1 Multipli di un numero
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- Martino Napoli
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1 Multipli di un numero DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali. I multipli del numero 4 costituiscono l insieme M 4 { 0, 4, 8, 2, 6, 20, 24, } Essendo la successione dei numeri naturali infinita, ne consegue che anche i multipli di un numero sono infiniti. I multipli di 2 costituiscono la successione dei numeri pari, tutti gli altri numeri costituiscono l insieme dei numeri dispari. Area 2 Capitolo 2 - PAG. 250
2 Divisori di un numero DEFINIZIONE. Se un numero diviso per un altro numero dà resto zero (r = 0), diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo resto 0 3 è divisore di 8 e 8 è divisibile per resto 2 4 non è divisore di 8 e 8 non è divisibile per 4 I divisori di un numero costituiscono un insieme finito, poiché il divisore più grande è sempre uguale al numero stesso. Area 2 Capitolo 2 - PAG
3 2 I criteri di divisibilità Divisibilità per 2 CRITERIO. Un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità è pari. 28 è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra 8 è pari. Divisibilità per 5 CRITERIO. Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque. 90 è divisibile per 5 perché termina con 0. Area 2 Capitolo 2 - PAG
4 2 I criteri di divisibilità Divisibilità per 3 e per 9 CRITERIO. Un numero è divisibile per 3 (o per 9) se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3. 5 Divisibilità per 8 è divisibile per 3 (e per 9) perché la somma delle sue cifre, + 8 = 9, è un multiplo di 3 (e di 9). è divisibile per 3 (ma non per 9) perché la somma delle sue cifre, + 5 = 6, è un multiplo di 3 (e non di 9). CRITERIO. Un numero è divisibile per se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella di posto pari è 0 o un multiplo di. 209 è divisibile per perché (2 + 9) 0 = Area 2 - Capitolo 2 - PAG
5 2 I criteri di divisibilità Divisibilità per 0, 00, 000 CRITERIO. Un numero è divisibile per 0, 00, 000, se termina rispettivamente con uno, due, tre, zeri. 700 è divisibile:! per 00 perché termina con due zeri;! per 0 perché l ultima cifra è uno zero. Area 2 Capitolo 2 - PAG
6 2 I criteri di divisibilità Divisibilità per 4 e 25 CRITERIO. Un numero è divisibile per 4 o per 25 se le ultime due cifre formano un numero multiplo di 4 o di 25, oppure sono due zeri. 28 è divisibile per 4 perché le ultime due cifre (28) sono divisibili per 4, infatti 28 : 4 = è divisibile per 25 perché le ultime due cifre (75) sono divisibili per 25, infatti 75 : 25 = 3 Area 2 Capitolo 2 - PAG
7 3 Numeri primi e numeri composti DEFINIZIONE. Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per e per se stesso. 5 È un numero primo perché è divisibile per e 5. È un numero primo perché è divisibile per e. 23 È un numero primo perché è divisibile per e Non è un numero primo perché è divisibile per altri numeri (2, 3, 4, 6) oltre all e a se stesso. Area 2 Capitolo 2 - PAG
8 4 La scomposizione in fattori primi DEFINIZIONE. L operazione che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si dice scomposizione in fattori primi o fattorizzazione. Quoti Divisori primi REGOLA. Per scomporre un numero in fattori primi si eseguono le divisioni successive tra il numero dato e i suoi divisori primi (in ordine crescente) fino ad ottenere come quoto uno. I divisori primi che compaiono più di una volta si scrivono sotto forma di potenza. Area 2 Capitolo 2 - PAG
9 5 Criterio generale di divisibilità CRITERIO. Due numeri sono divisibili tra loro se ciascun fattore del numero divisore è presente nella scomposizione del numero dividendo ed ha esponente minore o uguale a quello del fattore corrispondente. 260 = 2 4! 3 3! = 2! 3 2! 5 Poiché tutti i fattori del divisore sono presenti fra i fattori del dividendo ed hanno esponente minore, possiamo affermare che 260 è divisibile per 90. REGOLA. Il quoziente di due numeri divisibili fra loro si ottiene moltiplicando tutti i fattori del dividendo aventi per esponente la differenza degli esponenti con cui compaiono nei due termini della divisione. Area 2 Capitolo 2 - PAG
10 6 L insieme dei divisori di un numero Cerchiamo l insieme dei divisori di 23 e di Il numero 23 è un numero primo. D 23 {, 23 } 24 Scomponiamo in fattori primi il numero 24 e scriviamo la fattorizzazione nella forma sintetica. 24 = Costruiamo l algoritmo attraverso la seguente tabella: ovvero ovvero 3 Moltiplicando tutti i numeri della prima riga per tutti i numeri della seconda riga si ottengono tutti e i soli divisori del numero D 24 {, 2, 3, 4, 6, 8, 2, 24 } Area 2 Capitolo 2 - PAG. 26 0
11 7 Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) DEFINIZIONE. Il M.C.D. di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati. 2 6 D 2 {, 2, 3, 4, 6, 2 } D 6 {, 2, 4, 8,6 } D 2, 6 {, 2, 4 } Il numero 4 è il maggiore dei divisori comuni tra i due numeri e viene chiamato Massimo Comune Divisore (M.C.D.). M.C.D. (2, 6) = 4 CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è divisore di ciascuno degli altri, quest ultimo numero è il M.C.D. dei numeri dati. Area 2 Capitolo 2 - PAG. 262
