Definizione: Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.

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1 Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso Zero di Matematica Gruppi: MC-MF3 / PS-MF3 II Lezione EQUAZIONI E SISTEMI Dr. E. Modica erasmo@galois.it IDENTITÀ ED EQUAZIONI Si consideri un uguaglianza tra due espressioni algebriche A = B se si sostituiscono al posto della A e della B dei numeri, si può verificare uno dei tre casi seguenti: l uguaglianza A = B è sempre vera; l uguaglianza A = B è sempre falsa; l uguaglianza A = B risulta vera solo per alcuni numeri e falsa per altri. Se lo scopo è quello di determinare quali valori numerici si devono attribuire ad A e B affinché l uguaglianza A = B risulti vera, si dice che quest ultima uguaglianza è un equazione. Definizione: Si dice equazione un uguaglianza tra due espressioni algebriche per la quale si vogliono determinare i valori delle variabili che la rendono vera. Le variabili che compaiono in un equazione prendono il nome di incognite e si indicano con le lettere finali dell alfabeto x, y, z, La forma generale di un equazione è: A x = B x l espressione A x si dice primo membro dell equazione, mentre l espressione B x si dice secondo membro. Definizione: Si dice soluzione o radice di un equazione quel numero che, sostituito al posto della variabile, realizza l uguaglianza. In base al tipo di soluzione trovata, le equazioni vengono classificate come indicato nella seguente tabella. Classificazione Insieme delle soluzioni Esempio Possibile (nell insieme A) S 2x = 4 in N Impossibile (nell insieme A) S = x + 2 = 1 in N Determinata (nell insieme A) S A, S finito x + 3x = 24 in Q Indeterminata (nell insieme A) S A, S infinito x + 3x = 4x in R 1

2 Definizione: Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni. Esempio: Le equazioni 2x = 1 e 6x = 3 sono equivalenti in Q. I Principio di Equivalenza: Sommando o sottraendo ad ambo i membri di un equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l incognita (che sia definita per ogni valore dell incognita) si ottiene un equazione equivalente a quella data. Regola 1: In ogni equazione un termine si può spostare da un membro all altro, purché venga cambiato il segno. Esempio: L equazione 3x + 5 = x 1 è equivalente all equazione 3x x = 5 1. Regola 2: Se in ciascun membro di un equazione compaiono le stesse quantità, queste si possono eliminare. Esempio: L equazione 3x x = x 1 + 3x 7 è equivalente all equazione 3x 5 + x = x 1 + 3x 5. II Principio di Equivalenza: Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un equazione per uno stesso numero, diverso da zero, o una stessa espressione algebrica contenente l incognita, che sia definita per ogni valore dell incognita, si ottiene un equazione equivalente a quella data. Regola 1: Se si cambiano i segni di tutti i membri di un equazione, si ottiene un equazione equivalente a quella data. Esempio: L equazione 3x + 5 = x 1 è equivalente all equazione 3x 5 = x + 1. Regola 2: Un equazione con coefficienti frazionari si può trasformare in un equazione equivalente con i coefficienti interi moltiplicando ciascun membro per il m.c.m. dei denominatori. Esempio: L equazione x+1 x = x+1 è equivalente all equazione 2 x 1 3x = x FORMA NORMALE E GRADO DI UN EQUAZIONE Definizione: Si definisce forma normale di un equazione la scrittura: P x = 0 Definizione: Si definisce grado di un equazione, scritta in forma normale, il grado del polinomio P x. 2

