Scomposizioni polinomiali

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1 Scomposizioni polinomiali Le scomposizioni polinomiali sono uno degli argomenti fondamentali di tutta l'algebra di scuola superiore, essendo utilizzate in ogni altro argomento del programma di seconda e dei programmi di matematica per le classi successive. Saper scomporre un polinomio è essenziale per calcolare il MCD ed il mcm tra polinomi, per sommare o sottrarre frazioni algebriche, per affrontare e risolvere equazioni e disequazioni frazionarie. La scomposizione di polinomi è, per grandi linee, molto simile alla scomposizione tra numeri, sia come logica di esecuzione, sia come obiettivi che tali scomposizioni si propongono. Scomporre un numero in fattori voleva dire scriverlo sotto forma di prodotto di altri numeri, se poi questi numeri erano tutti numeri primi allora si parlava di scomposizione in fattori primi o fattorizzazione. Per controllare la correttezza di una scomposizione era sufficiente effettuare la moltiplicazione contraria. : quindi la scomposizioni in fattori primi del numero 60 è 2 2 * 3 * 5. Per controllare che tale scomposizione è corretta è sufficiente verificare che 2 2 * 3 * 5 = 60. Le stesse definizioni e lo stesso meccanismo vengono utilizzati per scomporre i polinomi. L'unica, ma fondamentale, differenza sta nel fatto che mentre per scomporre i numeri esiste solo il procedimento delle divisioni successive, per scomporre i polinomi esistono molti metodi diversi. Davanti ad un polinomio da scomporre, quindi, la prima cosa da capire è quale o quali metodi possono essere utilizzati, e quali, invece, non vanno bene. In conclusione, nelle scomposizioni polinomiali, non solo è importante capire ed imparare i procedimenti di scomposizione, ma è altrettanto fondamentale saper riconoscere quali metodi sono applicabili e quali no per scomporre un determinato polinomio. Nel corso di queste lezioni vedremo sei dei molti metodi diversi per scomporre polinomi. Per ognuno di essi vedremo quali sono i criteri di applicabilità e come funziona il procedimento di scomposizione. Prestare molta attenzione alla differenza che c'è tra le due scritture: 3 * 5 = 15 e 15 = 3 * 5 seppur apparentemente queste due espressioni sembrano indicare la stessa cosa, è importante osservare che la prima (3 * 5 = 15) ha come dati 3 e 5 e come risultato 15, risulta pertanto essere

2 una moltiplicazione. Mentre la seconda (15 = 3 * 5) è, come abbiamo visto, una scomposizione. RACCOGLIMENTO TOTALE Il metodo del raccoglimento totale è uno dei metodi più semplici, ed anche i suoi criteri di applicabilità non sono eccessivamente complicati. Criteri di applicabilità Un polinomio è scomponibile con il metodo del raccoglimento totale se tutti i monomi che lo compongono presentano almeno un termine comune. : 3a 2 + 2a è formato da due monomi che hanno in comune la lettera a. 5ab 2 + 3a 2 b 3 è formato da due monomi che hanno in comune le lettere a e b. 15xy 3x è formato da due monomi che hanno in comune il fattore 3 e la lettera x. 2a + 3b è formato da due monomi che non hanno fattori in comune. Per quanto descritto nei criteri di applicabilità solo i primi tre monomi dell'esempio sono scomponibili con il metodo del raccoglimento totale. Il quarto, non avendo termini comuni, non può essere scomposto con questo metodo. Procedimento Una volta appurato che il polinomio è scomponibile con il metodo del raccoglimento totale, è necessario procedere alla sua scomposizione: Scegliere tutti i fattori comuni prendendoli con il minimo esponente Scrivere il polinomio residuo in modo tale che torni la moltiplicazione Esempi 3a 2 + 2a = a(3a + 2) dove a è il fattore comune preso con il minimo esponente e (3a + 2) è il polinomio residuo che moltiplicato per a mi restituisce il polinomio di partenza. 5ab 2 + 3a 2 b 3 = ab 2 (5 + 3b) a e b sono i fattori comuni ma la b ha come esponente minimo 2, per cui il termine raccolto è ab 2 ; (5 + 3b) è il polinomio residuo che moltiplicato per ab 2 mi restituisce il polinomio di partenza. 15xy 3x = 3x(5y 1) 3 e x sono i fattori comuni (ricorda che 15 = 3 * 5); (5y 1) è il polinomio residuo che moltiplicato per 3x mi restituisce il polinomio di partenza. Osservazioni Gli esempi precedenti sono i casi più semplici di applicazione del metodo di raccoglimento totale. Essi, infatti, lavorano su polinomi semplici, per i quali è abbastanza facile individuare i termini comuni e, quindi, costruire il polinomio residuo. Il metodo di raccoglimento totale può essere applicato anche per scomporre polinomi che si presentano in forme meno semplici, per le quali è un po' più difficile individuare termini comuni e polinomi residui.

