3^A - MATEMATICA compito n d. l'equazione della mediana BM, verificando che il baricentro le appartenga;
|
|
- Giuseppa Galli
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 ^ - TETI compito n Il triangolo ha come lati le rette r : y=x 2, s: x 4=0, t : x y 22=0 Disegna le rette r, s, t e determina: a le coordinate dei vertici =r s, =s t, =t r ; b l'area del triangolo; c le coordinate del baricentro G del triangolo; d l'equazione della mediana, verificando che il baricentro le appartenga; e le coordinate dell'ortocentro K e del circocentro J del triangolo f Verifica che i punti G, K, J appartengono ad una stessa retta, detta retta di Eulero (quello dei diagrammi, e di mille altre cose), e trova l'equazione di tale retta; g Determina l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo, verificando che il vertice appartenga a tale circonferenza h Determina le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette r ed s, e individua tra di esse la bisettrice dell'angolo interno del triangolo i Verifica che tali bisettrici sono perpendicolari, e dimostra con metodo sintetico che tale proprietà è vera in generale per le bisettrici di due angoli adiacenti j Per ciascun vertice del triangolo, conduci la retta parallela al lato opposto Determina (senza svolgere calcoli) l'area del triangolo DEF così ottenuto 2 Dati i punti, 1, 5, 1 e la retta r : y=x 1, determina l'equazione cartesiana del luogo geometrico L dei baricentri dei triangoli, al variare del punto su r Disegna il grafico del luogo ottenuto osa osservi? Spiega come sia possibile giungere alle stesse conclusioni con considerazioni sintetiche
2 ^ - orrezione compito n 2 1 a { y=x 2= 2 x= 4 4, 2 ; K s H { x= 4 y= x 22 /=6 4,6 ; { y=x 2 y= x 22 / x 2= x 22 t G J x 6=x 22 x=8 8,10 b rea = H /2= y y x x H /2=8 12/2=48 r c x G = x x x =0 ; y G = y y y = 14 G 0, 14 d Punto medio di : 2, 4 Equazione della mediana (passaggio per e per ): 4 m q=6 6 m= 2 m= { 1 2 m q=4 2 q=4 q=14 y= 1 x 14 Sostituiamo le coordinate di G nell'equazione di : e L'equazione dell'altezza relativa ad è immediata: y=10 14 = vera! G Dal testo del problema, vediamo che la retta ha coefficiente angolare m =1, quindi l'altezza ad essa relativa ha m altezza = 1 Imponiamo il passaggio per il vertice : 1 4 q=6 q=2 y= x 2 (equazione altezza relativa ad ) on procedimento analogo, l'altezza relativa a ha equazione: y= x 14 L'equazione dell'asse del segmento è immediata: y=2 nche per l'asse di abbiamo: m asse = 1 Imponiamo il passaggio per il punto medio : 1 2 q=4 q=6 y= x 6 (equazione asse del segmento ) on procedimento analogo, l'asse del segmento ha equazione: y= x 14 { y=10 y= x 2 K 8,10 ; { y=2 y= x 6 J 4, 2 f Imponiamo il passaggio per i punti K e J: 8 m q=10 12 m= 8 m= { 2 4 m q=2 8 q=2 q=14 y= 2 x 14 Sostituiamo le coordinate di G nell'equazione di JK: 14 = G JK g La circonferenza circoscritta al triangolo è il luogo dei punti equidistanti dai vertici, ovvero il luogo dei punti P x, y aventi dal circocentro J distanza uguale al raggio J=J=J=4 5 : PJ =r x 4 2 y 2 2 =4 5 x 2 y 2 8 x 4 y 60=0
3 Sostituiamo le coordinate di nell'equazione della circonferenza: =0 vera! circ h Determiniamo le bisettrici come luogo dei punti equidistanti dalle due rette: x y 2 = x 4 x y 2=± 2 x 4 2 { b 1: y= 1 2 x b 2 : y= 1 2 x La bisettrice dell'angolo interno è b 2, in quanto ha coefficiente angolare positivo i m 1 m 2 = = 1 b 1 b 2 Dimostrazione sintetica: due rette r ed s si intersecano formando angoli adiacenti di ampiezze a e 180 Le bisettrici formano con r ed s angoli di ampiezze /2 e 90 /2 L'angolo tra le bisettrici è quindi: /2 90 /2=90 cvd j I quadrilateri E, D, F sono parallelogrammi per definizione, avendo i lati opposti paralleli Quindi il triangolo DEF è formato da quattro triangoli congruenti al triangolo, e la sua area misura: rea DEF =4 rea =192 In alternativa, possiamo osservare che i triangoli e DEF sono simili (per uno qualunque dei tre criteri), con rapporto di similitudine k=2, e quindi il rapporto delle loro aree è k 2 =4 2 Poiché il vertice deve appartenere