3 RISOLUZIONE DI UN EQUAZIONE DI PRIMO GRADO NUMERICA Risolviamo adesso un equazione di primo grado ad un incognita, scritta in forma normale, nella sua espressione più generale: ax + b = 0 con a, b R. Applicando i principi d equivalenza, si ottiene l espressione e quindi si possono presentare i tre casi: ax = b I Caso: a 0 ax a = b a x = b a S = b a equazione determinata; II Caso: a = 0 e b 0 0x = b S = equazione impossibile; III Caso: a = 0 e b = 0 0x = 0 S = R equazione indeterminata. Esempi: 1. x + 3x = 24 4x = 24 x = 24 4 = 6; 2. 3x + 1 = 3x 1 = 0 equazione impossibile; 3. 4x = 3x + x 0 = 0 equazione indeterminata. SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Definizione: Si definisce equazione di primo grado in due incognite un equazione del tipo: con a, b, c R. ax by c 0 Si nota facilmente che una tale equazione ammette come soluzioni infinite coppie ordinate di numeri reali. Esempio: L equazione 3x y 0 0,0, 1,3, 2,6,... ammette come soluzioni le coppie Definizione: Si definisce sistema di equazioni l insieme di due o più equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente. L insieme delle soluzioni del sistema è dato dall intersezione delle soluzioni delle singole equazioni componenti. 3

4 Definizione: Un sistema di equazioni si dice lineare se le equazioni che lo compongono sono tutte di primo grado. SISTEMI LINEARI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Definizione: Un sistema lineare di due equazioni in due incognite è un sistema del tipo: con a, b, c, a, b, c R. Un sistema di tale tipo può ammettere: ax by c 0 a ' x b' y c ' 0 un unica soluzione, cioè una sola coppia xy, soddisfa il sistema, che in tale caso si dice determinato; infinite soluzioni, cioè tutte le coppie, xy soddisfano il sistema, che in tale caso si dice indeterminato; nessuna soluzione, cioè non esistono coppie di numeri reali che soddisfano il sistema, che in tale caso si dice impossibile. METODO DEL CONFRONTO Questo metodo consiste nel ricavarsi la medesima incognita dalle due equazioni e uguagliare le espressioni ottenute, cioè: ax c y ax by c 0 b ax c a ' x c ' a ' x b' y c ' 0 a ' x c ' b b y b' Esempio: Risolvere il sistema 2x 3y 5 0 x 4y 3 0 Ricaviamo la variabile x da entrambe le equazioni: 3y 5 x 2 x 4y 3 e sostituiamola al posto della x nella prima equazione del sistema: 4

5 3y 5 x 3y y 3 3y 5 8y 6 11y 1 y 2 11 x 4y 3 Sostituendo il valore ottenuto in una delle due equazioni si ottiene il valore di x: 29 x 11 METODO DI SOSTITUZIONE Questo metodo consiste nel ricavarsi una delle due incognite da una delle due equazioni e sostituirla nell altra, cioè: ax c y ax by c 0 b a ' x b' y c ' 0 ax c a ' x b' c ' 0 b ab' cb ' a ' b ab' cb ' bc ' cb ' bc ' a ' x x c ' x x b b b b a ' b ab' Osservazione: Appare evidente che un tale sistema per ammettere soluzione deve essere tale che a' b ab' 0. Esempio: Risolvere il sistema 2x 3y 5 0 x 4y 3 0 Ricaviamo la variabile x dalla seconda equazione: 2x 3y 5 0 x 4y 3 e sostituiamola al posto della x nella prima equazione del sistema: 1 y 2 4y 3 3y 5 0 8y 6 3y y 1 11 x 4y 3 x 4y 3 x 4y 3 1 x y x x 3 y

6 METODO DI RIDUZIONE Per risolvere i sistemi con questo metodo si fa uso del principio di equivalenza delle equazioni. A partire dalle uguaglianze: si ottengono le equazioni equivalenti: A x C x da associare ad una delle equazioni di partenza. B x D x A x C x B x D x A x C x B x D x Esempio: Risolvere il sistema x2y 3 x 4y 9 Sottraendo le due equazioni si ottiene: da cui segue che: y 2 che, sostituita in una delle due equazioni ci dà come risultato: x 1 Osservazione: Se i coefficienti delle incognite sono tutti differenti, è possibile fissarsi su una di esse e moltiplicare le due equazioni per il m.c.m. dei due coefficienti. In questo modo si ottiene un sistema in cui una delle due incognite ha i coefficienti uguali e si può quindi utilizzare il metodo di riduzione. METODO DI CRAMER Quello di Cramer è uno dei metodi di risoluzione dei sistemi di equazioni che, in generale, conviene utilizzare quando i coefficienti delle incognite sono tutti diversi da 1. Consideriamo il sistema: 6