3 Scomporre il seguente polinomio a(b + 1) 3 + b(b + 1) 2 - c(b + 1) 2 Per prima cosa osserviamo che il polinomio non è del tipo degli esempi precedenti (infatti non possiamo dire che sia un binomio, trinomio, quadrinomio ecc.). Per poter scomporre correttamente il polinomio è necessario saper contare da quanti oggetti è formato il polinomio. Gli oggetti sono quelle espressioni polinomiali che sono legate al resto dell'espressione tramite segni di addizione e sottrazione. Nel nostro esempio abbiamo quindi 3 oggetti: a(b + 1) 3 b(b + 1) 2 c(b + 1) 2 questo oggetto è formato da due fattori questo oggetto è formato da due fattori questo oggetto è formato da due fattori E' evidente che, una volta individuati oggetti e rispettivi fattori, possiamo individuare quali sono i fattori comuni con il minimo esponente e raccoglierli a fattor comune. In questo caso il fattore (b+1) 2 è il fattore che va raccolto. Il calcolo del polinomio residuo procede come negli esempi precedenti per cui avremo: a(b + 1) 3 + b(b + 1) 2 - c(b + 1) 2 = (b + 1) 2 (a(b + 1) + b - c) RACCOGLIMENTO PARZIALE Consideriamo il seguente polinomio ax + 2x + ay + 2y E' abbastanza evidente che il metodo del raccoglimento totale, studiato in precedenza, non è applicabile per la sua scomposizione. Non è verificato infatti il criterio di applicabilità che richiede la presenza di almeno un termine comune a tutti i monomi che lo compongono. Si può verificare che il primo monomio (ax) ed il quarto monomio (2y) non hanno alcun fattore comune. Su tale polinomio possiamo, invece applicare un altro metodo di raccoglimento che si chiama parziale. Raccolgo il fattore x tra il primo ed il secondo monomio, ed il fattore y tra il terzo ed il quarto monomio. Dopo aver costruito i rispettivi polinomi residui otterremo: x(a + 2) + y(a + 2) A questo punto osserviamo che l'espressione non è una scomposizione in quanto non è un prodotto tra polinomi. Osservando meglio, però, possiamo raccogliere ancora il fattore comune (a+2) ottenendo (a + 2)(x + y) che risulta essere la scomposizione definitiva del polinomio da cui siamo partiti. In base a questo esempio possiamo dedurre quelli che sono i criteri di applicabilità del metodo di raccoglimento parziale.