alla retta r, le sue coordinate saranno: t,t 1 Quindi il baricentro G avrà coordinate: x G = 8 t, y G = t che sono le equazioni parametriche del luogo L Per ottenere l'equazione cartesiana, ricaviamo il parametro da un'equazione: t= x 8, e lo sostituiamo nell'altra: y= x 11/ Osserviamo che il luogo L è una retta parallela ad r Per via sintetica, avremmo potuto osservare che, detto il punto medio del segmento, il baricentro G divide il segmento in due parti tali che G=2G nche considerando una diversa posizione ' su r, avremo ' G '=2G ' Per una conseguenza del teorema di Talete (o, se preferisci, per il secondo criterio di similitudine) una retta che determina su due lati di un triangolo segmenti proporzionali, è parallela al terzo lato cvd r F L b 2 G ' s G ' r b 1 D E
4 ^ PNI TETI compito n Dato il triangolo di vertici 0,, 2, 1, 2, 5, determina: a le equazioni della mediana, dell'altezza H e dell'asse relativi al lato ; b le coordinate del baricentro G, dell'ortocentro K e del circocentro D del triangolo; c l'area del triangolo; d l'equazione del luogo dei punti aventi dal circocentro D distanza uguale a D ; e le aree dei due triangoli in cui la mediana divide il triangolo ; f le coordinate del punto E tale che il quadrilatero E sia un parallelogramma 2 Il vertice di un triangolo ha coordinate 1, 1 L'altezza e la mediana uscenti dal vertice hanno rispettivamente equazioni y= 5 4 x 17 4 e y= 6 7 x 16 7 alcola le coordinate dei vertici e del triangolo Dimostra con metodo analitico che le altezze dei lati di un triangolo generico si intersecano in un punto Se lo ricordi, dimostra con metodo sintetico (euclideo) che anche gli assi dei lati di un triangolo generico si intersecano in un punto
5 ^ - orrezione compito n 2 1 a Punto medio del lato : 1, 1 Poiché ed hanno la stessa ordinata, l'equazione della mediana è semplicemente: (0, ) y= 1 oefficiente angolare : m = y x = 8 2 =4 H Sia l'altezza che l'asse relativi ad hanno coefficiente angolare: m h = 1 m = 1 4 L (2, -1) L'altezza passa per il vertice opposto, quindi la sua equazione è: y y =m h x x y 1= 1 4 x 2 y= 1 4 x 1 2 (-2, -5) L'asse passa per il punto medio, quindi: E y= 1 4 x q 1 4 q= 1 q= 5 4 y= 1 4 x 5 4 b oordinate del baricentro: x G = x x x =0, y G = y y y = 1 G 0, 1 Per determinare le coordinate dell'ortocentro, devo ricavare l'equazione di un'altra altezza on il metodo precedente, ottengo: y= x relativa a, oppure y= 1 x 4 relativa ad 2 ettendo a sistema due di tali equazioni, ricavo: K 14, 5 Per determinare le coordinate del circocentro, devo ricavare l'equazione di un altro asse Dal metodo precedente, oppure come luogo geometrico, ottengo l'asse del lato : y= x, oppure quello del lato : y= 1 2 x 1 2 La loro intersezione fornisce D 7, 2 c Scegliendo come base il lato, ricavo: = = 68=2 17 vendo m =4, e poiché q= y =, ricavo l'equazione del lato : y=4 x 4 x y =0 La misura dell'altezza relativa al lato è data dalla distanza del punto dalla retta : d, = ax by c = 8 1 a 2 b = Quindi: rea = =12 d Un punto P x, y appartiene al luogo geometrico se PD=D Poiché D= = 170, devo imporre: x 7 2 y 2 2 = 170 9, da cui ricavo: x 2 y 2 14 x 4 y 1=0 Naturalmente, il luogo è la circonferenza circoscritta al triangolo e I due triangoli hanno basi uguali e stessa altezza H, per cui le loro aree sono uguali:
6 rea =rea =6 f hiamo L 0, il punto medio del lato Il punto E è il simmetrico di rispetto ad L: { x E=2 x L x =0 y E =2 y L y = 9 L 0, 9 2 Il vertice è il punto di intersezione tra la mediana e l'altezza date: 5 4 x 17 4 = 6 7 x x 119= 24 x x=55 x=5 y= 2 Quindi 5, 2 La retta del lato deve essere perpendicolare all'altezza uscente da : m h = 5 4 m = 4 5 y y =m x x y 1= 4 5 x 1 y= 4 5 x 1 5 Essa interseca la mediana uscente da nel punto medio del lato : 4 5 x 1 5 = 6 7 x x 7= 0 x x=87 x= 2 y=1 2,1 Il vertice è il simmetrico di rispetto ad : { x =2 x x =4 y =2 y y = 4, mediana altezza (4, ) y (a, b) (-1, -1) (0, 0) (1, 0) x Dato il generico triangolo, posso, senza perdere di generalità, fare coincidere il vertice con l'origine degli assi