12 7 Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) DEFINIZIONE. Due o più numeri si dicono primi tra loro se hanno come M.C.D D 2 {, 2, 3, 6 } D 6 {, 5, 25 } M.C.D. (6, 25) = 6 e 25 sono primi tra loro. Area 2 Capitolo 2 - PAG
13 7 Il calcolo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni, presi ciascuno una sola volta e con l esponente minore = 2 5! 5! = 2 2! 3! 5! 7 I fattori comuni con l esponente minore delle tre scomposizioni sono 2 2 e = 2 3! 5 2 M.C.D. (760, 420, 200) = = 20 Area 2 Capitolo 2 - PAG
14 8 Il minimo comune multiplo (m.c.m.) DEFINIZIONE. Il m.c.m. di due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri stessi. 2 3 M { } 2 2, 4, 6, 4, 8, 0, 2 M { } 3 3, 6, 9, 2,5, 8, 2 M { } 2,3 6, 2, 8, 24 Il numero 6 è il minore dei multipli in comune tra i due numeri, pertanto m.c.m. (2, 3) = 6 CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è multiplo di ciascuno degli altri, quest ultimo numero è il m.c.m. dei numeri dati. CRITERIO. Se due o più numeri sono primi tra loro, il m.c.m. è dato dal prodotto dei due numeri. Area 2 Capitolo 2 - PAG
15 8 Il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il m.c.m. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta e con l esponente maggiore = 2! 3! 5! = 3! 5 2! = 3! 5! 7 2 I fattori comuni con l esponente maggiore sono 3, 5 2 e 7 2, il fattore non comune è 2. m.c.m. (20, 525, 735) = 2! 3! 5 2! 7 2 = 7350 Area 2 Capitolo 2 - PAG
24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2
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( ) ( ) 2 + 3( a + b) = ( ) + b( x 1) = ( ) ( ) b( x + y) = ( ) x 2 ( a + b) y 2 + ( a + b) = ( ) + ( a b) = ( ) a( 4x + 7) = ( ) + 3a( 2 5y) =
1 Scomposizione in fattori di un polinomio Scomporre in fattori un polinomio significa trasformare il polinomio, che è una somma algebrica di monomi, nel prodotto di fattori con il grado più basso possibile.
ESERCIZI DI MATEMATICA PER GLI ISCRITTI ALLE CLASSI PRIME DELLA SEZIONE TECNICA
ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE Liceo Scientifico Istituto Tecnico Industriale ALDO MORO Via Gallo Pecca n. 4/6 10086 RIVAROLO CANAVESE Via Gallo Pecca n. 4/6-10086 Rivarolo Canavese Via Gallo Pecca n.
I monomi Prof. Walter Pugliese
I monomi Prof. Walter Pugliese I monomi Def.: Il monomio è un espressione letterale in cui compaiono soltanto moltiplicazioni tra numeri e lettere. Gli esponenti delle lettere sono numeri naturali. Esempi:
ESERCIZIARIO DI MATEMATICA
Dipartimento di rete matematica ESERCIZIARIO DI MATEMATICA PER PREPARARSI ALLA SCUOLA SUPERIORE progetto Continuità SCUOLA SECONDARIA DI I GRADO Istituti comprensivi: Riva Riva Arco Dro Valle dei Laghi
3/10/ Divisibilità e massimo comun divisore
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24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2
Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6
Metodo di Euclide delle sottrazioni successive per il calcolo del M.C.D.
Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) di 2 o più numeri è il più grande numero che sia contemporaneamente divisore di tutti i numeri dati. Ci sono diverse procedure che ci permettono di calcolare questo valore.
A1. Calcolo in Q. A1.1 Tabelline e potenze. A1.2 Scomposizione in fattori di numeri interi MCD e mcm
A. Calcolo in Q Questo capitolo tratta argomenti che solitamente sono già stati svolti alle scuole medie ed elementari. Tali argomenti sono necessari per affrontare il programma delle scuole superiori.
4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.
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I numeri naturali sono
n L insieme dei numeri naturali n Le quattro operazioni aritmetiche n Le potenze n Espressioni n Divisibilità n Numeri primi n Massimo comune divisore e minimo comune multiplo n L insieme dei numeri naturali
FRAZIO I N O I LE F RAZIO I N O I I SON O O O DIV I IS I IO I N O I I IN I CUI
FRAZIONI LE FRAZIONI SONO DIVISIONI IN CUI IL RISULTATO E UN NUMERO CON LA VIRGOLA CHE VIENE CHIAMATO : RAZIONALE ASSOLUTO E INDICATO CON Q(a) NUMERO RAZIONALE ASSOLUTO 0,75 MA PERCHE 0,75? 0,75 PERCHE
NUMERI RELATIVI. o meno (-),e viene indicato con il simbolo Z. {...-4;-3;-2;-1;0;+1;+2;+3;+4...}
NUMERI RELATIVI Si dice NUMERO RELATIVO un numero preceduto da un segno,che può essere più(+) o meno (-),e viene indicato con il simbolo Z. {...-4;-3;-2;-1;0;+1;+2;+3;+4...} Somma algebrica Se i segni
Logica matematica e ragionamento numerico
5 Logica matematica e ragionamento numerico Abilità di calcolo! I quiz raccolti in questo capitolo sono finalizzati alla valutazione della rapidità e della precisione con cui esegui i calcoli matematici:
Teoria dei Numeri. Lezione del 31/01/2011. Stage di Massa Progetto Olimpiadi
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GLOSSARIO MATEMATICO. ,0,, 2, 3,,... = {razionali e irrazionali}
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Multipli Divisori. 1) I multipli di un numero. ( Teoria 31 31; Esercizi 117 120) M n = es. M 7 = = Definisci per elencazione i seguenti insiemi: M 4 = ; M 6 = ; = Alcune situazioni particolari: a) Definisci
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