4 Criteri di applicabilità Un polinomio è scomponibile con il metodo del raccoglimento parziale se: 1. E' formato da un numero pari di monomi (almeno 4). 2. E' necessario che dopo il primo raggruppamento a coppie tutti i termini presentino un fattore comune da raccogliere ulteriormente. 3. Prima di escludere l'applicabilità del metodo è necessario abbinare i monomi in tutti i modi possibili. Il criterio 1 è abbastanza intuibile e non richiede ulteriori spiegazioni. Per comprendere il criterio 2 è necessario vedere un esempio. Consideriamo il seguente polinomio da scomporre ax + 2x + ay + 3y Raccolgo il fattore x tra il primo ed il secondo monomio, ed il fattore y tra il terzo ed il quarto monomio. Dopo aver costruito i rispettivi polinomi residui otterremo: x(a + 2) + y(a + 3) A questo punto possiamo osservare che, a differenza dell'esempio precedente, non c'è alcun fattore da raccogliere, e quindi il metodo non può essere portato a termine. Anche per ciò che afferma il criterio 3 è necessario vedere un esempio. Consideriamo il seguente polinomio da scomporre ax + 2x + ay + 2y Abbiamo già visto che raggruppando il primo monomio con il secondo, ed il terzo con il quarto riusciamo a portare a termine la scomposizione. Tuttavia dobbiamo osservare che i possibili modi per raggruppare a due a due i monomi di un quadrinomio sono in tutto 3. Primo modo Secondo modo Terzo modo Il primo modo lo abbiamo già verificato. Andiamo a vedere se raggruppando con il secondo modo riusciamo lo stesso a portare a termine la scomposizione. Raccolgo il fattore a tra il primo ed il terzo monomio, ed il fattore 2 tra il secondo ed il quarto monomio. Dopo aver costruito i rispettivi polinomi residui otterremo: a(x + y) + 2 (x + y) A questo punto osserviamo che l'espressione non è una scomposizione in quanto non è un prodotto tra polinomi. Osservando meglio, però, possiamo raccogliere ancora il fattore comune (x+y) ottenendo (a + 2)(x + y) Possiamo quindi concludere che anche il secondo modo di raggruppare mi porta a concludere la scomposizione. Il terzo modo non è, in questo esempio, applicabile in quanto il primo ed il quarto monomio non hanno fattori comuni. In definitiva questo terzo criterio mi dice che prima di abbandonare il metodo è necessario verificare se è applicabile provando tutti i modi di raggruppamento possibili.

5 QUADRATO DI BINOMIO Questo metodo di scomposizione si basa sul prodotto notevole quadrato di binomio di cui ricordiamo lo sviluppo: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Tale regola dice che il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il quadrato del secondo termine, più il doppio prodotto dei due termini. Il quadrato di un binomio è, quindi, sempre un trinomio. Vediamo un esempio di applicazione del prodotto notevole (3x + 2y) 2 = 9x 2 + 4y xy Quindi tutte le volte che nel corso di un'espressione si incontra il quadrato di un binomio è possibile calcolarlo e scriverlo sotto forma di un trinomio. Leggendo la regola al contrario (da destra a sinistra) possiamo osservare che ogni volta che è necessario scomporre un trinomio è possibile andare a verificare se il trinomio da scomporre possa essere un quadrato di binomio. Affinchè ciò accada è necessario che il polinomio da scomporre soddisfi alcuni criteri che, come per ogni altro metodo di scomposizione, vengono definiti criteri di applicabilità. Criteri di applicabilità 1. Il polinomio da scomporre deve essere un trinomio. 2. Due dei tre termini che costituiscono il polinomio da scomporre devono essere quadrati. 3. Se ci sono i due quadrati, l'altro termine deve essere il doppio del prodotto delle basi dei due quadrati. E' facile osservare che i tre criteri sono dettati direttamente dalla regola del prodotto notevole letta da destra verso sinistra. Esempi 3x + 2y: il polinomio non è un trinomio e quindi, in base al criterio 1, non può essere scomposto con il metodo del quadrato di binomio. 3x + 4y 2 + 7xy: il polinomio, pur essendo un trinomio, non presenta due quadrati tra i suoi tre termini e quindi, in base al criterio 2, non può essere scomposto con il metodo del quadrato di binomio. x 2 + y 2 + 5xy: il polinomio è un trinomio e due dei suoi tre termini sono dei quadrati. La base del termine x 2 è x mentre la base del termine y 2 è y. Il doppio prodotto delle due basi è 2xy, mentre il terzo termine del polinomio da scomporre è 5xy. Possiamo concludere che, in base al criterio 3, il polinomio non può essere scomposto con il metodo del quadrato di binomio. 9x 2 + 4y xy: il polinomio è un trinomio e due dei suoi tre termini sono dei quadrati. La base del termine 9x 2 è 3x mentre la base del termine 4y 2 è 2y. Il doppio prodotto delle due basi è 2(3x) (2y) = 12xy, il terzo termine del polinomio da scomporre è proprio 12xy. Possiamo concludere che il polinomio può essere scomposto con il metodo del quadrato di binomio.

