RISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE

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1 Prof. Di Caprio 1 RISOLVERE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO INTERE Introduzione In questa lezione impareremo a risolvere equazioni di primo grado intere. Esse sono molto utili principalmente per risolvere alcune tipologie di problemi (algebrici, geometrici, tratti da situazioni reali, ecc.). Inoltre sono un prerequisito indispensabile per molti altri argomenti di algebra, come, ad esempio, equazioni letterali, equazioni fratte, alcune equazioni di grado superiore e disequazioni numeriche intere di primo grado. La lezione sarà organizzata in 5 punti: 1. Primo principio di equivalenza: sommare o sottrarre la stessa quantità 2. Secondo principio di equivalenza: moltiplicare o dividere per la stessa quantità 3. Come risolvere un'equazione con coefficienti interi 4. Come risolvere un'equazione con coefficienti frazionari 5. Come riconoscere equazioni che non hanno soluzioni o che ne hanno infinite 1. Primo principio di equivalenza: sommare o sottrarre la stessa quantità Supponiamo di cercare un numero che moltiplicato per 3 dia come risultato 6. Se chiamiamo il numero, il problema si traduce nell'equazione: È facile capire che la soluzione dell'equazione è il numero 2, infatti. Quindi l'equazione. Osserviamo, però, che anche ha la stessa soluzione, ossia è equivalente all'equazione di partenza. Analogamente le equazioni: sono tutte equivalenti a quella di partenza, perché ottenute sommando o sottraendo la stessa quantità da entrambi i membri dell'equazione (nella prima ho sottratto 1, nella seconda ho sottratto 6, nella terza ho aggiunto ) Se proviamo a generalizzare questo esempio usando le lettere maiuscole e per indicare espressioni algebriche, possiamo scrivere: L'equazione è equivalente all'equazione oppure all'equazione Questo è il primo principio di equivalenza delle equazioni. Esso si utilizza, di solito, per trasformare un'equazione in un'altra equivalente più semplice. Vediamo qualche esempio Esempio 1: Sottraiamo la quantità da entrambi i membri dell'equazione: Si ottiene l'equazione equivalente, ossia:

2 Prof. Di Caprio 2 Se confrontiamo l'equazione iniziale con quella finale notiamo che il termine è "sparito" dal membro destro ed è "ricomparso" nel membro sinistro cambiato di segno. Questo "trasporto" di un termine da un membro all'altro è una conseguenza del primo principio e viene indicato di solito come "regola del trasporto": In un'equazione si può trasportare un termine da un membro all'altro cambiando di segno, e in tal modo si ottiene un'equazione equivalente. Esempio 2: Aggiungiamo la quantità a entrambi i membri dell'equazione: Si ottiene l'equazione equivalente ossia: Se confrontiamo l'equazione iniziale con quella finale notiamo che il termine è "sparito" da entrambi i membri. Questa "cancellazione" di uno stesso termine presente in entrambi i membri è una conseguenza del primo principio e viene indicato di solito come "regola della cancellazione": In un'equazione si può cancellare un termine che compare in entrambi i membri, e in tal modo si ottiene un'equazione equivalente. Esempio 3: è equivalente a Abbiamo applicato la regola della cancellazione al termine e la regola del trasporto ai termini e 2. Secondo principio di equivalenza: moltiplicare o dividere per la stessa quantità Consideriamo nuovamente l'equazione: Sappiamo che la soluzione dell'equazione è il numero 2, infatti. Quindi l'equazione. Osserviamo, però, che anche

3 Prof. Di Caprio 3 ha la stessa soluzione, ossia è equivalente all'equazione di partenza. Analogamente le equazioni: sono tutte equivalenti a quella di partenza perché ottenute moltiplicando o dividendo entrambi i membri dell'equazione per la stessa quantità (nella prima moltiplicato per 3, nella seconda diviso per 2, nella terza moltiplicato per ). Attenzione: la quantità che scegliamo deve essere diversa da zero, sia nel caso di divisione che di moltiplicazione (perché? Vedi paragrafo 5). Se proviamo a generalizzare questo esempio usando le lettere maiuscole e per indicare espressioni algebriche, possiamo scrivere: Se è una quantità diversa da zero, l'equazione è equivalente all'equazione oppure all'equazione Questo è il secondo principio di equivalenza delle equazioni. Esso si utilizza, di solito, per trasformare un'equazione in un'altra equivalente più semplice. Vediamo qualche esempio Esempio 1: Moltiplichiamo per 5 entrambi i membri dell'equazione: Si ottiene l'equazione equivalente, ossia, semplificando le frazioni: Se confrontiamo l'equazione iniziale con quella finale notiamo che il (comune) denominatore 5 dei due membri dell'equazione è "sparito". Questa "eliminazione" di un denominatore comune è una conseguenza del secondo principio: In un'equazione si può eliminare un denominatore comune a tutte le frazioni, e in tal modo si ottiene un'equazione equivalente. Esempio 2: Moltiplichiamo per entrambi i membri dell'equazione: Si ottiene l'equazione equivalente ossia:

4 Prof. Di Caprio 4 Se confrontiamo l'equazione iniziale con quella finale notiamo che tutti i termini in entrambi i membri hanno il segno cambiato. Questo cambiamento di tutti i segni è una conseguenza del secondo principio: In un'equazione si possono cambiare i segni di tutti i termini in entrambi i membri, e in tal modo si ottiene un'equazione equivalente. Esempio 3: è equivalente a Abbiamo cambiato tutti i segni e eliminato il denominatore comune 3. Come risolvere un'equazione con coefficienti interi Con i principi visti si può risolvere qualsiasi equazione di primo grado. Partiamo con un esempio, risolviamo: Notiamo che il membro sinistro e il membro destro non sono semplificabili, in quanto non ci sono termini simili. È qui che entra in gioco la regola del trasporto: trasportiamo il termine a sinistra e il termine a destra: Adesso sia a sinistra che a destra possiamo sommare i termini simili ed ottenere l'equazione equivalente: Applicando il secondo principio, possiamo dividere entrambi i membri per il coefficiente del termine, ossia per il numero : Semplificando le frazioni si ottiene: Abbiamo così ottenuto la soluzione dell equazione di partenza. L'uguaglianza infatti non è altro che una "versione semplificata" dell'equazione iniziale, dato che tutte le equazioni intermedie sono equivalenti a quella di partenza. Generalizzando questo esempio possiamo dire che: Un'equazione di primo grado può essere sempre ricondotta alla forma, dove è un coefficiente diverso da zero e è un qualsiasi numero. Applicando il secondo principio si possono dividere entrambi i membri per il coefficiente, ottenendo la soluzione

5 Prof. Di Caprio 5 La forma viene detta forma normale dell'equazione. Dall'esempio emerge che per portare una equazione in forma normale è necessario di solito applicare la regola del trasporto e/o della cancellazione. Il procedimento completo può dunque essere schematizzato come segue: 1. Se ci sono parentesi, sviluppare i calcoli (prodotti, quadrati, ecc.) 2. Applicare la regola del trasporto in modo da avere a sinistra solo termini di primo grado e a destra solo numeri 3. Sommare i termini simili per ottenere la forma ( è diverso da zero) 4. Dividere entrambi i membri per per ottenere infine la soluzione Vediamo qualche altro esempio: Esempio 1: Svolgiamo prima i prodotti: Cancelliamo il termine : Applichiamo il trasporto: Sommiamo i termini simili: Dividiamo per entrambi i membri: Otteniamo la soluzione 4. Come risolvere un'equazione con coefficienti frazionari Per risolvere equazioni a coefficienti interi abbiamo applicato il secondo principio di equivalenza soltanto nell'ultimo passaggio di risoluzione dell'equazione. Vediamo, invece, adesso un altro caso in cui il secondo principio è molto utile. Risolviamo l'equazione con coefficienti frazionari: Se applichiamo il procedimento di risoluzione visto nel paragrafo precedente otteniamo certamente la soluzione ma al costo di più operazioni con le frazioni. Proviamo, invece, a trasformare subito l'equazione data in una equivalente che non contiene frazioni. Vediamo come. Innanzitutto troviamo il m.c.m di tutti i denominatori presenti, ossia dei numeri 2, 3 e 6. In questo caso Il m.c.m è 6. Poi riduciamo tutti i termini allo stesso denominatore 6: Moltiplicando tutti i termini per il numero 6 otteniamo l'equazione equivalente: Per proseguire adesso possiamo applicare il metodo che già conosciamo, con il vantaggio di avere operazioni solo con numeri interi (eccetto che nell'ultimo passaggio!):

