LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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1 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere a, b e c rappresentano numeri reali e si chiamano coefficienti dell equazione, c è anche detto termine noto. Se, oltre a a 0, si hanno anche b 0 e c 0, l equazione si dice completa, altrimenti si dice incompleta; in particolare, se b 0 e c 0 l equazione si dice spuria, se b 0 e c 0 l equazione si dice pura e se b 0 e c 0 l equazione si dice monomia. Definizione: una soluzione o radice dell equazione è un valore che, sostituito all incognita, rende vera l uguaglianza fra i due membri. LA RISOLUZIONE DI UN EQUAZIONE DI SECONDO GRADO EQUAZIONE MONOMIA: ax 0 ax 0 x 0 x x 0 perlaleggediannullamentodelprodottox 0 x 0 un equazione di secondo grado monomia ha sempre due soluzioni reali coincidenti: x 0. x 0 x 0! x 0 EQUAZIONE SPURIA: ax + bx 0 Raccogliamo x : x( ax + b) 0 Per la legge di annullamento del prodotto: x 0!!!!ax + b 0 x b a un equazione di secondo grado spuria ha sempre due soluzioni reali di cui una nulla: 0!!e!!x b a. 6x 5x 0 x( 6x 5) 0 x 0!!!!!!6x 5 0 x 5 6 L equazione ha due soluzioni: 0!!e!!x

2 EQUAZIONE PURA: ax + c 0 Isoliamo il termine con l incognita: ax c Dividiamo entrambi i membri per c : x c a Se c a > 0, allora x ± c a. Se c < 0, allora l equazione non ha soluzioni reali poiché nessun numero reale ha quadrato a negativo. un equazione di secondo grado pura con a e c discordi ha due soluzioni reali e opposte: + c a!!e!!x c a. Se a e c sono concordi, l equazione non ha Esempi soluzioni reali. 5x 0 0 5x 0 x 4 x ± 4 ± L equazione ha due soluzioni:!e!x. 3x x 7 x 9 L equazione non ha soluzioni reali. EQUAZIONE COMPLETA: ax + bx + c 0 : x + x 3 0 Per cercare le soluzioni dell equazione completa applichiamo il metodo del completamento del quadrato. Portiamo a secondo membro il termine noto: ax + bx c : x + x 3 Dividiamo tutti termini per a : x + b a x c a : x + 1 x 3 Scriviamo il termine b a x come doppio prodotto di due fattori: x + b a x c a : x x 3 Aggiungiamo ai due membri il termine svolgimento del quadrato di un binomio:! b # & a %. Si ottiene così al primo membro lo

3 x + b a x +! b # & a % c a +! b # & a % : x x Il trinomio al primo membro è il quadrato del binomio x + b! x + b # & a % c a + b 4a! x + b # & a % a, quindi: b 4ac! : x + 1 # & 4a 4 % 5 16 L espressione al primo membro è un quadrato; quindi è sempre positiva o nulla. Affinché l equazione ammetta soluzioni reali, anche la frazione al secondo membro deve essere non negativa. Poiché il denominatore della frazione è sempre positivo, il numeratore deve essere non negativo, cioè b 4ac 0. Se b 4ac 0, ci sono due valori, uno l opposto dell altro, che soddisfano l equazione. Li otteniamo estraendo la radice quadrata: x + b a ± b 4ac a : x ± 5 16 Isoliamo la x : x b a ± b 4ac a b ± b 4ac a : x 1 4 ± 5 4 Le soluzioni dell equazione sono: b b 4ac!!!!!!!!!!!x b + a b 4ac a : 3!!!!!!x 1 L espressione x b ± grado. b 4ac a viene detta formula risolutiva dell equazione di secondo IL DISCRIMINANTE E LE SOLUZIONI Chiamiamo discriminante e lo indichiamo con la lettera greca delta Δ l espressione che nella formula risolutiva è sotto radice, cioè: Δ b 4ac Risolvendo l equazione ax + bx + c 0 possono presentarsi tre casi, che dipendono dal valore del discriminante: 1. Δ > 0 : l equazione ha due soluzioni reali e distinte: b b 4ac!!!!!!!!!!!x b + a b 4ac 4x 7x 0 Δ > !!!!!!x a 3