cartesiani e scegliere l'unità di misura coincidente con la lunghezza del lato In questo modo, i vertici del triangolo avranno coordinate: 0,0, 1,0, a,b E' evidente che l'altezza relativa al lato ha equazione x=a Il lato ha coefficiente angolare: m = y x = b a 1, quindi il coefficiente angolare dell'altezza relativa sarà m h = 1 = 1 a m b Poiché l'altezza passa per il vertice, coincidente con l'origine, la sua equazione è: Ricavo poi il coefficiente angolare del lato : m = y x = b a y= 1 a b x, quello dell'altezza relativa: m h = 1 m = a b, e, imponendo il passaggio per, l'equazione dell'altezza: y= a b x 1 ettendo a sistema l'equazione (5, -2) di intersezione (ortocentro) di coordinate a, a 1 a cvd b x=a con le equazioni delle altre due altezze, ricavo lo stesso punto
7 ^F - TETI compito n Dato il triangolo di vertici 5,1, 2, 4, 1, 1, determina: a l'equazione del lato ; b l'area del triangolo; c le equazioni della mediana, dell'altezza H e dell'asse del lato ; d le coordinate del baricentro G, dell'ortocentro J e del circocentro K del triangolo, verificando che sono allineati; e l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo, verificando che essa passi per il vertice ; f l'equazione della bisettrice dell'angolo ; g le coordinate di un punto D tale che il quadrilatero D sia un parallelogrammo; h l'area del triangolo G 2 Due lati di un rombo si trovano sulle rette di equazione x 2 y 1=0 e 2 x y 14=0 e il punto di intersezione delle diagonali ha coordinate H 0,5 Determina i vertici del rombo
8 ^F - orrezione compito n 2 1 a Imponiamo il passaggio per i punti e : { 5 m q=1 m q= 1 6 m=2 m=1 q= 2 D Equazione del lato : y= 1 x 2 x y 2=0 b = = 40=2 10 H =d, = = rea = 1 2 H = =12 c Punto medio del lato : 2,0 Equazione mediana : m altezza =m asse = 1 m = y= x q x=2 (retta parallela all'asse delle ordinate) Passaggio per : 6 q= 4 q=2 Equazione altezza H: y= x 2 Passaggio per : 6 q=0 q=6 Equazione asse di : y= x 6 d x G = x x x =2 ; y G = y y y = 4 G 2, 4 Per determinare le coordinate dell'ortocentro, applichiamo nuovamente il metodo precedente per ricavare l'equazione di un'altra altezza; otteniamo così y= x 4 (relativa a ) o y= /5 x 8/5 (relativa ad ) y= x 2 x 4= x 2 4 x=6 x= { y=x 4 2 y= 5 2 J 2, 5 2 Per determinare le coordinate del circocentro, ricaviamo l'equazione di un altro asse, o con il metodo precedente, o vedendolo come luogo geometrico, ottenendo quindi y= /5 x /5 (di ) y= x 6 x = x 6 4 x=9 x= { 9 y=x 4 y= 4 K 9 4, 4 Per verificare che i punti G, J, K sono allineati, determiniamo l'equazione della retta GJ: { 2 m q= 4/ /2 m q= 5/2 1 2 m= 7 6 m= 7 q= 14 4 = 6 y= 7 x 6 Sostituiamo le coordinate di K nell'equazione di GJ: = 4 vera! K GJ y=x (di ) o e La circonferenza circoscritta al triangolo è il luogo dei punti P x, y che hanno dal circocentro K distanza uguale a K (o K o K): H J K G
9 alcoliamo il raggio: K= = PK =K x y 4 2 = x2 y x 2 y 5=0 Sostituiamo le coordinate di nell'equazione della circonferenza: =0 vera, 2 quindi la circonferenza passa per f La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti P x, y che hanno la stessa distanza dai lati: x y 2 = x 2 x y 2=± 2 x 2 y= 1 2 x in quanto osserviamo dal grafico che la bisettrice richiesta ha coefficiente angolare negativo g Il vertice D è il simmetrico di rispetto al punto medio del lato : { x D =2 x x =4 2=2 y D =2 y y =0 4=4 0, 4 h rea G = 1 2 y G y x x = = =4 2 Un vertice è il punto di intersezione delle rette date: { x=1 2 y 2 4 y y 14=0 y= 12 y= 4 x=1 8=9 9, 4 Il vertice opposto ad è il simmetrico rispetto ad H: { x =2 x H x =0 9= 9 y =2 y H y =10 4=14 9,14 Gli altri due vertici possono essere determinati imponendo che i lati opposti siano paralleli o, in maniera lievemente più rapida, imponendo che le diagonali siano perpendicolari: m = y x = = 1 m D=1 y=x q q=5 y=x 5 (eq diagonale D) I vertici e D sono i punti di intersezione della diagonale D con le rette date: { y=x 5 x 2 y 1=0 x 2 x 10 1=0 x= y=2,2 ; { y=x 5 2 x y 14=0 2 x x 5 14=0 x= y=8 D,8 H D
LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.
Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di
DettagliTIPI DI TRIANGOLO La classificazione dei triangoli può essere fatta o in riferimento ai lati oppure agli angoli. Sulla base dei lati abbiamo:
TIPI DI TRIANGOLO La classificazione dei triangoli può essere fatta o in riferimento ai lati oppure agli angoli. Sulla base dei lati abbiamo: TRIANGOLO EQUILATERO Il triangolo equilatero ha i tre lati
DettagliTeoremi di geometria piana
la congruenza teoremi sugli angoli γ teorema sugli angoli complementari Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo α β In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti
DettagliPostulati e definizioni di geometria piana
I cinque postulati di Euclide I postulato Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una
DettagliGEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta.
EQUAZIONE DELLA RETTA Teoria in sintesi GEOMETRIA ANALITICA Dati due punti A e B nel piano, essi individuano (univocamente) una retta. La retta è rappresentata da un equazione di primo grado in due variabili:
DettagliProblemi sui teoremi di Euclide
Capitolo 1 Problemi sui teoremi di Euclide 1.1 Problemi svolti 1. Calcolare il perimetro e l area di un triangolo rettangolo sapendo che la misura di un cateto, supera di 4 cm. quella della sua proiezione
DettagliQuadro riassuntivo di geometria analitica
Quadro riassuntivo di geometria analitica IL PIANO CARTESIANO (detta ascissa o coordinata x) e y quella dall'asse x (detta ordinata o coordinata y). Le coordinate di un punto P sono: entrambe positive
DettagliLa parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.
TEOREMA DI TALETE Piccolo Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale.
DettagliLe sezioni piane del cubo
Le sezioni piane del cubo Versione provvisoria 11 dicembre 006 1 Simmetrie del cubo e sezioni speciali Sezioni speciali si presentano in corrispondenza di piani perpendicolari agli assi di simmetria del
DettagliSi dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice.
LA PARABOLA Definizione: Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. Dimostrazione della parabola con
DettagliEsercizi sulle affinità - aprile 2009
Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente
DettagliIntroduzione a GeoGebra
Introduzione a GeoGebra Nicola Sansonetto Istituto Sanmicheli di Verona 31 Marzo 2016 Nicola Sansonetto (Sanmicheli) Introduzione a GeoGebra 31 Marzo 2016 1 / 14 Piano dell incontro 1 Introduzione 2 Costruzioni
DettagliGEOMETRIA DELLE MASSE
IL BARICENTRO GENERALITA' GEOMETRIA DELLE MASSE Un corpo può essere immaginato come se fosse costituito da tante piccole particelle dotate di massa (masse puntiformi); a causa della forza di gravità queste
Dettagli1B GEOMETRIA. Gli elementi fondamentali della geometria. Esercizi supplementari di verifica
Gli elementi fondamentali della geometria Esercizi supplementari di verifica Esercizio 1 a) V F Si dice linea retta una qualsiasi linea che non ha né un inizio né una fine. b) V F Il punto è una figura
DettagliTRIGONOMETRIA E COORDINATE
Y Y () X O (Y Y ) - α X (X X ) 200 c TRIGONOMETRI E OORDINTE ngoli e sistemi di misura angolare Funzioni trigonometriche Risoluzione dei triangoli rettangoli Risoluzione dei poligoni Risoluzione dei triangoli
DettagliELEMENTI DI EUCLIDE, LIBRO VI: Le figure simili e le proporzioni in geometria
Richiami dal libro VI di Euclide: ELEMENTI DI EUCLIDE, LIBRO VI: Le figure simili e le proporzioni in geometria Definizione I del libro VI: due figure poligonali si dicono simili se hanno angoli uguali
DettagliCAPITOLO 2. Rette e piani. y = 3x+1 y x+z = 0
CAPITOLO Rette e piani Esercizio.1. Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta del piano (a) Passante per i punti A(1,) e B( 1,). (b) Passante per il punto C(,) e parallela al vettore
DettagliELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper
DettagliQuesito 1 Si calcoli. 3 2 2 4 3 3 = 3 2 4 3 = 2 ln3 = 8 81 2,3. 1 = 2 3 2 3 = 2 3 1+1 2 1 = = =ln81. Soluzione 1
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 0 PIANO NAZIONALE INFORMATICA Questionario Quesito Si calcoli 3 3 è 0 0 Applicando De L Hospital si ha: -,3 3 3 4 3 3 = infatti: 0 = 3 4 3 3 = 3 4
DettagliSESSIONE ORDINARIA 2007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE
SESSIONE ORDINARIA 007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE PROBLEMA Si consideri la funzione f definita da f ( x) x, il cui grafico è la parabola.. Si trovi il luogo geometrico dei
Dettagli1/6. Esercizi su Circonferenza/retta e circonferenza/circonferenza. Dimostrazioni. Ipotesi. Tesi. Dimostrazione. Ipotesi. Tesi.
Dimostrazioni Risoluzione 1) Le circonferenze Γ e Γ' (e Γ'') sono tangenti P appartiene alla retta tangente comune t PA, PB (e PB*) sono tangenti PA = PB (= PB*) Non ha importanza se le due circonferenze
DettagliCosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo?
