Scomposizione in fattori di un polinomio. Prof. Walter Pugliese

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1 Scomposizione in fattori di un polinomio Prof. Walter Pugliese

2 La scomposizione in fattori dei polinomi Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di polinomi di grado inferiore Esempio: x " 16 = x ' 4 x ' + 4 x ' 4 può essere scomposto ulteriormente in x + 2 x 2. Quindi: x 4 16 = x + 2 x 2 x Invece x ' + 4 non è scomponibile ed è possibile verificarlo applicando il teorema di Ruffini. Definizione: Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di polinomi, tutti di grado minore. Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile. Osservazione: Da questo momento ci porremo il problema di scomporre un polinomio in fattori irriducibili. Non è semplice capire quando un polinomio è irriducibile. Per il momento ci accontentiamo di osservare che sono irriducibili tutti i binomi di primo grado.

3 I metodi per la scomposizione dei polinomi Purtroppo non esiste un metodo generale per ottenere la scomposizione di un polinomio riducibile. Studieremo allora i metodi più comuni basati su regole algebriche che conosciamo. I metodi sono: Raccoglimento a fattore comune Raccoglimento parziale Scomposizione riconducibile a prodotti notevoli Scomposizione di particolari trinomi di secondo grado Scomposizione mediante il teorema e la regola Ruffini

4 Il raccoglimento a fattore comune Se in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore, che può anche essere un numero, allora è possibile mettere in evidenza tale fattore con un raccoglimento a fattore comune Esempi: ab + ac + ad = a b + c + d 5x " 10x 7 35x ' = 5x ' x ' 2x 7 3 a + b + x a + b = a + b 3 + x

5 Il raccoglimento parziale Consideriamo il seguente polinomio P: P = ac + bc + ad + bd + ae + be I primi due termini hanno in comune il fattore c, il terzo e il quarto il fattore d, il quinto e il sesto il fattore e. Raccogliamo i fattori comuni: P = c a + b + d a + b + e a + b Il polinomio è ora formato dalla somma di tre termini che anno in comune il fattore a + b. Raccogliamo dunque a + b : P = a + b c + d + e Questo metodo di scomposizione viene detto raccoglimento parziale. Esempi: 3ax + 3bx + ay + by = 3x a + b + y a + b = a + b ax a 2bx + 2b = a x 1 2b x 1 = x 1 3x + y a 2b 2ay + 3by + 2a + 3b = y 2a + 3b + 1 2a + 3b = (2a + 3b)(y + 1)

6 Scomposizione riconducibile a prodotti notevoli Usando i meccanismi inversi dei prodotti notevoli, è possibile scomporre in fattori alcuni polinomi: a ' b ' = a + b a b a ' + 2ab + b ' = a + b ' a ' 2ab + b ' = a b ' a ' + b ' + c ' + 2ab + 2ac + 2bc = a + b + c ' a 7 + 3a ' b + 3ab ' + b 7 = a + b 7 a 7 3a ' b + 3ab ' b 7 = a b 7 Per la differenza o la somma di due cubi abbiamo: a 7 b 7 = a b a 7 + b 7 = a + b a ' + ab + b ' a ' ab + b '

7 La scomposizione di particolari trinomi di secondo Consideriamo il trinomio di secondo grado: Esso è particolare per due motivi: grado x ' + 8x + 15 Il coefficiente di x 2 è 1 I numeri 8 e 15 sono, rispettivamente la somma e il prodotto di 3 e 5 Ebbene, se proviamo a moltiplicare i due binomi x + 3 e x + 5, otteniamo proprio il trinomio x ' + 8x In generale un trinomio di secondo grado del tipo x ' + sx + p è scomponibile nel prodotto x + a (x + b) se s = a + b e p = ab. In altri termini: Esempi: x 2 + a + b x + ab = (x + a)(x + b) x 2 + 7x + 12 = x + 4 (x + 3) s = p = 4 R 3 x 2 3x 10 = x 5 (x + 2) s = p = 5 R 2