7 ax by c a ' x b' y c ' ad esso si associa il numero reale: a b ab' ba ' a' b' che prende il nome di determinante del sistema. Si considerano successivamente i determinanti relativi alle due incognite: c b x cb ' bc ' c' b' a c y ac ' ca ' a' c' Le soluzioni del sistema sono date dai rapporti tra i determinanti relativi alle incognite e il determinante del sistema : c c' b' x cb ' bc ' x a b ab ' ba ' a' b' b a c y a' c' ac ' ca ' y a b ab ' ba ' a' b' Osserviamo che, affinché il sistema ammetta soluzioni, è necessario che si abbia ab' ba ' 0. In generale si ha che: se se se a b c, allora il sistema ammette infinite soluzioni; a' b' c' a b c, allora il sistema è impossibile; a ' b' c ' a b, allora il sistema è determinato e ammette un unica soluzione. a' b' 3x5y 1 Esempio: Risolvere, utilizzando il metodo di Cramer, il sistema 2x3y 7 7

8 Consideriamo il determinante del sistema e i determinanti delle incognite: x y Le soluzioni del sistema sono quindi date da: x 38 x 2 19 y 19 y 1 19 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: Dicesi equazione di secondo grado, un espressione del tipo: ax 2 + bx + c = 0 con a, b, c R e a 0. I valori a, b, c prendono il nome di coefficienti e, in particolare, c viene detto termine noto. Un equazione di secondo grado si definisce: incompleta pura quando il secondo coefficiente è nullo e quindi si ha ax 2 + c = 0; incompleta spuria quando il terzo coefficiente è nullo e quindi si ha ax 2 + bx = 0; completa quando i tre coefficienti sono tutti diversi da zero e quindi si ha ax 2 + bx + c = 0. RISOLUZIONE DI UN EQUAZIONE DI SECONDO GRADO 1 EQUAZIONE INCOMPLETA PURA b = 0 L equazione si presenta nella forma: ax 2 + c = 0 e si risolve portando a secondo membro il termine noto e dividendo per il coefficiente del termine di grado massimo: ax 2 = c x = c a x = ± c a 8

9 Esempio: Risolvere l equazione 4x 2 9 = 0. Le soluzione si ottengono come segue: x 2 = 9 4 x = ± 3 2 Esempio: Risolvere l equazione 4x = 0. L equazione non ammette soluzioni in quanto il quadrato di un numero reale è sempre non negativo e, di conseguenza, la scrittura x 2 = 9 non è verificata per nessun valore dell incognita. 4 Osservazione: Un equazione incompleta pura ammette soluzioni se, e solo se, i coefficienti a e c sono discordi. 2 EQUAZIONE INCOMPLETA SPURIA c = 0 L equazione si presenta nella forma: ax 2 + bx = 0 e si risolve mettendo in evidenza la x e procedendo secondo la legge di annullamento del prodotto 1. Di conseguenza una soluzione sarà sempre quella nulla. ax 2 + bx = 0 x ax + b = 0 x = 0 ax + b = 0 x = b a Esempio: Risolvere l equazione 2x 2 4x = 0. Si ha: 2x x 2 = 0 2x = 0 x 2 = 0 x = 0, x = 2 1 Un prodotto si annulla se, e solo se, almeno uno dei suoi fattori è nullo. 9

