( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) =

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1 1 Scomposizione in fattori di un polinomio Scomporre in fattori un polinomio significa trasformare il polinomio, che è una somma algebrica di monomi, nel prodotto di fattori con il grado più basso possibile. Le tecniche per scomporre un polinomio in fattori sono molte, ma vediamo i più comuni: Raccoglimento a fattor comune Se tutti i termini del polinomio hanno uno o più fattori in comune, si applica al contrario la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione e si scrive il polinomio come moltiplicazione dei fattori comuni per il quoziente che si ottiene dividendo il polinomio per tali fattori Questo procedimento è chiamato mettere in evidenza o raccogliere i fattori comuni Es. Scomporre il polinomio 3xy + 9ax I due termini hanno in comune 3x ( che è il loro M.C.D. ) che si mette in evidenza: 3x y + 3a Es. Scomporre il polinomio 4a 2 x 2 8ax 3 + 2a 2 x 6ax I quattro termini hanno in comune 2ax ( che è il loro M.C.D. ) che si mette in evidenza 2ax 2ax 4x 2 + a 3 Scomponi i seguenti polinomi 8x 2 y 2x = 6xy 2 4x 2 +10xy = 3a x + y b( x + y) = 8a 4 b 2 + 4a 3 b 2 + a 2 b 2 = a + b x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = a 5 3a 2 + 4a 2 b = x 3 2x 2 + 6x = a 2 x 2 + ax 4 + a 2 x 3 = 3a 2 9ab +12a = x a b + ( a b) = a( 4x + 7) = + 3a( 2 5y) = 2 + 3( a + b) = + b( x 1) = 4x y a + b a x 1

2 2 Raccoglimento parziale a fattore comune Quando non è possibile il raccoglimento totale fra tutti i termini, si può tentare di raccogliere in maniera parziale e successivamente effettuare un raccoglimento totale. Es. Scomponi in fattori il polinomio: ab + b + 3a + 3 = Osserviamo che la lettera b compare solo nel primo e nel secondo termine e il numero 3 nel terzo e nel quarto. Raccogliamo quindi b nei primi due termini e 3 negli ultimi due: Raccogliamo ancora a +1 b( a +1) + 3( a +1) = : ( a +1) ( b + 3) Es. Scomponi in fattori il polinomio: ax + bx ay by Possiamo mettere in evidenza x nei primi due termini e y negli ultimi due : Raccogliamo ancora a + b ( a + b) x y( a + b) = : ( a + b) ( x y) Es. Scomponi in fattori il polinomio: ax + ay x y = Nei primi due termini mettiamo in evidenza la a; nel terzo e nel quarto termine mettiamo in evidenza il segno meno Raccogliamo ancora x + y a( x + y) ( x + y) = ( x + y) ( a 1) Scomponi i seguenti polinomi ax + bx + ay + by + 2a + 2b = 4xy + 6y +10x 2 +15x 6ax 8by 3a + 4b = ax + 2x + 3a + 6 = 3x + 6 ax 2a = 5ax + 5bx + ay + by = ax + x + a 2 + a = x 3 + x 2 + x +1= 2ax + 2x ay y = 2ax 2 + 2ax x 1= ax ay + x y = ab a 2b + 2 = ax 2bx a + 2b = x 1 ax + a = 3x 3 6x 2 + 5x 10 = 3a 3b a 2 + ab + ay by = ax 2y + 2y ay =

3 3 Differenza di due quadrati Se il polinomio è la differenza di due quadrati, si possono ricavare i due fattori applicando al contrario il prodotto notevole della somma di due monomi per la loro differenza a 2 b 2 = a + b ( a b) Attenzione: La somma di due quadrati, del tipo a 2 + b 2, non si può mai scomporre in fattori. Sono irriducibili i binomi come a 2 +1; y ; Es. 4x 2 25y 2 = ( 2x + 5y) ( 2x 5y) Differenza di due quadrati = Somma per differenza Es. a 2 4b 2 = ( a + 2b) ( a 2b) Scomponi i seguenti polinomi: b 2 9x 2 = x 4 y 4 = x 2 1= a 2 b 4 9c 4 = 4b 2 81= x 4 49 = 9x y2 = 1 4 x2 1= x 4 49 = 1 25 x8 1 9 x 8 1= 1 16 x 4 = a 4 b 4 1= y2 = 64 9 x y2 = 9 x 2 y 2 = 4x 4 9y 4 =

