Numeri e operazioni su di essi

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1 Numeri e operazioni su di essi Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 1 Classificazione dei numeri Il primo obiettivo che ci si pone è quello di classificare i numeri, cioè conoscere i differenti insiemi numerici: insieme N dei naturali insieme Z degli interi relativi insieme Q dei razionali Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 2 1

2 Numeri naturali I numeri naturali devono il loro nome al fatto che traducono l azione naturale del contare e costituiscono un insieme infinito numerabile, generalmente indicato con la lettera N: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } Oltre alla definizione di numero naturale, alla base dell aritmetica si trovano le definizioni delle operazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice). Nel calcolo di un espressione è fondamentale rispettare l ordine di esecuzione delle operazioni: 1) parentesi 2) potenze e radici 3) moltiplicazioni e divisioni 4) addizioni e sottrazioni Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 3 Proprietà delle 4 operazioni fondamentali OPERAZIONE ADDIZIONE SOTTRAZIONE MOLTIPLICAZIONE DIVISIONE PROPRIETA commutativa: a + b = b + a associativa: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c elemento neutro: 0 a + 0 = a invariantiva: a - b = (a ± c) - (b ± c) elemento neutro: 0 a - 0 = a commutativa: a b = b a associativa: (a b) c = a (b c) = a b c distributiva rispetto a somma e differenza: a (b ± c) = a b ± a c elemento neutro: 1 a 1 = a invariantiva: = = (c 0) distributiva rispetto a somma e differenza: (a ± b)/c = a/c ± b/c elemento neutro: 1 a / 1 = a Invariantiva: moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero (diverso da 0) si ottiene una frazione equivalente alla frazione iniziale Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 4 2

3 Divisione con resto Nell insieme dei numeri naturali non è detto che l operazione di divisione tra due numeri naturali a e b abbia soluzione (nel senso che non è detto che il quoziente tra due numeri naturali sia anch esso un numero naturale). Es. l operazione 12 / 3 dà come risultato il numero naturale 4 e quindi tale operazione può essere effettuata nell insieme dei numeri naturali. Es. l operazione 7 / 3 non dà come risultato un numero naturale e quindi non può essere effettuata nell insieme dei numeri naturali. Dati due numeri naturali a (dividendo) e b (divisore), con a b e b 0, si definisce divisione con resto l operazione che consiste nel determinare due numeri naturali q (quoziente) ed r (resto), con 0 r<b, tali che a = q b + r. Se r = 0, a si dice divisibile per b. Es. 7 / 3 = 2 con resto di 1 (7 = dividendo, 3 = divisore, 2 = quoziente, 1 = resto). Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 5 Numeri primi Qualsiasi numero naturale è divisibile (con resto =0) per sé stesso e per 1 Es. 12 si ha 12 / 12 = 1 con r = 0 12 / 1 = 12 con r = 0 Alcuni numeri naturali ammettono anche altri divisori senza resto (oltre a sé stessi e all unità) Es. 12 ha come divisori con resto 0: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Si dicono primi i numeri naturali maggiori di 1 che ammettono come divisori solo sé stessi e l unità. Es. primi 10 numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 6 3

4 Scomposizione in fattori primi La scomposizione in fattori primi di un numero naturale maggiore di 1 è la rappresentazione del numero stesso come prodotto dei suoi fattori primi (cioè come prodotto dei suoi fattori che siano anche numeri primi). La scomposizione in fattori primi è sempre possibile ed è unica. Es. scomposizione in fattori primi di 112: 112 = = Per scomporre un numero in fattori primi si utilizza il metodo delle divisioni successive: si procede per tentativi verificando la divisibilità per i numeri primi partendo dai più piccoli e iterando il procedimento fin quando si trova come quoziente 1. Es = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 7 Massimo Comune Divisore Il Massimo Comune Divisore (MCD) di due o più interi è il maggiore tra gli interi che dividono (senza resto) tutti i numeri dati. Per determinare il MCD di due o più interi, prima si scompone ciascuno di essi in fattori primi poi si calcola il prodotto dei fattori primi comuni, ciascuno preso una volta sola con il minimo esponente con cui figura. Es. MCD (24, 144, 60) = 12 Infatti: 24 = = = MCD (24, 144, 60) = = 4 3 = 12 Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 8 4