10 3 EQUAZIONE COMPLETA L equazione si presenta nella forma: ax 2 + bx + c = 0 Per risolverla si procede come segue: ax 2 + bx + c = 0 moltipliciamo ambo i membri per 4a 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 aggiungiamo ad ambo i membri b 2 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 = b 2 portiamo 4ac a secondo membro 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 4ac x + b 2 = b 2 4ac x + b = ± b 2 4ac x = b ± b 2 4ac x = b ± b2 4ac e si è soliti porre = b 2 4ac, che prende il nome di discriminante dell equazione. Le soluzioni sono quindi date dalla formula: Si possono quindi presentare tre casi: 1 caso: = b 2 4ac > 0 x 1,2 = b ± In questo caso il radicale distinte: è un numero reale e l equazione ammette le due soluzioni reali e x 1 = b x 2 = b + 2 caso: = b 2 4ac = 0 In questo caso l equazione ammette due radici reali e coincidenti date dall espressione: 3 caso: = b 2 4ac < 0 x 1 = x 2 = b In questo caso l equazioni non ammette soluzioni reali, ma soluzioni complesse coniugate. 10

11 Esempi: 1. Risolvere l equazione 3x 2 5x + 2 = 0 x 1,2 = 5 ± Risolvere l equazione 4x 2 12x + 9 = 0 = = 1 x 1 = 1, x 2 = 2 3 = = 0 x 1 = x 2 = 12 8 = Risolvere l equazione x 2 x + 3 = 0 L equazione non ammette soluzioni reali. = 1 12 = 11 RELAZIONI TRA SOLUZIONI E COEFFICIENTI Consideriamo una generica equazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0 nell ipotesi in cui ammette soluzioni reali distinte (cioè > 0), e sommiamo e moltiplichiamo le soluzioni: x 1 + x 2 = b + b+ = 2b = b a x 1 x 2 = b b+ = b 2 = b 2 +4ac b 2 = 4ac = c 4a 2 4a 2 4a 2 a Quindi: x 1 + x 2 = b a x 1 x 2 = c a Somma delle radici Prodotto delle radici Esempio: Data l equazione x 2 5x + 6 = 0, determinare, senza risolverla, la somma e il prodotto delle radici. 11

12 Applicando le precedenti formule si ha: x 1 + x 2 = 5 1 = 5; x 1 + x 2 = 6 1 = 6. SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI II GRADO IN FATTORI Consideriamo il trinomio ax 2 + bx + c ed effettuiamo i seguenti passaggi: ax 2 + bx + c = a x 2 + b a x + c a = sostituendo le relazioni precedenti = a x 2 x 1 + x 2 x + x 1 x 2 = = a x 2 x 1 x x 2 x + x 1 x 2 = raccogliendo parzialmente = a x x x 1 x 2 x x 1 = = a x x 1 x x 2 Esempio: Dato il trinomio x 2 5x + 6, scomporlo in fattori. Applicando la precedente formula si ha: x 2 5x + 6 = x 2 x 3. EQUAZIONI BIQUADRATICHE Un equazione si dice biquadratica quando è di quarto grado ed è priva dei termini contenenti le potenze di grado dispari dell incognita. La formula generale è: ax 4 + bx 2 + c = 0 Per la risoluzione di tale equazione si pone: x 2 = t x 4 = t 2 e si ottiene: at 2 +bt + c = 0. Questa è una equazione di secondo grado in t che ammette le soluzioni: t 1, t 2 = b b 2 4ac. Fatto ciò bisogna risolvere le due equazioni: x 2 = t 1 x = t1 x 2 = t 2 x = t2 12

13 Ciò fa capire che un equazione biquadratica ammette quattro soluzioni. Esempio: Risolvere l equazione: x 4 + 8x 2 9 = 0. Ponendo x 2 = t, l equazione data diventa: Le soluzioni di quest ultima sono: In definitiva si ha: t 2 + 8t 9 =0 t 1 = -9 e t 2 = 1 x 2 = -9 non ammette soluzioni reali x 2 = 1 x 1,2 =