6 9x 2 + 4y xy = (3x + 2y) 2 Mentre i due quadrati devono per forza essere sempre positivi, può accadere che il doppio prodotto sia negativo. In tal caso è sufficiente scrivere il binomio di base come differenza invece che come somma. 36a 4 + b 2-12a 2 b: il polinomio è un trinomio e due dei suoi tre termini sono dei quadrati. La base del termine 36a 4 è 6a 2 mentre la base del termine b 2 è b. Il doppio prodotto delle due basi è 2(6a 2 )(b) = 12a 2 b, il terzo termine del polinomio da scomporre è invece proprio -12a 2 b. Possiamo concludere che il polinomio può essere scomposto con il metodo del quadrato di binomio. 36a 4 + b 2 12a 2 b = (6a 2 b) 2 oppure (b 6a 2 ) 2 Ricordiamo che siamo interessati a scomporre i polinomi in fattori primi per cui ogni volta che terminiamo una scomposizione è necessario chiedersi se tutti i fattori ottenuti sono primi oppure se è possibile scomporli ulteriormente. 2a 2 + 2b 2 + 4ab: il polinomio presenta il fattore 2 che è comune a tutti i monomi che lo compongono per cui è possibile applicare il metodo del raccoglimento totale. 2a 2 + 2b 2 + 4ab = 2(a 2 + b 2 + 2ab) A questo punto dobbiamo chiederci se i due fattori ottenuti sono primi o ulteriormente scomponibili. E' abbastanza chiaro che il fattore 2 è un numero primo e quindi non si può più scomporre, mentre il polinomio a 2 + b 2 + 2ab rispetta i 3 criteri del metodo del quadrato di binomio e può essere scritto quindi come (a + b) 2 In conclusione avremo 2a 2 + 2b 2 + 4ab = 2(a 2 + b 2 + 2ab) = 2(a + b) 2 che è una scomposizione in fattori primi. DIFFERENZA DI QUADRATI Anche questo metodo di scomposizione si basa su un prodotto notevole detto somma per differenza di cui ricordiamo lo sviluppo: (a + b)(a b) = a 2 b 2 Tale regola dice che la somma per la differenza di due monomi è uguale alla differenza dei quadrati dei due monomi. La somma per differenza è, quindi, sempre un binomio. Vediamo un esempio di applicazione del prodotto notevole