8 La scomposizione mediante il teorema e la regola di Ruffini Il teorema di Ruffini permette spesso di scomporre in fattori un polinomio. Sappiamo infatti che, se riusciamo a trovare uno zero di un polinomio A(x), cioè un valore a tale che A a = 0, potremo affermare che il polinomio A(x) è divisibile per il polinomio B x = (x a). La divisione A(x): B(x) produrrà un polinomio quoziente Q x e un resto R = 0. A questo punto il polinomio A(x) potrà essere così scomposto: A x = B x R Q x = (x a) R Q(x) Regola (zeri di un polinomio): Tutti gli zeri di un polinomio a coefficienti interi possono essere cercati fra le frazioni [, dove m è un divisore del termine noto e n è un divisore del coefficiente del \ termine di grado massimo.

9 Esempio (La scomposizione mediante il teorema e la regola di Ruffini): Dato il polinomio A x = 2x 7 5x ' + 5x 6. Per prima cosa devo ricercare uno zero del polinomio A x ovvero un valore a tale che A a = 0. I divisori del termine noto sono m = 1,2,3,6 mentre quelli del coefficiente del termine di grado massimo sono n = 1,2. Pertanto i possibili zeri del polinomio A x sono da ricercare tra i valori [ \, ovvero : c c ; ' c ; 7 c ; e c ; c ' ; ' ' ; 7 ' ; e ' ; cioè: 1; 2; 3; 6; c ' ; 7 ' ; E possibile verificare che: a = 2, cioè il polinomio A x assume valore zero per x = 2, quindi A x è divisibile per x a. il quoziente della divisione A x : (x a) cioè della divisione 2x 7 5x ' + 5x 6 : x 2 è Q x = 2x 2 x + 3 Quindi: A x = x a R Q(x) 2x 3 5x 2 + 5x 6 = (x 2)(2x 2 x + 3) Il polinomio dato è stato quindi scomposto nel prodotto di due polinomi.

10 M.C.D. e m.c.m. fra polinomi Per calcolare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo fra polinomi, utilizziamolo stesso procedimento già illustrato per i numeri naturali e per i monomi. Scomponiamo innanzitutto i polinomi in fattori irriducibili, raccogliendo anche gli eventuali coefficienti numerici in comune. Il calcolo del M.C.D.: Il M.C.D. fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni, presi una sola volta con l esponente minore. Il calcolo del m.c.m. : Il m.c.m. fra due o più polinomi è il prodotto dei loro fattori irriducibili comuni e non comuni, presi una sola volta, con l esponente massimo.

11 Esempio M.C.D. fra polinomi Determiniamo il M.C.D. fra i seguenti polinomi. a ' b b 7, a 7 b 7, a 7 2a ' b + ab '. Scomponiamo in fattori irrudicibili: a ' b b 7 = b a ' b ' = b a + b a b (tre fattori) a 7 b 7 = a b a 2 + ab + b 2 (due fattori) a 7 2a ' b + ab ' = a a ' 2ab + b ' = a a b 2 (due fattori) L unico fattore comune è a b che prendiamo con l esponente minore. Quindi: M.C.D.= a b

12 Esempio m.c.m. fra polinomi Determiniamo il mc.m. fra i seguenti polinomi. a ' b b 7, a 7 b 7, a 7 2a ' b + ab '. Scomponiamo in fattori irrudicibili: a ' b b 7 = b a ' b ' = b a + b a b (tre fattori) a 7 b 7 = a b a 2 + ab + b 2 (due fattori) a 7 2a ' b + ab ' = a a ' 2ab + b ' = a a b 2 (due fattori) Scegliamo i fattori comuni e non comuni con l esponente massimo: m.c.m.= ab a + b a b 2 a 2 + ab + b 2

13 Le frazioni algebriche Abbiamo già visto che un polinomio A è divisibile per un polinomio B se esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B, dà come prodotto A. A: B = Q se e solo se B R Q = A Quando il polinomio A non è divisibile per B, il quoziente si può indicare solo mediante una frazione algebrica. Definizione: Dati due polinomi A e B, con B diverso dal polinomio nullo, la frazione A B algebrica. viene detta frazione Ogni monomio o polinomio può essere considerato una frazione algebrica il cui denominatore è il monomio 1. Dunque l insieme delle frazioni algebriche include l insieme dei polinomi.