Cosa vuol dire misurare l'area di una figura piana a contorno curvilineo? Idea elementare: 1. fissare un quadratino come unità di misura 2. contare quante volte questo può essere riportato nella figura
DettagliLABORATORIO DI MATEMATICA IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA
LABORATORIO DI MATEMATICA IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA ESERCITAZIONE GUIDATA Con l aiuto di Derive determiniamo l equazione della retta p passante per il punto P(- ; ) e perpendicolare alla retta r,
Dettaglivalore di a: verso l alto (ordinate crescenti) se a>0, verso il basso (ordinate decrescenti) se a<0;
La parabola è una particolare conica definita come è una curva aperta, nel senso che non può essere contenuta in alcuna superficie finita del piano; è simmetrica rispetto ad una retta, detta ASSE della
DettagliDISEGNO TECNICO GEOMETRIA PIANA FIGURE PIANE
DISEGNO TECNICO GEOMETRIA PIANA FIGURE PIANE Costruzione del triangolo equilatero circonferenza e scegliere un punto 1, che risulterà opposto al vertice A. Con la medesima apertura e puntando in 1, tracciare
DettagliIllustrazione 1: Telaio. Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali
Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali Materiale utilizzato: Telaio (carrucole,supporto,filo), pesi, goniometro o foglio con goniometro stampato, righello Premessa
Dettagli10. Quale dei seguenti numeri
Test d'ingresso di matematica per la secondaria di secondo grado (liceo classico) Il test si basa su alcuni test di ingresso (opportunamente modificati) assegnati al liceo classico e trovati in Rete Nome:
DettagliIGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 23 novembre 2005
PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATIA U.M.I. UNIONE MATEMATIA ITALIANA SUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 3 novembre 00 1 Griglia delle risposte corrette Risoluzione dei problemi Problema
DettagliI TRIANGOLI Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.
I TRIANGOLI Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli. In ogni triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due e sempre maggiore della loro differenza. Relazione fra i lati di
DettagliGeometria Analitica nello Spazio
Capitolo 11 Geometria Analitica nello Spazio In questo capitolo viene trattata la rappresentazione di piani, rette, sfere e circonferenze nello spazio mediante equazioni cartesiane e parametriche. Sono
Dettagli2B GEOMETRIA. Isoperimetria, equivalenza e calcolo delle aree. Esercizi supplementari di verifica
2 GEOMETRI Isoperimetria, equivalenza e calcolo delle aree Esercizi supplementari di verifica Esercizio 1 Metti una crocetta su vero (V) o falso (F) di fianco ad ogni affermazione. a) V F ue poligoni isoperimetrici
DettagliCOS È UN PRISMA. Due POLIGONI congruenti e paralleli, come basi. È UN POLIEDRO DELIMITATO DA
PRISMI E PIRAMIDI COS È UN PRISMA È UN POLIEDRO DELIMITATO DA Due POLIGONI congruenti e paralleli, come basi. Tanti PARALLELOGRAMMI quanti sono i lati del poligono di base (come facce laterali). PRISMA
DettagliPiano Lauree Scientifiche 2011-2012
Piano Lauree Scientifiche 2011-2012 «non si può intendere se prima non s impara a intender lingua, e conoscer i caratteri, nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli,
DettagliLE FUNZIONI MATEMATICHE
ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante
DettagliMINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO
Sessione Ordinaria in America 4 MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (Americhe) ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 4 SECONDA PROVA SCRITTA
DettagliParte Seconda. Geometria
Parte Seconda Geometria Geometria piana 99 CAPITOLO I GEOMETRIA PIANA Geometria: scienza che studia le proprietà delle figure geometriche piane e solide, cioè la forma, l estensione e la posizione dei
DettagliPunti notevoli di un triangolo
Punti notevoli dei triangoli (UbiLearning). - 1 Punti notevoli di un triangolo Particolarmente importanti in un triangolo sono i punti dove s intersecano specifici segmenti, rette o semirette (Encyclopedia
Dettaglirappresenta la distanza del centro O dalla corda.
PROBLEMI DI GEOMETRIA 1 Problema 1.160.86 Indica con L un punto del lato AB del quadrato ABCD e considera il segmento AL. Proseguendo nello stesso verso di rotazione prendi sugli altri lati i punti M,
DettagliCOMPITI DI MATEMATICA PER LE VACANZE
IL PRESENTE FASCICOLO COSTITUISCE ILTUO IMPEGNO ESTIVO NEI CONFRONTI DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE. ESSO È COMPOSTO DA UNA SERIE DI ESERCIZI DI ARITMETICA E GEOMETRIA CHE DOVRAI SVOLGERE SU DI UN QUADERNO
DettagliProtocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale
Protocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale DISCIPLINA: MATEMATICA RESPONSABILE: CAGNESCHI F. IMPERATORE D. CLASSE: prima servizi commerciali Utilizzare le tecniche e le procedure
DettagliCONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione
CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce
DettagliDerivate delle funzioni di una variabile.