7 (3x + 2y)(3x 2y) = 9x 2 4y 2 Quindi tutte le volte che nel corso di un'espressione si incontra una somma per differenza è possibile calcolarla e scriverla sotto forma di un binomio. Leggendo la regola al contrario (da destra a sinistra) possiamo osservare che ogni volta che è necessario scomporre un binomio è possibile andare a verificare se il binomio da scomporre possa essere scritto come somma per differenza. Affinchè ciò accada è necessario che il polinomio da scomporre soddisfi alcuni criteri che, come per ogni altro metodo di scomposizione, vengono definiti criteri di applicabilità. Criteri di applicabilità 1. Il polinomio da scomporre deve essere un binomio. 2. I due termini che costituiscono il polinomio da scomporre devono essere quadrati. 3. I due termini che costituiscono il polinomio devono essere discordi (di segno opposto). E' facile osservare che i tre criteri sono dettati direttamente dalla regola del prodotto notevole letta da destra verso sinistra. Esempi 3x + 2y - 5z: il polinomio non è un binomio e quindi, in base al criterio 1, non può essere scomposto con il metodo della differenza di quadrati. 4y 2 + 7xy: il polinomio, pur essendo un binomio, non è costituito da due quadrati e quindi, in base al criterio 2, non può essere scomposto con il metodo della differenza di quadrati. x 2 + y 2 : il polinomio è un binomio ed è costituito da due quadrati, ma essi risultano essere entrambi di segno positivo (concordi). Possiamo concludere che, in base al criterio 3, il polinomio non può essere scomposto con il metodo della differenza di quadrati. 9x 2 4y 2 : il polinomio è un binomio, i suoi due termini sono dei quadrati e risultano essere discordi. La base del termine 9x 2 è 3x mentre la base del termine 4y 2 è 2y. Possiamo concludere che il polinomio può essere scomposto con il metodo della differenza di quadrati. 9x 2 4y 2 = (3x + 2y)(3x 2y) Il fatto di richiedere che i due monomi siano discordi implica che può benissimo accadere che il primo monomio sia negativo ed il secondo sia positivo. In tal caso è necessario far attenzione a come si scrive la scomposizione, ricordando che mentre l'addizione è un'operazione commutativa, la sottrazione non lo è. 36a 4 + b 2 : il polinomio rispetta i tre criteri richiesti per essere scomposto con il metodo della differenza di quadrati. La base del termine 36a 4 è 6a 2 mentre la base del termine b 2 è b. La sua

8 scomposizione sarà: 36a 4 + b 2 = ( 6a 2 + b)(6a 2 + b) In ogni caso è opportuno ricontrollare la correttezza dei segni della scomposizione effettuando la moltiplicazione al contrario. Ricordiamo ancora una volta che siamo interessati a scomporre i polinomi in fattori primi per cui ogni volta che terminiamo una scomposizione è necessario chiedersi se tutti i fattori ottenuti sono primi oppure se è possibile scomporli ulteriormente. ax 2 ab 2 : il polinomio presenta il fattore a che è comune a tutti i monomi che lo compongono per cui è possibile applicare il metodo del raccoglimento totale. ax 2 ab 2 = a(x 2 b 2 ) A questo punto dobbiamo chiederci se i due fattori ottenuti sono primi o ulteriormente scomponibili. E' abbastanza chiaro che il fattore a è un monomio primo e quindi non si può più scomporre, mentre il polinomio x 2 b 2 rispetta i 3 criteri del metodo della differenza di quadrati e può essere scritto quindi come (x + b)(x b) In conclusione avremo ax 2 ab 2 = a(x 2 b 2 ) = 2(x + b)(x b) che è una scomposizione in fattori primi.