4 4 Trinomio scomponibile nel quadrato di binomio: Se il polinomio ha tre termini ( trinomio ) di cui due sono quadrati e l altro è il giusto doppio prodotto, si applica al contrario il prodotto notevole del quadrato di binomio: a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b) 2 Quadrato doppio prodotto Quadrato Es. Scomponi in fattori il seguente trinomio: E un trinomio: 4x 2 +12xy + 9y 2 quadrato di 2x doppio prodotto di 2 ( 2x) ( 3y) quadrato di 3y Attenzione: I quadrati devono essere sempre positivi Es. Scomponi in fattori il seguente trinomio: E un trinomio: 9x 2 6x +1 = ( 3x 1) 2 quadrato di 3x quadrato di 1 doppio prodotto di 2 ( 3x) ( 1) Scomponi i seguenti polinomi: a 4 2a 2 b 2 + b 4 = 6a 4 6a 2 b + b 2 = 4a 2 20ab + 25b 2 = 9a 2 42ab + 49 = x 4 6x 3 y + 9x 2 y 2 = 36x 2 12xy + y 2 = 16a 6 +8a 3 +1= a 6 2a 3 b 5 + b 10 = a 2 +8ax +16x 2 = 4x x = 25a 4 b 2 10a 2 bc 2 + c a ab b2 a a2 x x2 =

5 5 Polinomio scomponibile nel quadrato di un trinomio. Se il polinomio ha sei termini, di cui tre sono quadrati positivi e tre sono gli esatti doppi prodotti, si applica al contrario il prodotto notevole del quadrato di un trinomio. a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = tre quadrati tre doppi prodotti = ( a + b + c) 2 Es. Scomporre il polinomio a 2 + 9b 2 + 4c 2 6ab 4ac +12bc Il polinomio ha sei termini di cui i primi tre sono quadrati : a 2 = ( a ) 2 ; 9b 2 = ( 3b) 2 ; 4c 2 = ( 2c) 2 Gli altri tre sono i giusti doppi prodotti: 2( a) ( 3b) ; 2( a) ( 2c) ; 2( 3b) ( 2c) Quindi : a 2 + 9b 2 + 4c 2 6ab 4ac +12bc = ( a 3b 2c) 2 Es. Scomporre il polinomio 25x 2 + y xy 10x 2y Il polinomio ha sei termini di cui i primi tre sono quadrati : 25x 2 = ( 5x) 2 ; y 2 = ( y) 2 ; 1= ( 1) 2 Gli altri tre sono i giusti doppi prodotti: 2( 5x) ( y) ; 2( 5x) ( 1) ; 2( y) ( 1) Quindi : 25x 2 + y xy 10x 2y = ( 5x + y 1) 2 Scomponi i seguenti polinomi: 4x 2 + y 2 + z 2 + 4xy + 4xz + 2yz = a 2 + b 2 + c 2 2ab 2ac + 2bc = a 2 + 4b 2 + x 2 4ab + 2ax 4bx = a 4 + b 2 + c 4 + 2a 2 b 2a 2 c 2 2bc 2 = a 8 + a a 5 4a 4 4a = 16a 2 + 9a 4 b 2 + 4b a 3 b 16ab 2 12a 2 b 3 = 9x 4 +16a 2 x 2 + a 6 24ax 3 6a 3 x 2 +8a 4 x = a b2 + 4c 2 ab 4ac + 2bc = 9 4 x2 + x 2 y 2 + 4y 4 + 3x 2 y + 6xy 2 + 4xy 3 =

6 6 Quadrinomio scomponibile nel cubo di binomio: Se il polinomio ha quattro termini, di cui due sono cubi e due sono gli esatti tripli prodotti, si applica al contrario il prodotto notevole del cubo di binomio. Tripli prodotti a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = Cubi = ( a + b) 3 Es. Scomporre il polinomio 27x 3 54x x 8 Il polinomio ha quattro termini di cui il primo e l ultimo sono cubi : 27x 3 = ( 3x) 3 ; 8 = ( 2 ) 3 Gli altri due sono i giusti tripli prodotti : 54x 2 = 3( 3x) 2 ( 2) ; +36x = 3( 3x) ( 2) 2 Quindi : 27x 3 54x x 8 = ( 3x 2) 3 Es. Scomporre il polinomio 8x 3 12x 2 + 6x 1 Il polinomio ha quattro termini di cui il primo e l ultimo sono cubi : 8x 3 = ( 2x) 3 ; 1= ( 1) 3 Gli altri due sono i giusti tripli prodotti : 12x 2 = 3( 2x) 2 ( 1) ; +6x = 3( 2x) ( 1) 2 Quindi : 8x 3 12x 2 + 6x 1 = ( 2x 1) 3 Scomponi i seguenti polinomi: 27a 3 x a 2 x 2 + 9ax +1= 8 12a + 6a 2 a 3 = 27x x x +8 = x 3 y 3 6x 2 y 2 +12xy 8 = a 6 b 3 6a 4 b 2 +12a 2 b 8 = a 9 6a 6 b 2 +12a 3 b 6 8b 9 = a 3 + 3a 2 b 3ab 2 + b 3 = 1+ 3x 2 + 3x 4 + x 6 = 8x 3 12x 2 + 6x 1=

