L insieme dei numeri naturali N Prof. Walter Pugliese

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1 L insieme dei numeri naturali N Prof. Walter Pugliese

2 Che cosa sono i numeri naturali I numeri naturali sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, Sono chiamati così perché sono stati i primi numeri che abbiamo conosciuto, ci sono serviti per contare. I numeri naturali hanno un ordine cioè dati due numeri naturali qualunque e diversi fra loro, è sempre possibile stabilire se il primo è minore del secondo o viceversa. Di ogni numero naturale diverso da 0 esistono sempre il precedente e il successivo

3 La rappresentazione dei numeri naturali Poichè i numeri naturali sono ordinati, si possono rappresentare su una semiretta orientata: I punti della semiretta sono molti di più di quelli che corrispondono ai numeri naturali. Ad esempio tra 5 e 6 vi sono infiniti punti che non rappresentano numeri naturali, per questo motivo si dice che N è un insieme discreto.

4 Le quattro operazioni Nell insieme N si possono eseguire le quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

5 L operazione potenza Se a e n sono numeri naturali: a n = a a a a a. a se n > 1 n volte a 0 = 1 se a 0 a 1 = a 0 0 non è definito Nella potenza a n, a è la base, n è l esponente

6 Le espressioni Un espressione indica una serie di operazioni da svolgere con un ordine preciso. Nel calcolo, la potenza ha la precedenza su tutte le altre operazioni. Moltiplicazione e divisione hanno la precedenza su addizioni e sottrazioni. Le precedenze possono essere cambiate usando le parentesi. Vanno svolti prima i calcoli nelle parentesi tonde, poi quelli fra parentesi quadre e per ultime quelli fra parentesi graffe.

7 Esempio di espressione

8 Proprietà dell addizione e della moltiplicazione L addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne all insieme N perché la somma e il prodotto di due numeri naturali sono sempre numeri naturali. Si può dire anche che N è chiuso rispetto all addizione e alla moltiplicazione. L addizione gode della proprietà commutativa e associativa. La moltiplicazione gode delle proprietà commutativa, associativa, distributiva a destra rispetto all addizione, distributiva a sinistra rispetto all addizione 0 è l elemento neutro dell addizione, perché sommando 0 a un numero qualsiasi si ottiene come risultato il numero stesso. Es.: 0+9=9 5+0=0 1 è l elemento neutro della moltiplicazione, perché moltiplicando 1 per un numero qualsiasi si ottiene come prodotto il numero stesso. Es.: 1 9 = = 4 0 è l elemento assorbente rispetto alla moltiplicazione, perché moltiplicando 0 per un numero qualsiasi si ottiene come prodotto 0. Es.: 0 9 = = 0

9 Leggi della monotonia Prima legge della monotonia: Aggiungendo uno stesso numero naturale ai due membri di un uguaglianza o di una disuguaglianza, otteniamo un uguaglianza o una disuguaglianza con lo stesso verso. Es.: 4 = = < < > > Seconda legge della monotonia: Moltiplicando per uno stesso numero naturale diverso da zero i due membri di un uguaglianza o di una disuguaglianza, otteniamo un uguaglianza o una disuguaglianza con lo stesso verso. Es.: 6 = = < < > > 7 3

10 La sottrazione La sottrazione può essere definita come l operazione inversa dell addizione. La differenza di due numeri è quel numero che sommato al sottraendo dà il minuendo. 9-5=4 perché 4+5=9 In N la sottrazione non è un operazione interna: è possibile eseguirla solo se il sottraendo è minore o uguale al minuendo. 8-5=3 5-9=? Non ha un risultato in N Per la sottrazione valgono le proprietà invariantiva e distributiva della moltiplicazione

11 La divisione La divisione è l operazione inversa della moltiplicazione. Il quoziente fra due numeri è quel numero che moltiplicato per il divisore dà il dividendo. Il divisore deve sempre essere diverso da zero. 12:4=3 perché 3 4=12 9:0 non viene definita perché nessun numero moltiplicato per zero può dare 9 0:0 non è definita perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero In N la divisione non è un operazione interna: 23:5 non ha un risultato in N Per la divisione valgono le proprietà invariantiva e distributiva a destra rispetto all addizione e alla sottrazione.

12 Criteri di divisibiltà N è divisibile per se e solo se esempio 2 L ultima cifra è divisibile per ; 2714; La somma delle cifre è divisibile per 3 4 o 25 N termina con 00 oppure il numero formato dalle ultime due cifre è divisibile per 4 o per 25 5 Termina con 0 oppure 5 290; La somma delle cifre è divisibile per 9 11 La differenza tra la somma delle cifre di posto pari e quella delle cifre di posto dispari (o viceversa) è divisibile per perché =15 che è divisibile per (divisibile per 4 e per 25) 2312 (divisibile per 4) 7150 (divisibile per 25) 2952 perché =18 che è divisibile per perché 27 (cioè 9+9+9) 5 (cioè 5+0) =22 che è divisibile per 11

13 Proprietà delle potenze Proprietà Prodotto di potenze con la stessa base a m a n = a m+n Quoziente di potenze con la stessa base a m : a n = a m n con a 0 e n m Potenza di potenza a m n = a m n Prodotto di potenze con lo stesso esponente a m b m = a b m Quoziente di potenze con lo stesso esponente a m : b m = a: b m con b 0 e a divisibile per b Esempio = = : 12 3 = = = = = = : 3 2 = 6: 3 2 = 2 2

14 Multipli, divisori e numeri primi Consideriamo i numeri naturali a e b. Se esiste un numero naturale q tale che a = b q, diciamo che: a è multiplo di b b è divisore di a Un numero naturale diverso da 0 e da 1 è un numero primo se ha come divisori solo se stesso e 1

15 Il massimo comune divisore (MCD), tra due o più numeri naturali diversi da zero, è il più grande fra i loro divisori comuni. Divisori di 12: 1,2,3,4,6,12 Divisori di 18: 1,2,3,6,9,18 MCD (12;18)=6 Il MCD è il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta, con l esponente minore MCD e mcm Il minimo comune multiplo (mcm), tra due o più numeri naturali diversi da zero, è il più piccolo fra i loro multipli comuni diversi da zero. Multipli di 12: 12,24,36,48,60,72, Multipli di 18: 18,36,54,72, mcm(12;18)=36 Se scomponiamo in fattori primi due o più numeri naturali: Il mcm è il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con l esponente maggiore