EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

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1 Cognome... Nome... Equazioni di primo grado EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un'equazione di primo grado e un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado, vera solo per alcuni valori che si attribuiscono all'incognita. Indichiamo con P(x) e con Q(x) le due espressioni letterali dette sopra, aventi incognita x; possiamo indicare un'equazione di primo grado nel modo seguente: P(x) = Q(x) P(x), ossia l'espressione a sinistra dell'uguale, è detta primo membro dell'equazione di primo grado; Q(x), ossia l'espressione a destra dell'uguale, è detta secondo membro dell'equazione di primo grado. Ogni numero che, attribuito (sostituito) all'incognita x nell'equazione di primo grado, fa assumere al primo membro lo stesso valore del secondo, è detto soluzione dell'equazione di primo grado. Risolvere un'equazione di primo grado significa trovare la sua soluzione; in altre parole vuol dire trovare quel valore che, messo al posto dell'incognita, rende vera l'uguaglianza oppure, si dice anche che soddisfa l'equazione. Cerchiamo di chiarire quanto detto con un esempio. Consideriamo l'equazione di primo grado: 3x + 1 = 2x + 6 Se proviamo a sostituire il numero 2 all'incognita x otteniamo: risolvendo otteniamo: = = 10 Che NON È UN'UGUAGLIANZA! Questo significa che 2 non è la soluzione dell'equazione di primo grado. Se invece utilizziamo il numero 5, con lo stesso procedimento di prima otteniamo 16 = 16 Che È UN'UGUAGLIANZA VERA! Quindi 5 è proprio la soluzione dell'equazione di primo grado. Anticipiamo che un'equazione di primo grado, che non sia un'identità, se ha soluzione, ne ha una e una sola. Ciò significa che se ne trovo una, non devo cercarne altre. a cura di A. Cesana

2 CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO SECONDO LA LORO SOLUZIONE L'equazione di primo grado non ha alcuna soluzione Ciò si verifica quando nessun numero, sostituito all'incognita, soddisfa l'equazione di primo grado. In questo caso si dice che l'equazione è impossibile. 3x + 1 = 5x 2x 8 L'equazione di primo grado ha una soluzione Ciò si verifica quando un solo numero, sostituito all'incognita, soddisfa l'equazione di primo grado. In questo caso si dice che l'equazione è determinata. CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO SECONDO LA LORO FORMA Equazione di primo grado INTERA Un'equazione di primo grado si dice intera quando i suoi membri sono polinomi di primo grado nell'incognita x. Esempi: 3x + 1 = 5x 2x Equazione di primo grado FRAZIONARIA Un'equazione di primo grado si dice frazionaria quando, in almeno uno dei suoi membri, l'incognita compare a denominatore. Esempi: 2x + 1 = 5x 8 L'equazione di primo grado ha un numero infinito di soluzioni Ciò si verifica quando qualsiasi numero, sostituito all'incognita, soddisfa l'equazione. In questo caso si dice che l'equazione è indeterminata o che è un'identità. 3x + 1 = 5x 2x L'equazione di primo grado LETTERALE Un'equazione di primo grado si dice letterale quando essa contiene, oltre all'incognita, altre lettere che rappresentano numeri ben precisi. Esempi: L'equazione di primo grado NUMERICA Un'equazione di primo grado si dice numerica se non contiene altre lettere oltre all'incognita. Gli esempi ai punti 1. e 2. Sono equazioni di primo grado numeriche.