6 Prof. Di Caprio 6 Generalizzando questo esempio possiamo dire che: È sempre possibile trasformare un'equazione con coefficienti frazionari in una equivalente a coefficienti interi. Grazie al secondo principio di equivalenza, basta moltiplicare tutti i termini dell'equazione per il m.c.m di tutti i denominatori presenti nell'equazione. Vediamo qualche altro esempio: Esempio 1: Dato che, riduciamo tutti i termini al denominatore comune : Eliminiamo i denominatori: Applichiamo il trasporto: Sommiamo i termini simili: Dividiamo per entrambi i membri: Otteniamo la soluzione Esempio 2: Dato che, riduciamo tutti i termini al denominatore comune : Eliminiamo i denominatori: (attenzione alle parentesi!) Eliminiamo le parentesi cambiando i segni: Applichiamo il trasporto: Sommiamo i termini simili:

7 Prof. Di Caprio 7 Dividiamo per entrambi i membri: Otteniamo la soluzione 5. Come riconoscere equazioni che non hanno soluzioni o che ne hanno infinite Nei paragrafi precedenti abbiamo visto equazioni che hanno sempre una e una sola soluzione. È sempre così? Supponiamo di cercare un numero uguale al suo successivo. Detto il numero, si tratta di risolvere l'equazione: Applicando il trasporto e sommando i termini simili otteniamo: Osserviamo che il termine in è sparito. Cosa vuol dire? Vuol dire che l'equazione di partenza non è di primo grado, perché è equivalente ad un'equazione di grado zero, ossia ad una semplice uguaglianza. Qual è, dunque, la soluzione di questa equazione di grado zero? Osserviamo che l'uguaglianza è falsa e lo sarà sempre, indipendentemente dal valore che diamo alla nella equazione di partenza. Quindi, dato che è falsa, l'equazione non ha soluzioni. Infatti, non esiste nessun numero uguale al suo successivo! (esempi: ecc.) Vediamo un altro esempio. Supponiamo di cercare un numero che sommato a se stesso sia uguale al suo doppio. Detto il numero, si tratta di risolvere l'equazione: Applicando il trasporto e sommando i termini simili otteniamo: Anche in questo caso l'equazione è di grado zero. Osserviamo che l'uguaglianza è vera e lo sarà sempre, indipendentemente dal valore che diamo alla nella equazione di partenza. Dunque, dato che è vera, qualsiasi numero è soluzione dell'equazione. Infatti, qualsiasi numero sommato a se stesso è uguale al proprio doppio! (esempi: Osserviamo che un'equazione di primo grado ha sempre una e una sola soluzione. Negli esempi visti ciò non avviene perché le equazioni considerate non sono di primo grado ma, in realtà, sono di grado zero. Per scoprire se un'equazione è davvero di primo grado dobbiamo dunque portarla in forma normale. Se l'equazione è di primo grado allora avrà la forma, dove è un coefficiente diverso da zero. La sua unica soluzione è Se l'equazione è di grado zero allora avrà la forma (ossia, il termine in sparisce) 1. se il numero è diverso da zero, allora l'equazione non ha soluzioni (in simboli: ) ecc.)

8 Prof. Di Caprio 8 2. se invece è zero, qualsiasi numero è soluzione dell'equazione (in simboli: ) Ricordiamo che un equazione che non ha soluzioni si dice impossibile. Un equazione che ha infinite soluzioni si dice indeterminata. Un equazione indeterminata che ammette come soluzione qualsiasi numero si dice anche identità. Dunque, possiamo dire che l equazione è impossibile mentre l equazione è un identità. Se vogliamo usare una notazione più formale possiamo scrivere: che si legge: "non esiste nessuna tale che " che si legge: "per qualsiasi vale: " RICORDA LE DEFINIZIONI: Equazione: uguaglianza tra due espressioni algebriche Soluzione: numero che sostituito all'incognita di un'equazione rende l'uguaglianza vera Equazioni equivalenti: equazioni che hanno esattamente le stesse soluzioni Equazione impossibile: equazione che non ha soluzioni Equazione indeterminata: equazione che ha infinite soluzioni Identità: equazione indeterminata che ammette come soluzione qualsiasi numero