due variabili Consideriamo prima i casi particolari: La retta è parallela all asse y. La retta è parallela all asse : Ogni punto della retta ha ascissa e, viceversa, Ogni punto della retta ha ordinata e, viceversa, ogni punto avente ascissa, qualunque sia la sua ordinata, appartiene necessariamente alla retta. Quindi tutti e soli i punti della retta soddisfano l equazione. ogni punto avente ordinata, qualunque sia la sua ascissa, appartiene necessariamente alla retta. Quindi tutti e soli i punti della retta soddisfano l equazione. Consideriamo poi il caso di una generica retta del piano non parallela agli assi. Fissiamo su essa due punti ; e ; e consideriamo poi un terzo punto ; variabile su di essa. Per il teorema di Talete si ha: Per la proprietà transitiva è: Condizione di allineamento di tre punti Risolvendo la quale si ricava: 0 Ricordando che:,,, sono numeri noti, e ponendo: Si ottiene: 0. Matematica 1

2 Poiché le coordinate di un generico punto ; della retta soddisfano l uguaglianza, si conclude che tutti i punti della retta verificano l equazione lineare ottenuta. Dimostriamo ora, che solo i punti della retta soddisfano l equazione lineare. Supponiamo per assurdo (negazione della tesi) che le coordinate del punto ; non appartenente alla retta siano soluzioni dell equazione lineare, cioè sia: 0. Consideriamo poi, un punto ; della retta situato sotto al punto ;. Essendo il punto ; risulta che: 0 Sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene: 0 Essendo 0, poiché la retta non è parallela all asse y, si ricava: 0 cioè: Il che equivale a dire che il punto ; coincide con il punto A. 2 Ad ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano Consideriamo prima i casi particolari: 0 0 L equazione diventa: 0 Essa è verificata da tutte le coppie ; che individuano una retta parallela all asse x. 0 0 L equazione diventa: 0 Essa è verificata da tutte le coppie ; che individuano una retta parallela all asse y. Consideriamo poi il caso generale: 0 0 L equazione è: 0 Consideriamo tre soluzioni qualsiasi dell equazione lineare: ;, ;, ;. 0 Sostituendo nell equazione lineare si ha: 0 0 Sottraendo la I a equazione dalla II a equazione si ha: Sottraendo la I a equazione dalla III a equazione si ha: 0 cioè: 0 cioè: Per la proprietà transitiva si ha: che rappresenta la condizione di allineamento di tre punti. Pertanto le soluzioni dell equazione lineare sono le coordinate di tre punti della retta. cioè Matematica 2

3 La retta passante per due punti La condizione di allineamento di tre punti rappresenta anche l equazione della retta passante per due punti ; e ; La forma esplicita della retta L equazione 0 è detta forma implicita della retta. Se ricaviamo l equazione rispetto alla variabile si ottiene la forma esplicita della retta Ponendo: si ottiene la forma esplicita Il coefficientee è detto coefficientee angolare. Il coefficientee è detto ordinata all origine. Il coefficiente angolare Il coefficientee angolare di una retta non parallela all asse è il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti distinti della retta. Siano e due punti della retta. Le coordinate ; soddisfano l equazione Le coordinate ; soddisfano l equazione Sottraendo membro a membro si ha: Da cui si ottiene: Dal triangolo rettangolo si ricava che tg La retta passante per un punto e con dato coefficiente angolare L equazione della retta passante per il punto 1 1 ; 1 e avente coefficiente angolare è data da:. Dalla relazione e si ottiene: con Matematicaa 3

4 La retta passante per l origine L equazione della retta passante per l origine degli assi cartesiani è data da: Rette particolari Bisettrice del I III quadrante Bisettrice del II e IV quadrante Asse delle Asse delle Teorema Rette parallele Due rette ed (non parallele all asse y) sono parallele Consideriamo due rette parallele ed (non verticali) che intersecano l asse, rispettivamente nei punti e Prendiamo sull asse x il punto distante 1 da il punto distante 1 da. Consideriamo poi: sulla retta il punto con la stessa ascissa di sulla retta il punto con la stessa ascissa di I triangoli e sono congruenti perché hanno: e (angoli corrispondenti ) Pertanto si ha che:. Ma: e. Procedendo in modo inverso: Se ed hanno lo stesso coefficiente angolare I triangoli rettangoli e sono congruenti perché hanno: e. Avendo dimostrato che i triangoli e sono congruenti. Teorema 0 cioè 0 0. Matematica 4