Derivate delle funzioni di una variabile. Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più fecondi della matematica ed è quello su cui si basa il calcolo differenziale. I problemi
DettagliI TRIANGOLI I TRIANGOLI 1. IL TRIANGOLO. Il triangolo è un poligono avente tre lati. a) Proprietà di un triangolo
I TRIANGOLI 1. IL TRIANGOLO Il triangolo è un poligono avente tre lati. a) Proprietà di un triangolo In un triangolo: I lati e i vertici sono consecutivi fra loro. La somma degli angoli interni è sempre
DettagliSIMULAZIONE - VERIFICA DI MATEMATICA L IPERBOLE. 16 20 20 0 5 5 dovendo essere
SIMULAZIONE - VERIFICA DI MATEMATICA L IPERBOLE Problema 1: a) y = 4 x 4 x + x = 0 y = x x 1 x 1 C. E.: 4 x 0 x y = 4 x y = 4 x x + y = 4 semiocirconferenza superiore di centro l'origine e raggio C. C.:
DettagliDefinizione Dati due insiemi A e B, contenuti nel campo reale R, si definisce funzione reale di variabile reale una legge f : A
Scopo centrale, sia della teoria statistica che della economica, è proprio quello di esprimere ed analizzare le relazioni, esistenti tra le variabili statistiche ed economiche, che, in linguaggio matematico,
DettagliUnità Didattica N 28 Punti notevoli di un triangolo
68 Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo 0) ircocentro 0) Incentro 03) Baricentro 04) Ortocentro Pagina 68 di 73 Unità Didattica N 8 Punti
DettagliSUPERFICI CONICHE. Rappresentazione di coni e cilindri
SUPERFICI CONICHE Rappresentazione di coni e cilindri Si definisce CONO la superficie che si ottiene proiettando tutti i punti di una curva, detta DIRETTRICE, da un punto proprio, non appartenente al piano
DettagliGeogebra. Numero lati: Numero angoli: Numero diagonali:
TRIANGOLI Geogebra IL TRIANGOLO 1. Fai clic sull icona Ic2 e nel menu a discesa scegli Nuovo punto : fai clic all interno della zona geometria e individua il punto A. Fai di nuovo clic per individuare
DettagliEsercizi per le vacanze estive.
Esercizi per le vacanze estive. ^ A B Controlla il quaderno delle regole: se non è ordinato o se mancano alcune parti, completalo, chiedendo se è possibile ad un compagno. GEOMETRIA A Ripassa le caratteristiche
DettagliITCS Erasmo da Rotterdam. Anno Scolastico 2014/2015. CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio
ITCS Erasmo da Rotterdam Anno Scolastico 014/015 CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA GLI STUDENTI CON IL DEBITO FORMATIVO
DettagliElenco Ordinato per Materia Chimica
( [B,25404] Perché le ossa degli uccelli sono pneumatiche, cioè ripiene di aria? C (A) per consentire i movimenti angolari (B) per immagazzinare come riserva di ossigeno X(C) per essere più leggere onde
DettagliRETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,
DettagliSOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n
SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,
DettagliEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Cognome... Nome... Equazioni di primo grado EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un'equazione di primo grado e un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado, vera solo per alcuni valori che si attribuiscono
Dettaglidescrivere le caratteristiche della sfera utilizzare le formule inerenti. Introduzione
Anno 4 Sfera 1 Introduzione In questa lezione parleremo di un importante solido di rotazione detto sfera. Ne daremo la definizione, ne studieremo le caratteristiche e le formule a essa inerenti. Al termine
DettagliMODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree
MODULO DI MATEMATICA di accesso al triennio Abilità interessate Utilizzare terminologia specifica. Essere consapevoli della necessità di un linguaggio condiviso. Utilizzare il disegno geometrico, per assimilare
DettagliINTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA
INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA Una Geometria non può essere più vera di un altra; può essere solamente più comoda. Ora la Geometria Euclidea è e resterà più comoda H. Poincaré
DettagliC.d.L. "Scienze della Formazione Primaria" Corso Integrato di Geometria e Algebra. Modulo di GEOMETRIA. A. Gimigliano, A.A.
C.d.L. "Scienze della Formazione Primaria" Corso Integrato di Geometria e Algebra Modulo di GEOMETRIA A. Gimigliano, A.A. 009/10 Note supplementari per il corso INDICE 0. INTRODUZIONE. 1. LA GEOMETRIA
DettagliDiapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.
I triangoli e i criteri di congruenza Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. ntonio Manca da materiali offerti dalla rete. ontributi di: tlas editore, matematicamente, Prof.ssa. nnamaria Iuppa,
Dettagli1 La Geometria delle Masse
1 La eometria delle Masse 1.1 Baricentri e Momenti Statici Due siste di forze vengono detti equivalenti quando generano la stessa risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad un polo qualsiasi.
DettagliMATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica
DettagliEsercizi svolti sui sistemi lineari
Francesco Daddi - www.webalice.it/francesco.daddi Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: tx+(t 1)y + z =1 (t 1)y + tz =1
DettagliGRIGLIA DI CORREZIONE 2013-2014 Matematica Classe II Scuola Primaria FASCICOLO 1
GRIGLIA DI CORREZIONE 2013-2014 Matematica Classe II Scuola Primaria FASCICOLO 1 Domanda Risposta corretta Eventuali annotazioni D1 C D2_a1 V La risposta si considera corretta con 3 risposte corrette fornite
DettagliARROTONDANDO FIGURE CON TRIANGOLI EQUILATERI
ARROTONDANDO Cosa succede ad accostare figure identiche una all altra? Le figure ottenute che proprietà presentano? Posso trovare un qualche tipo di legge generale? Per rispondere a questa ed altre domande
Dettagli5. Spiegare perché la somma di due lati di un triangolo sferico è maggiore del terzo lato.
ESERCIZI E PROBLEMI 1. Spiegare perché sulla sfera non ci sono rette parallele e mostrare che per due punti passa una ed una sola retta. Basta ricordare che retta significa circonferenza massima su S,
DettagliInformatica Grafica. Un introduzione
Informatica Grafica Un introduzione Rappresentare la Geometria Operabile da metodi di calcolo automatici Grafica Vettoriale Partiamo dalla rappresentazione di un punto... Spazi Vettoriale SPAZI VETTORIALI
DettagliConfrontare angoli Indica, colorando il quadratino, quali sono gli angoli retti tra quelli che vedi qui sotto.
Confrontare angoli Indica, colorando il quadratino, quali sono gli angoli retti tra quelli che vedi qui sotto. R V T P S U Z Colora di verde le caselle corrispondenti agli angoli piatti e di rosso quelle
DettagliSoluzione dei sistemi lineari con metodo grafico classe 2H
Soluzione dei sistemi lineari con metodo grafico classe H (con esempi di utilizzo del software open source multipiattaforma Geogebra e calcolatrice grafica Texas Instruments TI-89) Metodo grafico Il metodo
DettagliNUMERI COMPLESSI. Test di autovalutazione
NUMERI COMPLESSI Test di autovalutazione 1. Se due numeri complessi z 1 e z 2 sono rappresentati nel piano di Gauss da due punti simmetrici rispetto all origine: (a) sono le radici quadrate di uno stesso
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1)
GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1) Un ente (geometrico) è un oggetto studiato dalla geometria. Per descrivere gli enti vengono utilizzate delle definizioni. Una definizione è una
DettagliESERCIZI PER LE VACANZE
ESERCIZI PER LE VACANZE Tutti gli esercizi devono essere svolti sul quaderno. 1. Trova il quoziente di ciascuna frazione senza usare la calcolatrice (ricorda che puoi ridurre le frazioni ai minimi termini
DettagliProntuario di geometria euclidea nello spazio. Per la scuola secondaria di I grado
Prontuario di geometria euclidea nello spazio Per la scuola secondaria di I grado N. B. Gli argomenti presentati sono una sintesi di quelli trattati in classe e non sostituiscono ma integrano il libro
DettagliPrerequisiti Per affrontare questo argomento sono necessarie conoscenze in:. atematica di base. Risoluzione di triangoli e quadrilateri. alcolo delle
 N DIVIIONE DEI TERRENI Prerequisiti Per affrontare questo argomento sono necessarie conoscenze in:. atematica di base. Risoluzione di triangoli e quadrilateri. alcolo delle aree. Tecniche di rilievo
DettagliIl metodo delle coordinate: vantaggi e pericoli. (schema della lezione)
Il metodo delle coordinate: vantaggi e pericoli. (schema della lezione) Riferimenti: V. Villani, Cominciamo dal punto, 13. Quali sono i pregi di una trattazione della geometria per via analitica? E quali
DettagliMassimi e minimi vincolati in R 2 - Esercizi svolti
Massimi e minimi vincolati in R 2 - Esercizi svolti Esercizio 1. Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione f(x, y) = 2x + 3y vincolati alla curva di equazione x 4 + y 4 = 1. Esercizio 2. Determinare
DettagliLA MISURA DI GRANDI DISTANZE CON LA TRIANGOLAZIONE
L MISUR DI GRNDI DISTNZE ON L TRINGOLZIONE ome si può misurare l altezza di un lampione senza doversi arrampicare su di esso? Se è una giornata di sole, è possibile sfruttare l ombra del lampione. on un
Dettagli336 GEOMETRIA: ESERCIZI SUL CAPITOLO 3
336 GEOMETRIA: ESERCIZI SUL CAPITOLO 3 1) (Esercizio svolto) Dimostra che le bisettrici di due angoli corrispondenti, formati da due rette parallele con una trasversale, sono anch esse parallele. a b (sulla
DettagliVertici opposti. Fig. C6.1 Definizioni relative ai quadrilateri.