4 . Δ 0 : l equazione ha due soluzioni reali coincidenti: x b a 4x 4x +1 0 Δ x Δ < 0 : l equazione non ha soluzioni reali. x 3x Δ < 0 non esistono soluzioni reali. LA FORMULA RIDOTTA Quando nell equazione ax + bx + c 0 il coefficiente b è un numero pari, è utile applicare una formula, detta formula ridotta. Nella formula generale, raccogliamo 4 sotto il segno di radice e poi dividiamo per numeratore e denominatore: x b ± b 4ac a dove Δ 4 b 4ac 4 b ± # b & % ( ' ac 4 b 4ac 4 a b ± b 4ac 4 a b ± Δ 4 a x x 35 0 Δ !!!!!!x ESEMPI DI RISOLUZIONE DI EQUAZIONI E PROBLEMI DI SECONDO GRADO EQUAZIONE NUMERICA INTERA Risolviamo l equazione: 3x 1 ( )( 3x + ) ( x 4) 6x ( 1+ x) Riduciamo a forma normale: 9x + 6x 3x x 6x x x 9x + 6x 3x x +16x x 6x +10 7x + 31x 38 0 Calcoliamo il discriminante: Δ > 0 Applichiamo la formula risolutiva: !!!!!!x

5 EQUAZIONE NUMERICA FRATTA Risolviamo l equazione: 3x x 1 x x x x 1 Scomponiamo i denominatori: 3x x 1 x x x x 1 ( )( x +1) Scriviamo le condizioni di esistenza: x 1 0 x 1 x +1 0 x 1 Riduciamo i due membri allo stesso denominatore: ( 3x ) ( x +1) x 1 ( ) 3( x 1) + x x 1 ( )( x +1) x x 1 ( )( x +1) Moltiplichiamo entrambi i membri per il denominatore comune e riduciamo a forma normale: ( 3x ) x +1 ( ) + x ( ) x( x 1) 3 x 1 3x + 3x x x x 3x + 3+ x 5x 5 0 Risolviamo l equazione di secondo grado pura: x 1 0 x 1 x ± 1 ±1 Le soluzioni sono: 1!e!x 1 Esse non sono compatibili con le condizioni di esistenza; pertanto l equazione data è impossibile. PROBLEMI DI SECONDO GRADO Risolviamo il seguente problema. Vogliamo piantare 1 bulbi di tulipano in un aiuola rettangolare. Per disporli in file uguali e con la condizione che il numero dei bulbi in ogni fila superi di 4 il numero delle file, quante file di bulbi dobbiamo piantare? a. Incognita: x numero di file. b. Relazioni: le file sono x, i bulbi su ogni fila sono x + 4, pertanto il numero totale di bulbi è x x + 4 ( ). c. Equazione risolvente: x x + 4 ( ) 1. d. Condizioni: x 0, poiché non è pensabile un numero negativo di file. e. Risoluzione: x x + 4 ( ) 1 x + 4x 1 0 Δ !!!!!x 5 7!!non!accettabile f. Risposta: dobbiamo piantare i bulbi su tre file. 5

6 LA SOMMA E IL PRODOTTO DELLE RADICI Data l equazione ax + bx + c 0, con Δ 0, è possibile trovare delle relazioni che legano la somma e il prodotto delle sue radici ai coefficienti a, b e c. LA SOMMA DELLE RADICI Calcoliamo la somma delle due radici: + x b b 4ac a + b + b 4ac a b a b a IL PRODOTTO DELLE RADICI Calcoliamo il prodotto delle due radici: x b b 4ac b + a b 4ac a b ( b 4ac) 4ac 4a 4a c a Data l equazione 5x 9x 0, calcoliamo la somma e il prodotto delle radici: + x b a x c a 5 5 LA SCOMPOSIZIONE DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO È dato un trinomio di secondo grado: ax + bx + c Se Δ > 0, l equazione associata ax + bx + c 0 ha due soluzioni, e x (detti anche zeri del trinomio); il trinomio può essere scomposto in fattori mediante la relazione: ax + bx + c a x Dimostrazione ( )( x x ) Raccogliamo a e utilizziamo le relazioni b a + x e c a x :! ax + bx + c a x + b a x + c # & a( x + x a % ) ( ) x + x ( ) * + a x x x x + x All interno delle parentesi raccogliamo x fra i primi due termini e x fra gli altri due termini e infine raccogliamo x ( ) x ( x ) a # x x x 1 % a x ( ), giungendo alla scomposizione voluta: ( )( x x ) Se Δ 0, il trinomio ha solo uno zero perché x ; quindi la scomposizione è la seguente: ax + bx + c a( x )( x ) a( x ) 6