5 Teorema Rette perpendicolari Due rette ed (non parallele agli assi) sono perpendicolari Date due rette ed, non parallele agli assi, consideriamo le due rette ed, rispettivamentee parallele a e a, e passanti per l origine. Le equazioni delle rette in questione sono: e : e : Consideriamo il punto di e il punto di aventi ascissa 1: 1; e 1; Quindi la relazione: diviene: ed sono perpendicolari ed sono perpendicolari Il triangolo è rettangoloo in 1. ed sono perpendicolari Il triangolo è rettangolo in Il prodotto dei loro coefficienti angolari è 1 1 Posizione reciproca di due rette Dalla geometria euclidea, sappiamo che due rette complanari ed possonoo trovarsi in tre possibili diverse posizioni: incidenti, coincidenti, parallele e distinte. Analiticamentee ciò si traduce in tre diversi tipi di sistemi: Sistema determinato Sistema impossibile Sistema indeterminato rette incidenti rette parallele rette coincidenti Matematicaa 5

6 Distanza di un punto da una retta Retta parallela all asse x Retta parallela all asse y Retta non parallela agli assi cartesiani Distanza del punto ; dalla retta 0 Determiniamo la distanza del punto ; dalla retta 0 mediante la formula dell altezza relativa all ipotenusa del triangolo rettangolo : (*). L ascissa del punto è L ordinata del punto è L ordinata del punto è L ascissa del punto è. Sostituendo in (*) si ottiene:. Matematica 6

7 Luoghi geometrici L asse di un segmento Asse di un segmento AB L asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio. L asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento. Considerato pertanto, un punto ; appartenente all asse del segmento, applicando la definizione, si ha che: ; La simmetria assiale Fissata nel piano una retta :, la simmetria assiale rispetto alla retta è quella isometria che ad ogni punto ; del piano fa corrispondere il punto ; del semipiano opposto rispetto ad, in modo che sia l asse del segmento ossia: 1. passa per il punto medio di è perpendicolare alla retta Dopo aver ricavato le coordinate del punto medio imponiamo che il punto appartenga alla retta : ; del segmento, Dopo aver determinato il coefficiente angolare del segmento : imponiamo la condizione di perpendicolarità:. Risolviamo quindi il sistema formato da queste due equazioni, considerando e come incognite. Per semplificare la scrittura delle espressioni indichiamo: Matematica 7

8 Simmetria rispetto alla retta y q Simmetria rispetto alla retta x p 2 2 Simmetria rispetto all asse x Simmetria rispetto all asse y Simmetria rispetto alla bisettrice y x Simmetria rispetto alla bisettrice y x La simmetria centrale Simmetria rispetto al punto C ( p;q) Simmetria rispetto all origine O( 0; 0) 2 2 Matematicaa 8

9 Luogo dei punti equidistanti da due rette incidenti Bisettrici degli angoli formati dalle due rette 0 e 0 Se le rette : 0 ed : 0 sono incidenti, il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dalle due rette è costituito dai punti ; appartenenti alle due bisettrici degli angoli formati dalle due rette. Considerato pertanto, un punto ; del piano imponiamo che la distanza di dalla retta sia uguale alla distanza di dalla retta. ; Luogo dei punti equidistanti da due rette parallele Mediana della striscia delimitata dalle due rette e 2 Se le rette : ed : sono parallele, il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dalle due rette è costituito dai punti ; appartenenti alle mediana della striscia delimitata dalle due rette. Pertanto la sua equazione è:. Nota 1 Infatti, ricordando che: 0 Si ha che: Luogo dei punti aventi distanza assegnata da una retta Rette parallele alla retta poste da parti opposte rispetto ad e a distanza Il luogo geometrico è costituito dai punti ; appartenenti alle due rette ed, parallele alla retta, poste a distanza e da parti opposte rispetto alla retta. La sua equazione è:. Matematica 9

10 Luoghi determinati da equazioni parametriche Il luogo geometrico è costituito dai punti ; del piano che soddisfano equazioni (parametriche) dipendenti da un parametro. Al variare del parametro si ottengono tutti i punti del luogo geometrico. Esempio 1 Dato un sistema di riferimento cartesiano in un piano, si dica che cosa rappresenta l insieme dei punti le cui coordinate hanno equazioni parametriche: 32 4 Soluzione Per determinare l equazione cartesiana del luogo, occorre eliminare il parametro dalle due equazioni. Ricaviamo pertanto il parametro t dalla seconda equazione e lo sostituiamo nella prima: Pertanto il luogo rappresenta una retta. Esempio 2 Dato un sistema di riferimento cartesiano (ortogonale monometrico) in un piano, si dica che cosa rappresenta l insieme dei punti 1 ; 1, ottenuto al variare di nei reali. (Esame di Stato Ordinamento, Sessione suppletiva, 2008) Soluzione Ricaviamo pertanto il parametro t dalla prima equazione e lo sostituiamo nella seconda: Essendo però 1 1 il luogo rappresenta la semiretta di equazione con 1. Esempio 3 Siano ed due qualunque rette del fascio di centro 1 ; 3 tra loro perpendicolari e siano e rispettivamente le intersezioni di con l asse e di con l asse. Determinare il luogo descritto dal punto medio del segmento. Soluzione Due rette per tra loro perpendicolari hanno equazioni: : 3 1 e : 3 1 con 0 Il punto 0 ; 3, il punto 1 3 ; 0 il punto Pertanto le equazioni parametriche del luogo sono: Eliminando il parametro m si ottiene: ; 0 ; ; ; Il luogo descritto da al variare di è la retta 350 privata del punto ;, ottenuto per 0. Matematica 10