7 7 Scomposizione del trinomio notevole Chiamiamo trinomio notevole o trinomio particolare un polinomio nella forma : Dove A e B sono due numeri. x 2 + ( A + B) x + A B Il trinomio notevole è: Di secondo grado rispetto ad una lettera; Ha il primo coefficiente, cioè il coefficiente di x 2 sempre uguale a 1; Ha il secondo coefficiente, cioè il coefficiente di x uguale alla somma di due numeri A e B; Ha il terzo coefficiente, cioè il termine noto, uguale al prodotto dei due numeri A e B; Es. Scomporre il polinomio x 2 5x 14 Dobbiamo trovare, per tentativi, due numeri la cui somma sia ( 5) e il cui prodotto sia ( 14) cioè: x 2 5x 14 somma prodotto " S = 5 # $ P = 14 i due numeri sono : ( +2)e( 7) Quindi la scomposizione sarà: x 2 5x 14 = ( x + 2 )( x 5) Es. Scomporre il polinomio a 2 + 5a + 6 Dobbiamo trovare, per tentativi, due numeri la cui somma sia +5! S = +5 " # P = +6 i due numeri sono: ( +2)e ( +3) Quindi la scomposizione sarà: a 2 + 5a + 6 = ( x + 2) ( x + 3) Scomponi i seguenti polinomi: x 2 + 9x +8= x 2 9x +8 = x 2 7x +10 = a 2 8a +15 = x 2 15x + 36 = x 2 11x + 30 = a 2 a 20 = x 2 10x +16 = a 2 15a 16 e il cui prodotto sia ( +6) cioè:

8 8 Scomposizione con la regola di Ruffini Se con i metodi precedenti non si riesce a scomporre il polinomio, si può tentare di utilizzare la regola di Ruffini, secondo il procedimento descritto nell esempio. Es. Scomporre il polinomio x 3 6x 2 + 4x +1 Si considerano tutti i divisori del termine noto +1: essi sono : ±1 Per tentativi si controlla se uno di essi, sostituito alla x nel polinomio, lo annulla: Sostituiamo Sostituiamo +1 Poiché P +1 ( 1) P( 1) = ( 1) 3 6( 1) 2 + 4( 1) +1= = 10 0 P ( +1) = ( +1) 3 6 ( +1) ( +1) +1= = 0 = 0, il polinomio è divisibile per x 1 Usando lo schema della divisione di Ruffini, si esegue la divisione La scomposizione sarà : x 3 6x 2 + 4x +1 = ( x 1) ( x 2 5x 1) Es. Scomporre il polinomio x 3 + 6x 2 +11x + 6 Si considerano tutti i divisori del termine noto +6: essi sono : ±1; ±2 ; ±3 ; ±6 Per tentativi si controlla se uno di essi, sostituito alla x nel polinomio, lo annulla: Cominciamo con il più piccolo, cioè sostituiamo 1 Poiché P 1 P( 1) = ( 1) 3 + 6( 1) 2 +11( 1) + 6 = = 0 = 0, il polinomio è divisibile per ( x +1) Usando lo schema della divisione di Ruffini, si esegue la divisione La scomposizione sarà : ( x +1) x 2 + 5x in x + 2 Possiamo ulteriormente scomporre il trinomio notevole x 2 + 5x + 6 ( x + 3) Pertanto il nostro polinomio di partenza x 3 + 6x 2 +11x + 6 potrà essere scritto come: ( x +1) ( x + 2) ( x + 3)

9 9 Osservazioni: In generale si può dire che la scomposizione di un polinomio, con la regola di Ruffini, non è sempre possibile e, ammesso sia possibile, a volte è difficile determinare il divisore. Per facilitare i tentativi di ricerca del divisore ( radice ) ricordiamo le seguenti regole: Dato un polinomio a coefficienti interi, le eventuali radici intere del polinomio sono da ricercare tra i divisori, positivi e negativi, del suo termine noto, quando il coefficiente di grado massimo è uguale a 1 Se il coefficiente di grado massimo del polinomio è diverso da 1, tra le eventuali radici razionali vi possono essere numeri non interi che si possono ricercare fra le frazioni che hanno per numeratore i divisori del termine noto e per denominatore i divisori del coefficiente di grado massimo Es. Determina le radici del polinomio: x 3 x 6 Poiché Il coefficiente della x di grado massimo è 1 le eventuali radici sono da ricercare, per tentativi, tra i divisori, positivi e negativi del temine noto cioè: D (6) = ±1; ±2 ; ±3 ; ±6 Es. Determina le radici del polinomio: 6x 2 2x 1 In questo caso il coefficiente della x di grado massimo è diverso da 1 e allora le radici sono da ricercare tra i numeri : ±1; ± 1 2 ; ± 1 3 ; ± 1 6 Frazioni che hanno per numeratore i divisori del termine noto e per denominatore i divisori del coefficiente della x di grado maggiore Osservazioni importanti Quando la somma dei coefficienti del polinomio è uguale a zero il numero 1 è senz altro una radice del polinomio che risulterà divisibile per Es. Nel polinomio 8x 3 +17x 25 i coefficienti 8, per x 1 17, - 25, danno per somma zero, quindi il polinomio è divisibile Es. Se invece la somma dei coefficienti dei termini di grado pari di un polinomio è uguale alla somma dei coefficienti dei termini di grado dispari, allora il numero - 1 è una radice del polinomio che sarà divisibile per Nel polinomio 2x 4 +8x 3 + 4x 2 + 3x + 5 si ha : La somma dei coefficienti di grado pari sono =11 che è uguale alla somma dei coefficienti di grado dispari cioè 8+3 = 11 Quindi il polinomio è divisibile per x +1