7 Se Δ < 0, il trinomio non ha zeri reali e non si può scomporre in fattori reali, cioè è irriducibile. Esempi x x 1 x + 1 % '( x 1) x +1 # & 4x 1x x 3 % # & ' x 3 % # ' x 3 & ( )( x 1) 1!!!!!!x 1 ( ) x 3 x + 3x + 4 è irriducibile perché Δ 3 < 0. 3x 9 Semplificazione di una frazione algebrica: x 5x 3 3( x 3) x + 1 % ' x 3 # & ( ) 3 x +1 LE EQUAZIONI PARAMETRICHE Quando in un equazione è presente una lettera (ovviamente non l incognita) di cui si richiede il valore che rende vera una condizione, allora la lettera prende il nome di parametro e l equazione si chiama parametrica. Esaminiamo un esempio di equazione parametrica. Data l equazione parametrica di secondo grado nell incognita x : k 1 ( ) x kx + k + 3 0, con k 1 determiniamo i valori del parametro k per i quali: a. le soluzioni dell equazione sono reali: la condizione da imporre è Δ 0 : Δ 4k 4 k 1 ( )( k + 3) 4k 4k 1k + 4k +1 8k +1 Δ 0 8k +1 0 k 3 l equazione ha due soluzioni reali se k 3 b. una radice è uguale a : sostituiamo x nell equazione data: 4( k 1) + 4k + k k 1 0 k 1 9 poiché 1 9 3, il valore di k è accettabile l equazione ha una radice uguale a se k 1 9 7

8 c. la somma delle radici è uguale a 1: calcoliamo la somma delle radici con la formula + x b a e la poniamo uguale a 1: + x k k 1 k 1 k k 1 k 1 k 1 poiché 1 3, il valore di k è accettabile la somma delle radici dell equazione è uguale a 1 se k 1 d. il prodotto delle radici è uguale a 1 : calcoliamo il prodotto delle radici con la formula x c a e la poniamo uguale a 1 : x k + 3 k 1 k + 3 k 1 1 k + 6 k 1 k 7 poiché 7 3, il valore di k è accettabile il prodotto delle radici dell equazione è uguale a 1 se k 7 e. la somma dei reciproci delle radici è uguale a 6 : la somma dei reciproci delle radici è: x + x 1 b a x x c a b c la calcoliamo con questa formula e la poniamo uguale a 6 : k x k + 3 k k k 6k +18 k 9 3!!!accettabile la somma dei reciproci delle radici è uguale a 6 se k 9 f. la somma dei quadrati delle radici è uguale a 3: la somma dei quadrati delle radici è: + x + x la calcoliamo con questa formula e la poniamo uguale a 3 : x 1 + x k % ' # k 1& k + 3 k 1 4k k 6k + k + 6 k 1 ( ) x x b 1 # a ( ) 3 k 4k + 6 3k 6k + 3 k k 3 0 k 1 1 3!!!accettabile!!!!!!k 3 > 3!!!non!accettabile! la somma dei quadrati delle radici è uguale a 3 se k 1 % ' & c a 8

9 LE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO Come per le equazioni di secondo grado, esistono formule risolutive anche per le equazioni di terzo e di quarto grado ma non le esamineremo, perché troppo complesse. Ci occupiamo soltanto di metodi per la risoluzione di alcuni tipi di equazione di grado superiore al secondo. Non esistono procedimenti generali per risolvere equazioni di grado superiore al quarto. EQUAZIONI RISOLUBILI CON LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Se un equazione è scritta nella forma P x ( ) 0, dove P x ( ) è un polinomio di grado n, possiamo cercare di ottenere le soluzioni dell equazione scomponendo il polinomio in un prodotto di polinomi di grado minore di n e applicando la legge di annullamento del prodotto. Esempi x 3 3x + x 0 ( ) 0 Scomponiamo in fattori raccogliendo x : x x 3x +1 Applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo due equazioni: x 0 x 3x +1 0 x 3±1 4 Le soluzioni dell equazione di partenza sono date dall unione delle soluzioni delle due equazioni ottenute: 0!!!!!x 1!!!!!x 3 1 1x 3 4x 7x Scomponiamo in fattori utilizzando il raccoglimento parziale: 4x 3x 1 ( ) 0 ( ) 9( 3x 1) 0 ( 3x 1) 4x 9 Applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo due equazioni: 3x 1 0 x 1 3 4x 9 0 x ± 3 Le soluzioni dell equazione di partenza sono date dall unione delle soluzioni delle due equazioni ottenute: 1 3!!!!!x 3!!!!!x 3 3 x 3 3x 3x + 0 Scomponiamo in fattori utilizzando il raccoglimento parziale e la scomposizione della ( )( a ab + b ) : ( ) 3x( x +1) 0 ( x +1) ( x x +1) 3x x +1 ( )( x x 3x + ) 0 ( x +1) ( x 5x + ) 0 somma di due cubi a 3 + b 3 a + b x 3 +1 x +1 ( ) 0 Applicando la legge di annullamento del prodotto otteniamo due equazioni: x +1 0 x 1 x 5x + 0 x 5± 3 4 Le soluzioni dell equazione di partenza sono date dall unione delle soluzioni delle due equazioni ottenute: 1!!!!!x 1!!!!!x 3 9