6. Quadrilateri 6.1 efinizioni Un poligono di 4 lati è detto quadrilatero. I lati di un quadrilatero che hanno un vertice in comune sono detti consecutivi. I lati di un quadrilatero non consecutivi tra
DettagliGeometria analitica di base (prima parte)
SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una
DettagliEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO
EQUAZIONI CON VALORE AOLUTO DIEQUAZIONI CON VALORE AOLUTO Prima di tutto: che cosa è il valore assoluto di un numero? Il valore assoluto è quella legge che ad un numero (positivo o negativo) associa sempre
Dettagli2 Dato il triangolo rettangolo della figura, quale delle seguenti proporzioni esprime il primo teorema di Euclide?
1 Le seguenti affermazioni sono tutte vere, tranne una. Quale? due triangoli con un angolo retto sono sempre simili due triangoli equilateri sono sempre simili due triangoli isosceli sono simili se hanno
DettagliPROGRAMMA CONSUNTIVO
PAGINA: 1 PROGRAMMA CONSUNTIVO A.S.2014-15 SCUOLA: Liceo Linguistico Teatro alla Scala DOCENTE: BASSO RICCI MARIA MATERIA: MATEMATICA- INFORMATICA Classe 2 Sezione A CONTENUTI Sistemi lineari numerici
DettagliLICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A
LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula
Dettaglia. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.
1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità
DettagliQUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica
Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica E Abbena, G M Gianella Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Quaderno # 6 - Aprile 003 Gli esercizi proposti
DettagliPROBLEMI DI SCELTA dipendenti da due variabili d azione
prof. Guida PROBLEMI DI SCELTA dipendenti da due variabili d azione in un problema di programmazione lineare, si ricorda che la funzione obiettivo z=f(x,y)=ax+by+c assume il suo valore massimo (o minimo)
DettagliRAPPORTI E PROPORZIONI
ARITMETICA PREREQUISITI l conoscere le proprietaá delle quattro operazioni ed operare con esse l abilitaá di calcolo con le frazioni l calcolare la radice quadrata di un numero CONOSCENZE. i termini di
DettagliSISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1
MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui
DettagliTrasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011
1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni
DettagliLiceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni
Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti Equazioni e Disequazioni Ripasso generale relativo alla risoluzione di equazioni, disequazioni,
DettagliAlgebra vettoriale. Capitolo 5. 5.1 Grandezze scalari. 5.2 Grandezze vettoriali
Capitolo 5 5.1 Grandezze scalari Si definiscono scalari quelle grandezze fisiche che sono descritte in modo completo da un numero accompagnato dalla sua unità di misura. La temperatura dell aria in una
DettagliSTATISTICA DESCRITTIVA. Elementi di statistica medica GLI INDICI INDICI DI DISPERSIONE STATISTICA DESCRITTIVA
STATISTICA DESCRITTIVA Elementi di statistica medica STATISTICA DESCRITTIVA È quella branca della statistica che ha il fine di descrivere un fenomeno. Deve quindi sintetizzare tramite pochi valori(indici
DettagliCurve e integrali curvilinei: esercizi svolti
Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti 1 Esercizi sulle curve parametriche....................... 1.1 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve............. 1. Esercizi sulla lunghezza di una
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 La Geometria analitica: la retta 1.1 Introduzione......................................... 1. Il piano cartesiano.....................................
DettagliProcedure euclidee elementari
Origami: Geometria con la carta (1) di Paolo Bascetta, 1998 Questo articolo è stato pubblicato sul nº 52 di Quadrato Magico (Aprile 1998). La seconda parte dell'articolo e' stata pubblicata sul n. 54 di
DettagliUNIONE MATEMATICA ITALIANA. C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica
UNIONE MATEMATICA ITALIANA C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica ESEMPI DI TERZE PROVE per il NUOVO ESAME DI STATO LA COMPONENTE MATEMATICA ISTITUTO MAGISTRALE Tipologia
DettagliUno spazio per lo spazio.
Uno spazio per lo spazio. Il gruppo di matematica del Laboratorio Franco Conti ha lavorato quest anno nella direzione di ripensare l insegnamento della geometria dello spazio, unendo la riflessione teorica
Dettagli4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.
Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono
DettagliISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE
ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Federico II di Svevia Indirizzi: Liceo Scientifico Classico Linguistico Artistico e Scienze Applicate Via G. Verdi, 1 85025 MELFI (PZ) Tel. 097224434/35 Cod. Min.: PZIS02700B
DettagliQUADRILATERO A LATI QUALSIASI ( IL PROBLEMA DI GENNAIO 2011)
QUADRILATERO A LATI QUALSIASI ( IL PROBLEMA DI GENNAIO 2011) Suppongo dati quattro segmenti a,b,c,d qualsiasi, che possano formare un quadrilatero ABCD, con AB = a ; BC= b ; CD = c ; DA = d, coi vertici
Dettagli