9 TRINOMIO CARATTERISTICO (SPECIALE) Un trinomio è costituito da tre monomi. Questo metodo è applicabile a quei trinomi che contengono un'unica incognita (ad esempio la x) e che presentano sempre un termine noto (termine numerico di grado 0). Criteri di applicabilità 1. Il polinomio da scomporre deve essere un trinomio. 2. I gradi dei due monomi che contengono l'incognita devono essere uno il doppio dell'altro. 3. Il coefficiente del monomio di grado massimo deve essere uguale ad 1. Esempi 3x + 2: il polinomio non è un trinomio e quindi, in base al criterio 1, non può essere scomposto con il metodo del trinomio caratteristico. 3x 5 + 4x 2 + 7: il polinomio, pur essendo un trinomio, non ha i gradi dei due monomi che contengono l'incognita uno il doppio dell'altro. I gradi di questi due monomi sono infatti 5 e 2. Quindi, in base al criterio 2, il polinomio non può essere scomposto con il metodo del trinomio caratteristico. 3x 4 + x 2 + 5: il polinomio è un trinomio ed i gradi dei due monomi che contengono l'incognita sono uno il doppio dell'altro (valgono 4 e 2). Ma il coefficiente del monomio di grado massimo non è 1 (infatti vale 3). Quindi, in base al criterio 3, il polinomio non può essere scomposto con il metodo del trinomio caratteristico. x 4 + 6x 2 + 5: il polinomio è un trinomio ed i gradi dei due monomi che contengono l'incognita sono uno il doppio dell'altro (valgono 4 e 2). Inoltre il coefficiente del monomio di grado massimo vale 1. I tre criteri sono soddisfatti per cui il polinomio potrebbe essere scomponibile con il metodo del trinomio caratteristico. Procedimento Per i polinomi per cui sono verificati i tre criteri di applicabilità è possibile iniziare ad applicare il procedimento per giungere alla scomposizione tramite il metodo del trinomio caratteristico. Per applicare tale metodo è necessario trovare due numeri interi che sommati hanno come risultato il coefficiente numerico del monomio intermedio e che moltiplicati hanno come risultato il termine noto. x 2 + 6x + 5: il polinomio soddisfa i tre criteri di applicabilità. Il termine intermedio ha coefficiente numerico +6, mentre il termine noto è +5. Devo quindi trovare due numeri a e b tali che: a + b = +6 a * b = +5 La ricerca di questi due numeri può essere effettuata in qualsiasi modo, anche a tentativi, ma esistono alcune tecniche che consentono di risparmiare tempo.

10 Partiamo dal segno del prodotto a * b = +5 ed osserviamo che se il prodotto di due numeri deve essere positivo allora i due numeri devono essere concordi (entrambi positivi o entrambi negativi). Analizziamo ora la somma a + b = +6 ed osserviamo che per ottenere una somma positiva utilizzando numeri concordi, i numeri devono per forza essere entrambi positivi. Allora la ricerca può essere ristretta a due numeri interi positivi. In quanti modi allora posso ottenere +5 moltiplicando due numeri positivi? In questo caso la risposta è unica ed i due numeri sono +1 e +5. Possiamo osservare che anche la loro somma soddisfa la richiesta. Una volta trovati i due numeri possiamo utilizzarli per scrivere la nostra scomposizione. x 2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5) Si può verificare che eseguendo la moltiplicazione al contrario la scomposizione risulta corretta. Il metodo è applicabile a polinomi di qualsiasi grado a condizione, ovviamente, che siano soddisfatti i tre criteri di applicabilità. x 6 3x 3 4: il polinomio soddisfa i tre criteri di applicabilità. Il termine intermedio ha coefficiente numerico -3, mentre il termine noto è -4. Devo quindi trovare due numeri a e b tali che: a + b = -3 a * b = -4 Partiamo dal segno del prodotto a * b = -4 ed osserviamo che se il prodotto di due numeri deve essere negativo allora i due numeri devono essere discordi (uno positivo e l'altro negativo). Analizziamo ora la somma a + b = -3 ed osserviamo che per ottenere una somma negativa utilizzando numeri discordi, il numero negativo deve per forza avere modulo maggiore. In quanti modi allora posso ottenere -4 moltiplicando due numeri discordi ed in cui il negativo abbia modulo maggiore? In questo caso la risposta è unica ed i due numeri sono -4 e +1. Possiamo osservare che anche la loro somma soddisfa la richiesta. Una volta trovati i due numeri possiamo utilizzarli per scrivere la nostra scomposizione. x 6 3x 3 4 = (x 3 4)(x 3 + 1) Si può verificare che eseguendo la moltiplicazione al contrario la scomposizione risulta corretta. Anche se un trinomio soddisfa i tre criteri di applicabilità, non è detto che sia possibile determinare