10 10 Il polinomio è la somma di due cubi: La scomposizione è basata sulle formule : x 3 + y 3 = ( x + y) ( x 2 xy + y 2 ) quadrato della seconda base somma delle basi prodotto delle basi con segno meno quadrato prima base Es. Scomponi a 3 +8 Si tratta della somma di due cubi che sarà uguale : somma delle basi ( a + 2) quadrato della prima base + a 2 prodotto negativo delle basi - 2a quadrato della seconda base quindi la scomposizione sarà: a + 2 a 2 2a + 4 Il polinomio è la differenza di due cubi: La scomposizione è basata sulle formule : x 3 y 3 = ( x y) ( x 2 xy + y 2 ) Differenza delle basi quadrato seconda base Prodotto delle basi con segno + Quadrato prima base Es. Scomponi 1 x 3 Si tratta della differenza di due cubi che sarà uguale : differenza delle basi ( 1 x) quadrato della prima base ( 1 ) 2 =1 prodotto delle basi con segno positivo 1 quadrato della seconda base x 2 - quindi la scomposizione sarà: Scomponi i seguenti polinomi : 27a 3 x 3 = x 3 a 3 b 6 = a 6 b 3 1= 8a 3 +1= 27+ x 6 = x 6 1= ( x) = +x ( 1 x) ( 1+ x + x 2 )

11 11 M.C.D. e m.c.m di polinomi Per determinare il M.C.D e il m.c.m di polinomi si esegue il seguente procedimento: 1. si scompongono in fattori tutti i polinomi; 2. Per il M.C.D. si prendono i fattori comuni con il minor esponente; 3. Per il m.c.m. si prendono i fattori comuni e non, con il massimo esponente Es. Trova il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi: Per prima cosa scomponiamo in fattori: x 2 + 5x + 4 x 2 +8x +16 x 2 + 4x x 2 + 5x + 4 è un trinomio particolare che sarà uguale ( x +1) ( x + 4) x 2 +8x +16 è lo sviluppo del quadrato di binomio ( x + 4) 2 x 2 + 4x raccogliamo a fattor comune la x e si otterrà x( x + 4) Il M.C.D. è ( x + 4) che rappresenta il polinomio comune Il m.c.m. è x( x +1) ( x + 4) 2 dato dai tutti i fattori comuni e non, con il maggiore esponente Es. Trova il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi: x 2 9 2x 2 +12x +18 3x 3 81 Per prima cosa scomponiamo in fattori: x 2 9 è la differenza di due quadrati quindi : ( x 3) ( x + 3) 2x 2 +12x +18 raccogliamo a fattor comune 2 x 2 + 6x + 9 binomio e quindi si avrà 2( x + 3) 2 3x 3 81 raccogliamo a fattore comune il 3 e si avrà: 3 x 3 27 quindi si avrà 3( x 3) x 2 + 3x + 9 Il M.C.D. è ( x 3) che rappresenta il polinomio comune Il m.c.m. è 2 3( x 3) ( x + 3) 2 x 2 + 3x + 9 il trinomio in parentesi è lo sviluppo del quadrato di il binomio dentro parentesi è la differenza di due cubi e dato dai tutti i fattori comuni e non, con il maggiore esponente Trova il M.C.D. e il m.c.m dei seguenti polinomi a 2 b 2 ; a + b a 3 b 3 ; a 2 ab x 2 3x 4 ; x 4 a 3 b 3 ; 3a 2 6ab + 3b 2 ; 3b 3 3a 2 x 2 x + ax a ; x 2 1 ; x 2 + 2ax + a 2 x 2 + x 2 ; x 3 3x + 2 ; x 4 4x 2