11 I Fasci di rette Fascio proprio di rette L insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto si chiama fascio proprio di rette per. Il punto C è detto centro del fascio. L equazione del fascio di rette passante per il punto ; ha equazione:. Al variare di si ottengono tutte le rette del fascio passanti per il punto P, tranne la parallela all asse, avente equazione. Pertanto, il fascio completo è rappresentato dalle equazioni: con Fascio improprio di rette Data una retta del piano. L insieme formato dalla retta e da tutte le rette a essa parallele si chiama fascio improprio di rette parallele a. La retta è detta retta base del fascio. Se la retta è in forma esplicita l equazione del fascio è Se la retta è in forma implicita 0 l equazione del fascio è con 0 con Combinazione lineare di due equazioni Date due equazioni 0 ed 0, l espressione: 0, è detta combinazione lineare delle due equazioni. I numeri p e q sono detti parametri della combinazione lineare. Se una coppia di numeri ; è soluzione di entrambe le equazioni date, allora è anche soluzione di ogni loro combinazione lineare. Fascio proprio generato da due rette incidenti Date due rette ed di equazioni : 0 ed : 0 che si incontrano nel punto ;, le equazioni di tutte le rette del fascio proprio passanti per si ottengono dalla combinazione lineare delle due rette ed : 0, Le rette ed sono dette generatrici del fascio. La retta si ottiene per 0. La retta si ottiene per 0. Poiché e non sono entrambi nulli, possiamo supporre che sia 0 e dividere tutti i termini per, ottenendo: 0. Ponendo in quest ultima si ottiene: 0 La retta si ottiene per 0. La retta non si ottiene per alcun valore di. Impropriamente si dice che la retta si ottiene per, perché facendo assumere a valori sempre più grandi, si ottengono rette del fascio che tendono ad assumere la stessa direzione della retta. Matematica 11

12 Fascio improprio generato da due rette parallele Se le rette generatrici sono parallele le loro equazioni sono del tipo : 0 ed : 0. La combinazione lineare delle due rette ed è: 0, Esplicitando l incognita si ottiene: ; 1 1 ; ; 1 1 Tale equazione, al variare del parametro k (con 1), rappresenta una qualsiasi retta del fascio parallela alle rette generatrici. Esempio 1 Studiare la natura del fascio di rette: Soluzione Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio: Essendo il coefficiente angolare dipendente dal parametro, si tratta di un fascio proprio di rette. Riscriviamo l equazione come combinazione lineare di due rette: ; ; Le generatrici del fascio hanno equazioni: : ed : 240 La I a generatrice : si ottiene per 0 La II a generatrice : non si ottiene per nessun valore finito di. Per determinare il centro del fascio, in maniera semplice, conviene ricavare dalla forma implicita del fascio (traccia) le due rette del fascio parallele agli assi cartesiani. Il coefficiente della si annulla per. Per tale valore si ottiene la retta 2 Il coefficiente della si annulla per 2. Per tale valore si ottiene la retta 3 Pertanto il centro del fascio è 3 ; 2. Per determinare il movimento delle rette del fascio al variare del parametro determiniamo la retta del fascio passante per l origine degli assi cartesiani. Tale retta si ottiene per 140 cioè per. Dall esame del grafico di queste rette particolari del fascio si deduce che: Il parametro assume valori positivi, crescenti da 0, quando le rette del fascio, ruotando in senso antiorario attorno a C, passando dalla posizione della prima generatrice r alla posizione della seconda generatrice s. Se invece la rotazione avviene in senso orario, il parametro k assume valori negativi, decrescenti da 0. Matematica 12

13 Esempio 2 Studiare la natura del fascio di rette: Soluzione Calcoliamo il coefficiente angolare del fascio: Essendo il coefficiente angolare 2 non dipendente dal parametro, il fascio è improprio. Riscriviamo l equazione come combinazione lineare di due rette: ; Le generatrici del fascio hanno equazioni: : ed : 260 La prima generatrice : 240 si ottiene per 0. La seconda generatrice : non si ottiene per nessun valore finito di. L equazione data pertanto, rappresenta 1 tutte le rette di coefficiente angolare, con esclusione della seconda generatrice : 260. Per determinare il movimento delle rette del fascio al variare del parametro ricaviamo la sua forma esplicita: L ordinata all origine è 46 1 L ordinata all origine è positiva per 1 ; L ordinata all origine è negativa per ; 1 ;. Nel grafico è descritto il movimento delle rette del fascio al variare del parametro. 1 Matematica 13