11 i due numeri a e b come richiesto dal procedimento. x 2 + x 1: il polinomio soddisfa i tre criteri di applicabilità. Il termine intermedio ha coefficiente numerico +1, mentre il termine noto è +1. Devo quindi trovare due numeri a e b tali che: a + b = +1 a * b = 1 Tale ricerca non produce evidentemente alcun effetto in quanto gli unici due numeri interi che moltiplicati tra loro danno come risultato 1 sono +1 e -1, ma la loro somma non è +1 come dovrebbe essere. In tal caso il polinomio non è scomponibile con il metodo del trinomio caratteristico anche se valgono i tre criteri di applicabilità. RUFFINI L'unico criterio di applicabilità di questo metodo è che il polinomio deve contenere un'unica lettera. Ad esempio x 6 3x 3 4 è un polinomio che può essere scomposto con la regola di Ruffini in quanto contiene solo la lettere X, mentre il polinomio xy 2z 3 no in quanto contiene tre lettere x, y e z. L'applicazione della regola di Ruffini richiede molta attenzione in quanto è un procedimento un po' più laborioso dei precedenti, e richiede soprattutto una buona conoscenza dei vari passaggi in cui si suddivide. I passaggi fondamentali del metodo di Ruffini sono: 1. Costruire l'insieme dei divisori del termine noto del polinomio da scomporre. 2. Ricercare, all'interno di questo insieme, un valore che annulli il polinomio da scomporre. 3. Costruire la tabella di Ruffini ricordando le definizioni di polinomio ordinato decrescente e di polinomio completo. 4. Scrivere la scomposizione del polinomio. 1. Costruire l'insieme dei divisori del termine noto del polinomio da scomporre. Ogni polinomio è dotato di un termine noto, ossia di un monomio che non prevede la presenza della lettera. Esempi: Il polinomio x 6 3x 3 4 ha come termine noto il valore 4 Il polinomio x 3 2x 2 + 3x + 6 ha come termine noto il valore + 6 Il polinomio x x + 6x 2 ha come termine noto il valore 2 Ogni numero ha un insieme di divisori che è rappresentato da quei numeri che lo dividono esattamente. Possiamo ricordare che se un numero è primo avrà come divisori solo 1 ed il numero stesso. Quindi ogni numero ha almeno due divisori. Ricordiamo inoltre che i divisori di un numero vanno presi sia con segno positivo che con segno negativo. DIV (6) = {±1; ±2; ±3; ±6}

12 2. Ricercare, all'interno di questo insieme, un valore che annulli il polinomio da scomporre. Tra i valori inseriti nell'insieme dei divisori del termine noto è, ora, necessario andare a cercare un valore che annulli il polinomio. Un valore che, quindi, sostituito al posto della X nel testo dell'esercizio dia 0 come risultato. I valori presenti all'interno dell'insieme dei divisori vanno provati uno alla volta iniziando, magari, dai più bassi. Nel caso in cui nessuno dei valori presenti nell'insieme dei divisori annulli il polinomio, allora l'esercizio si conclude dato che il polinomio non è scomponibile con il metodo di Ruffini. 3. Costruire la tabella di Ruffini ricordando le definizioni di polinomio ordinato decrescente e di polinomio completo. Un polinomio si dice ordinato decrescente quando i gradi dei monomi che lo compongono risultano essere disposti dal maggiore al minore. Esempi Il polinomio x x + 6x 2 non è ordinato decrescente in quanto i gradi dei monomi che lo compongono non sono disposti dal maggiore al minore. Abbiamo infatti nell'ordine da sinistra a destra un monomio di grado 5 (x 5 ), un monomio di grado 0 ( 2), un monomio di grado 1 (+ 3x), ed un monomio di grado 2 (+ 6x 2 ). Il polinomio x 3 + 6x 2 + 3x 2 è invece ordinato decrescente in quanto i gradi dei monomi che lo compongono sono disposti dal maggiore al minore. N.B.: Se un polinomio non è ordinato decrescente è sempre possibile ordinarlo scambiando l'ordine dei monomi che lo compongono. Il polinomio x x + 6x 2 (non ordinato decrescente) può essere ordinato e scritto come x 5 + 6x 2 + 3x 2 che è ordinato decrescente. Un polinomio si dice completo quando sono presenti tutti i monomi dal grado maggiore fino al termine noto. Esempi Il polinomio x 5 + 6x 2 + 3x 2 non è completo in quanto mancano i termini di grado 4 e di grado 3. Il polinomio x 3 + 6x 2 + 3x 2 è, invece, ordinato in quanto sono presenti tutti i gradi dal terzo fino al termine noto. N.B.: Se un polinomio non è completo è sempre possibile completarlo inserendo i termini mancanti con parte numerica uguale a zero.