14 Le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche Una frazione algebrica può perdere significato per particolari valori dati alle lettere. Per esempio la frazione: x 3 x 2 non ha significato per x = 2, poiché non può avere denominatore nullo. Una frazione algebrica perde significato per tutti e soli quei valori delle lettere che annullano il denominatore. Usiamo la sigla C.E. per indicare le condizioni di esistenza di una frazione algebrica. Esempio: La frazione noc n no" perde significato quando x = 0 e x = 4. Scriviamo C.E.:x 0 x 4.

15 Frazioni algebriche equivalenti Come già visto per le frazioni numeriche, diciamo che anche due frazioni algebriche sono equivalenti se sono uguali i due prodotti in croce. Esempio: ros r ~ ru os u r u vrs infatti: a b a ' + ab = a a ' b ' a 7 + a ' b a ' b ab ' = a 7 ab ' a 7 ab ' = a 7 ab '

16 La semplificazione delle frazioni algebriche Se dividiamo il numeratore e il denominatore di una frazione algebrica per lo stesso polinomio (diverso da 0), otteniamo una frazione algebrica equivalente. Vale cioè anche per le frazioni algebriche la proprietà invariantiva. Esempio : Data la frazione a 7 b + 2a ' b ' + ab 7 a " + 3a 7 b + 3a ' b ' + ab 7 Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore e poniamo le C.E. ab a ' + 2ab + b ' a a 7 + 3a ' b + 3ab ' + b 7 ' ab a + b = C. E. : a 0 a + b 0 a a + b 7 Dividiamo numeratore e denominatore per i fattori comuni a a + b '. La frazione semplificata è: b a + b

17 L addizione e la sottrazione di frazioni algebriche La somma algebrica di due o più frazioni algebriche, che hanno lo stesso denominatore, è la frazione algebrica che ha per denominatore lo stesso denominatore, e per numeratore la somma algebrica dei numeratori. Esempio: Data la somma 5 a + b a ' + + ab a ' b 1 ab + b ' Scomponiamo in fattori i denominatori e poniamo le C.E. 5 a + b + a(a + b) a ' b 1 b a + b C. E. : a 0 b 0 a + b 0 Riduciamo le frazioni allo stesso denominatore, cioè al m.c.m. fra i denominatori. Eseguiamo poi le somme algebriche al numeratore Šrsv rvs u or u r u s rvs = Šrsvru v'rsvs u or u r u s rvs = rsvsu r u s(rvs) Scomponiamo in fattori il numeratore per semplificare la frazione e scriviamo il risultato b(7a + b) a ' b(a + b) = 7a + b a ' (a + b)

18 La moltiplicazione di frazioni algebriche Il prodotto tra due o più frazioni algebriche è una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Esempio: a ' + 2ab + b ' ab b ' R a' ab a " + a 7 b Scomponiamo in fattori numeratori e denominatori e poniamo le C.E. Semplifichiamo a + b ' b a b R a a b a 7 a + b Moltiplichiamo numeratori e denominatori C. E. : a 0 b 0 a + b 0 a b 0 a + b b a + b a ' b R 1 a '

19 La divisione di frazioni algebriche Il quoziente di due frazioni algebriche è la frazione algebrica che si ottiene moltiplicando la prima frazione per la reciproca della seconda. A B : C D = A B R D C N.B.: Le condizioni di esistenza sono B 0, D 0 per l esistenza delle frazioni algebriche, e C 0 perché sia possibile eseguire la devisione. Esempio 1: Esempio 2: 6a ' b 5cd : 8a' d ' = 6a' b 5cd R d' 8a ' = 3bd 20c x + y x ' y xy ' : xy x ' y ' = x + y xy x y R x + y C. E. : c 0 d 0 a 0 x y xy = x + y ' x ' y ' C. E. : x 0 y 0 x + y 0 x y 0

20 La potenza di frazioni algebriche La potenza di una frazione algebrica è la frazione algebrica che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore. Esempio 1: Esempio 2: a + b ' a ' 2b 7 = 3a ' ' = 9a" 2b 4b ' a + b' 7 a ' 2b 7