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1 Multipli di un numero DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali. I multipli del numero 4 costituiscono l insieme M 4 { 0, 4, 8, 2, 6, 20, 24, } Essendo la successione dei numeri naturali infinita, ne consegue che anche i multipli di un numero sono infiniti. I multipli di 2 costituiscono la successione dei numeri pari, tutti gli altri numeri costituiscono l insieme dei numeri dispari. Area 2 Capitolo 2 - PAG. 250

2 Divisori di un numero DEFINIZIONE. Se un numero diviso per un altro numero dà resto zero (r = 0), diremo che il secondo è un divisore del primo e che il primo è divisibile per il secondo resto 0 3 è divisore di 8 e 8 è divisibile per resto 2 4 non è divisore di 8 e 8 non è divisibile per 4 I divisori di un numero costituiscono un insieme finito, poiché il divisore più grande è sempre uguale al numero stesso. Area 2 Capitolo 2 - PAG

3 2 I criteri di divisibilità Divisibilità per 2 CRITERIO. Un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità è pari. 28 è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra 8 è pari. Divisibilità per 5 CRITERIO. Un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con cinque. 90 è divisibile per 5 perché termina con 0. Area 2 Capitolo 2 - PAG

4 2 I criteri di divisibilità Divisibilità per 3 e per 9 CRITERIO. Un numero è divisibile per 3 (o per 9) se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3. 5 Divisibilità per 8 è divisibile per 3 (e per 9) perché la somma delle sue cifre, + 8 = 9, è un multiplo di 3 (e di 9). è divisibile per 3 (ma non per 9) perché la somma delle sue cifre, + 5 = 6, è un multiplo di 3 (e non di 9). CRITERIO. Un numero è divisibile per se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella di posto pari è 0 o un multiplo di. 209 è divisibile per perché (2 + 9) 0 = Area 2 - Capitolo 2 - PAG

5 2 I criteri di divisibilità Divisibilità per 0, 00, 000 CRITERIO. Un numero è divisibile per 0, 00, 000, se termina rispettivamente con uno, due, tre, zeri. 700 è divisibile:! per 00 perché termina con due zeri;! per 0 perché l ultima cifra è uno zero. Area 2 Capitolo 2 - PAG

6 2 I criteri di divisibilità Divisibilità per 4 e 25 CRITERIO. Un numero è divisibile per 4 o per 25 se le ultime due cifre formano un numero multiplo di 4 o di 25, oppure sono due zeri. 28 è divisibile per 4 perché le ultime due cifre (28) sono divisibili per 4, infatti 28 : 4 = è divisibile per 25 perché le ultime due cifre (75) sono divisibili per 25, infatti 75 : 25 = 3 Area 2 Capitolo 2 - PAG

7 3 Numeri primi e numeri composti DEFINIZIONE. Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per e per se stesso. 5 È un numero primo perché è divisibile per e 5. È un numero primo perché è divisibile per e. 23 È un numero primo perché è divisibile per e Non è un numero primo perché è divisibile per altri numeri (2, 3, 4, 6) oltre all e a se stesso. Area 2 Capitolo 2 - PAG

8 4 La scomposizione in fattori primi DEFINIZIONE. L operazione che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si dice scomposizione in fattori primi o fattorizzazione. Quoti Divisori primi REGOLA. Per scomporre un numero in fattori primi si eseguono le divisioni successive tra il numero dato e i suoi divisori primi (in ordine crescente) fino ad ottenere come quoto uno. I divisori primi che compaiono più di una volta si scrivono sotto forma di potenza. Area 2 Capitolo 2 - PAG

9 5 Criterio generale di divisibilità CRITERIO. Due numeri sono divisibili tra loro se ciascun fattore del numero divisore è presente nella scomposizione del numero dividendo ed ha esponente minore o uguale a quello del fattore corrispondente. 260 = 2 4! 3 3! = 2! 3 2! 5 Poiché tutti i fattori del divisore sono presenti fra i fattori del dividendo ed hanno esponente minore, possiamo affermare che 260 è divisibile per 90. REGOLA. Il quoziente di due numeri divisibili fra loro si ottiene moltiplicando tutti i fattori del dividendo aventi per esponente la differenza degli esponenti con cui compaiono nei due termini della divisione. Area 2 Capitolo 2 - PAG

10 6 L insieme dei divisori di un numero Cerchiamo l insieme dei divisori di 23 e di Il numero 23 è un numero primo. D 23 {, 23 } 24 Scomponiamo in fattori primi il numero 24 e scriviamo la fattorizzazione nella forma sintetica. 24 = Costruiamo l algoritmo attraverso la seguente tabella: ovvero ovvero 3 Moltiplicando tutti i numeri della prima riga per tutti i numeri della seconda riga si ottengono tutti e i soli divisori del numero D 24 {, 2, 3, 4, 6, 8, 2, 24 } Area 2 Capitolo 2 - PAG. 26 0

11 7 Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) DEFINIZIONE. Il M.C.D. di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati. 2 6 D 2 {, 2, 3, 4, 6, 2 } D 6 {, 2, 4, 8,6 } D 2, 6 {, 2, 4 } Il numero 4 è il maggiore dei divisori comuni tra i due numeri e viene chiamato Massimo Comune Divisore (M.C.D.). M.C.D. (2, 6) = 4 CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è divisore di ciascuno degli altri, quest ultimo numero è il M.C.D. dei numeri dati. Area 2 Capitolo 2 - PAG. 262

12 7 Il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) DEFINIZIONE. Due o più numeri si dicono primi tra loro se hanno come M.C.D D 2 {, 2, 3, 6 } D 6 {, 5, 25 } M.C.D. (6, 25) = 6 e 25 sono primi tra loro. Area 2 Capitolo 2 - PAG

13 7 Il calcolo del Massimo Comune Divisore (M.C.D.) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il M.C.D. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni, presi ciascuno una sola volta e con l esponente minore = 2 5! 5! = 2 2! 3! 5! 7 I fattori comuni con l esponente minore delle tre scomposizioni sono 2 2 e = 2 3! 5 2 M.C.D. (760, 420, 200) = = 20 Area 2 Capitolo 2 - PAG

14 8 Il minimo comune multiplo (m.c.m.) DEFINIZIONE. Il m.c.m. di due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri stessi. 2 3 M { } 2 2, 4, 6, 4, 8, 0, 2 M { } 3 3, 6, 9, 2,5, 8, 2 M { } 2,3 6, 2, 8, 24 Il numero 6 è il minore dei multipli in comune tra i due numeri, pertanto m.c.m. (2, 3) = 6 CRITERIO. Se due o più numeri sono tali che il maggiore di essi è multiplo di ciascuno degli altri, quest ultimo numero è il m.c.m. dei numeri dati. CRITERIO. Se due o più numeri sono primi tra loro, il m.c.m. è dato dal prodotto dei due numeri. Area 2 Capitolo 2 - PAG

15 8 Il calcolo del minimo comune multiplo (m.c.m.) attraverso la scomposizione in fattori primi REGOLA. Per calcolare il m.c.m. di due o più numeri si scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano tra loro tutti i fattori comuni e non comuni, presi ciascuno una sola volta e con l esponente maggiore = 2! 3! 5! = 3! 5 2! = 3! 5! 7 2 I fattori comuni con l esponente maggiore sono 3, 5 2 e 7 2, il fattore non comune è 2. m.c.m. (20, 525, 735) = 2! 3! 5 2! 7 2 = 7350 Area 2 Capitolo 2 - PAG

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