3 PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Primo principio di equivalenza: PRINCIPIO DI ADDIZIONE Se si addiziona o si sottrae a entrambi i membri di un'equazione di primo grado uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente a quella data. Data l'equazione: che ha soluzione: x 2 = 6 se si addiziona a entrambi i membri il numero si ottiene l'equazione: x 2 + = 6 + che ha ancora soluzione: quindi è equivalente a quella data. Consideriamo l'equazione di primo grado: 3x + 1 = 2x + 6 notiamo che l'incognita x compare sia a primo membro che a secondo e che il numero 1 dovrebbe essere spostato a secondo membro, vicino al 6. Applicando il principio del trasporto otteniamo: 3x 2x = 6 1 A questo punto sommiamo i termini simili a primo e secondo membro e abbiamo: x = 5 che è la nostra soluzione. Regola della cancellazione Se in entrambi i membri dell'equazione compaiono termini uguali, questi si possono cancellare. Consideriamo ora la stessa equazione: x 2 = 6 e, questa volta, addizioniamo a entrambi i membri l'espressione algebrica: x 1 In questo modo otteniamo: x 2 + x 1 = 6 + x 1 che ha ancora soluzione: quindi è equivalente a quella data. Conseguenze del primo principio di equivalenza. Regola del trasporto In ogni equazione un termine si può spostare da un membro all'altro, purché si cambi segno. Tale regola è molto utile nel procedimento di risoluzione delle equazioni e permette di velocizzare l'applicazione del primo principio di equivalenza. Data l'equazione di primo grado: 3x + 1 = 2x possiamo applicare la regola del trasporto e otteniamo: 3x 2x = e 1, essendo opposti, danno come risultato 0, quindi si possono cancellare. Osserviamo che il numero 1 è stato ottenuto dal trasporto del +1 di partenza da primo a secondo membro. Senza passare attraverso la strada del trasporto, possiamo notare che nell'equazione di partenza il numero +1 compare in entrambi i membri, quindi può essere cancellato immediatamente come segue: 3x + 1 = 2x ottenendo l'equazione equivalente: 3x + 6

4 Secondo principio di equivalenza: PRINCIPIO DI MOLTIPLICAZIONE Se si moltiplicano o si dividono entrambi i membri di un'equazione di primo grado per uno stesso numero diverso da zero o una stessa espressione algebrica contenente l'incognita (che abbia significato per qualunque valore dell'incognita e non si annulli mai), si ottiene un'equazione equivalente a quella data. Denominatore comune Un'equazione di primo grado con i coefficienti interi si può trasformare in un'equazione equivalente con i coefficienti interi, moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori. Data l'equazione: che ha soluzione x 2 = 6 se si moltiplicano entrambi i membri per il numero 3 si ottiene l'equazione: 3 (x 2)= 3 6 ossia svolgendo i calcoli: 12x 6 = 18 che ha ancora soluzione quindi è equivalente a quella data. Conseguenze del secondo principio di equivalenza. Cambio segno Se si cambiano i segni di tutti i termini dell'equazione di primo grado, si ottiene un'equazione equivalente a quella data. Consideriamo l'equazione di primo grado: 2x + 8 = 3x 2 applichiamo la regola del trasporto: 2x 3x = 2 8 sommando i termini simili otteniamo: x = 10 Voglio togliere il segno negativo dall'incognita, lo posso fare grazie al secondo principio di equivalenza; in questo modo si ottiene: x = Per facilitare il calcolo vogliamo liberarla dai denominatori; per fare questo calcoliamo il denominatore comune (m.c.m. tra i denominatori) delle due frazioni: Applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando entrambi i membri per, in modo da semplificare i denominatori: Eseguendo le moltiplicazioni otteniamo così l equazione: Che è equivalente a quella di partenza. 652 Applicando il primo principio di equivalenza si ottiene: 2 11 Arrivati a questo punto non si può affermare che si è trovata la soluzione perché, ripetiamo, la soluzione è del tipo x=numero e non si vuole alcun coefficiente davanti all incognita. Si deve quindi applicare il secondo principio di equivalenza e dividere entrambi i membri per il coefficiente di x (per 2 e NON per 11!!!). ossia semplificando

5 ESERCIZI Tenendo presente che nel risolvere un equazione si possono riscontrare i seguenti tre casi: x = un certo valore 0 = 0 0 = un certo valore EQUAZIONE DETERMINATA EQUAZIONE INDETERMINATA EQUAZIONE IMPOSSIBILE Risolvi le seguenti equazioni di primo grado catalogandole come appartenenti alle categorie, o Equazioni di primo grado senza frazioni

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7 Equazioni di primo grado con frazioni

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