10 LE EQUAZIONI BINOMIE Un equazione binomia è riconducibile alla forma: ax n + b 0 dove n è un numero intero positivo e a e b sono numeri reali, con a 0. Per n 1 o n l equazione è di primo o secondo grado. Negli altri casi, per risolvere l equazione basta ricavare x n e utilizzare la definizione di radice di un numero. Distinguiamo due casi. Esponente n dispari x n b a x n b a Esponente n pari x n b se# b a a 0#########allora########x ± b n & % a & se# b '& a < 0#allora#l'equazione#non#ha#soluzioni#reali Esempi x x x 3 x x x ± 3 ± x x 4 3 l equazione non ha soluzioni reali. LE EQUAZIONI TRINOMIE Un equazione trinomia è riconducibile alla forma: ax n + bx n + c 0 dove n è un numero intero positivo e a, b e c sono numeri reali, con a 0. Per trovarne le soluzioni, si pone t x n e si risolve l equazione di secondo grado in t : at + bt + c 0 Trovate le radici reali t 1 e t (se esistono), si risolvono le equazioni binomie: x n t 1 e x n t. x 6 +19x Poniamo: x 3 t x 6 x 3 ( ) t Sostituendo nell equazione otteniamo: t +19t 16 0 Risolviamo l equazione di secondo grado in t : t 1 7!!!!!t 8 Poiché x 3 t, risolviamo le due equazioni binomie: x 3 7 x 3!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x 3 8 x Le soluzioni dell equazione trinomia sono: 3!e!x 10

11 LE EQUAZIONI BIQUADRATICHE Le equazioni trinomie in cui n si chiamano biquadratiche. Quindi, un equazione biquadratica è riconducibile alla forma: ax 4 + bx + c 0 dove a, b e c sono numeri reali, con a 0. Per trovarne le soluzioni, si pone t x e si risolve l equazione di secondo grado in t : at + bt + c 0 Trovate le radici reali t 1 e t (se esistono), si risolvono le equazioni binomie: x t 1 e x t. 4x 4 17x Poniamo: x t x 4 x ( ) t Sostituendo nell equazione otteniamo: 4t 17t Risolviamo l equazione di secondo grado in t : t 1 1 4!!!!!t 4 Poiché x t, risolviamo le due equazioni binomie: x 1 4 x ± 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x 4 x ± Le soluzioni dell equazione trinomia sono: 1,x 1,x 3 ex 4 I SISTEMI DI SECONDO GRADO Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni nelle stesse incognite; l insieme delle soluzioni è l intersezione delle soluzioni delle singole equazioni. Un sistema ha soluzione se e solo se esiste almeno una soluzione comune. Poiché il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni, un sistema di secondo grado può contenere una sola equazione di secondo grado e le altre devono essere di primo grado. I SISTEMI DI DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Per risolvere questi sistemi si utilizza, in generale, il metodo di sostituzione: si ricava un incognita dall equazione di primo grado e si sostituisce in quella di secondo grado. In generale, un sistema di secondo grado, che non sia indeterminato, può avere due, una o nessuna soluzione; ogni soluzione è una coppia ordinata di numeri reali. x y 0 Risolviamo il sistema: # x + 6y

12 Ricaviamo l incognita y nella prima equazione e sostituiamo nella seconda: y x # % x + 6( x) 9 0 # y x y x y x # # % x + 4x 9 0 % 5x 9 0 x ± 3 % 5 Sostituiamo nella prima equazione i valori della x trovati e otteniamo: y 1 6 y 6 5 # 3!!!!!!!!!!e!!!!!!!!!! 5 # % x 3 5 % 5 Il sistema ha per soluzioni le coppie ordinate di valori: 3 5 ; 6 % 3 '!e! # 5& 5 ; 6 % '. # 5& I SISTEMI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE x + y + z 0 Risolviamo il sistema: # x y 1 % x + xy z 0 Ricaviamo l incognita y nella seconda equazione e sostituiamo nelle altre due: x + x 1+ z 0 # y x 1 % x + x x 1 ( ) z 0 x 1+ z 0 # y x 1 % x x z 0 Ricaviamo l incognita z nella prima equazione e sostituiamo nella terza: z 1 x z 1 x z 1 x # y x 1 # y x 1 # y x 1 % x x 1+ x 0 % x + x 1 0 x 1± 3 1, 1 % 4 Sostituiamo nella prima e nella seconda equazione i valori della x trovati e otteniamo: z z # y 1 1 1!!!!!!!!!!e!!!!!!!!!! # y % 1 x 1 % 1 Il sistema ha per soluzioni le terne ordinate di valori: ( 1; ;3 )!e! ; 1 # ;0 % '. & 1

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