13 Il polinomio x 5 + 6x 2 + 3x 2 non completo può essere completato e riscritto come x 5 + 0x 4 + 0x 3 + 6x 2 + 3x 2. Prima di procedere con la costruzione della tabella è quindi necessario ordinare e completare il polinomio da scomporre secondo le regole appena viste. Esercizio Scomporre il seguente polinomio x 3 + 5x 2 + x 7 Costruisco l'insieme dei divisori del termine noto DIV (7) = {±1; ±7} Determino il valore che annulla il polinomio P(1) = (1) 3 + 5(1) = = 0 Il polinomio è ordinato e completo quindi posso procedere con la costruzione della tabella Da cui deduciamo che x 3 + 5x 2 + x 7 = (x 1) (x 2 + 6x + 7) La scomposizione di Ruffini scompone un polinomio di grado n nel prodotto di due polinomi: uno sempre di primo grado, l'altro di grado (n-1) cioè uno in meno rispetto al grado del polinomio di partenza.

14 Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Multiplo tra polinomi Come già visto per i numeri le scomposizioni servono, tra le altre cose, a calcolare il MCD ed il mcm tra due o più polinomi. Tali operazioni sono necessarie per poter lavorare, in seguito, con le frazioni algebriche. Vediamo quali sono i passaggi da seguire per effettuare questo calcolo. MCD (è il più grande tra i divisori comuni a tutti i polinomi) 1. Scomporre tutti i polinomi in fattori primi (Fattorizzare) 2. Selezionare solo i fattori comuni 3. Prenderli una sola volta 4. Con il minimo esponente : Calcolare MCD tra i seguenti polinomi X 2 5X + 6 X 2 6X + 9 X 2 9 Iniziamo con le scomposizioni in fattori primi dei polinomi, prendendoli uno alla volta. X 2 5X + 6 = (X 3)(X 2) Trinomio speciale X 2 6X + 9 = (X 3) 2 Quadrato di binomio X 2 9 = (X + 3)(X 3) Differenza di quadrati I fattori da selezionare sono solo quelli comuni, quelli, cioè, che compaiono in tutte le scomposizioni. In questo caso dobbiamo selezionare unicamente il fattore (X 3) visto che il fattore (X 2) compare solo nella scomposizione, ed il fattore (X + 3) compare solo nella terza scomposizione. L'esponente da scegliere è il più piccolo, quindi l'1 (sottinteso) Avremo perciò che: MCD (X 2 5X + 6; X 2 6X + 9; X 2 9) = (X 3) mcm (è il più piccolo tra i multipli comuni a tutti i polinomi) 1. Scomporre tutti i polinomi in fattori primi (Fattorizzare) 2. Selezionare i fattori comuni ed anche quelli non comuni 3. Prenderli una sola volta 4. Con il massimo esponente : Calcolare mcm tra i polinomi dell'esempio precedente per i quali abbiamo già visto le scomposizioni: X 2 5X + 6 = (X 3)(X 2) Trinomio speciale X 2 6X + 9 = (X 3) 2 Quadrato di binomio X 2 9 = (X + 3)(X 3) Differenza di quadrati I fattori da selezionare sono sia quelli comuni che quelli non comuni. In questo caso dobbiamo

15 selezionare (X 3); (X 2) e (X + 3). Ricordiamo infine di scegliere l'esponente più grande per ogni fattore preso in considerazione. Avremo perciò che: mcm (X 2 5X + 6; X 2 6X + 9; X 2 9) = (X 3) 2 (X 2)(X + 3)