5 minimo comune multiplo Il minimo comune multiplo (mcm) di due o più interi è il minore tra gli interi multipli di tutti i numeri dati. Per determinare il mcm di due o più interi, prima si scompone ciascuno di essi in fattori primi, poi si calcola il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni, ciascuno preso una volta sola con il massimo esponente con cui figura. Es. mcm (24, 144, 60) = 720 Infatti: 24 = = = mcm (24, 144, 60) = = = 720 Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 9 Numeri interi relativi - premessa Sommando un numero naturale ad un altro numero naturale (a + b), si ottiene ancora un numero naturale: a N e b N si ha (a + b) N Moltiplicando un numero naturale per un altro numero naturale (a b), si ottiene ancora un numero naturale: a N e b N si ha (a b) N Sottraendo un numero naturale da un altro numero naturale (a - b), si ottiene un numero naturale solo se il minuendo a è > del sottraendo b: a N e b N : a>b si ha (a - b) N L insieme N dei numeri naturali è chiuso rispetto alle operazioni di somma e moltiplicazione, ma non rispetto alla sottrazione. Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 10 5

6 Numeri interi relativi Per rendere possibile la sottrazione anche nel caso in cui il minuendo è minore del sottraendo si introducono i numeri interi negativi. L insieme dei numeri interi relativi Z è costituito dall unione dell insieme dei numeri interi positivi (numeri naturali), dallo 0 e dall insieme dei numeri interi negativi. Z è un insieme infinito numerabile. Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }!!! Negli interi, così come in ogni altro insieme numerico, non si può dividere per 0: l operazione a/0 non è ammessa. Si ha: 0 / a = 0, per a 0 Si ha: a 0 = 0 Il prodotto tra due numeri si annulla se e solo se almeno uno dei due numeri è uguale a 0. Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 11 Valore assoluto di un numero relativo Il valore assoluto (o modulo) a di un numero relativo a è il numero stesso considerato positivo. Es. -3 = 3 ; 27 = 27 Due numeri relativi aventi lo stesso valore assoluto e segni contrari si dicono opposti. Due numeri relativi aventi lo stesso segno si dicono concordi. Due numeri relativi aventi segno diverso si dicono discordi. Due numeri relativi sono uguali se hanno lo stesso valore assoluto e lo stesso segno. Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 12 6

7 Operazioni con numeri interi relativi Sommando un intero relativo ad un altro intero relativo (a + b), si ottiene ancora un intero relativo : a Z e b Z si ha (a + b) Z Es. 3 + (-5) = -2 Moltiplicando un intero relativo per un altro intero relativo (a b), si ottiene ancora un intero relativo : a Z e b Z si ha (a b) Z Es. 3 (-5) = -15 Sottraendo un intero relativo da un altro intero relativo (a - b), si ottiene ancora un intero relativo : a Z e b Z si ha (a - b) Z Es. (-5) - 3 = -8 L insieme Z dei numeri relativi è chiuso rispetto alle operazioni di somma, moltiplicazione e sottrazione. Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 13 Numeri razionali L insieme dei numeri razionali Q è costituito da tutte le possibili frazioni (rapporti tra numeri interi relativi). Q è un insieme infinito numerabile. Q = { a/b : a Z, b Z e b 0 } Es. 3 / 5 3 è il numeratore ; 5 è il denominatore!!! Tutti gli interi possono essere pensati come frazioni con denominatore unitario (es. 5 = 5 / 1), per cui si ricava la seguente catena di inclusione fra insiemi numerici: N Z Q Una frazione viene detta irriducibile (o ridotta ai minimi termini) quando il MCD di numeratore e denominatore vale 1. Per ridurre una frazione ai minimi termini si applica la semplificazione che consiste nel dividere numeratore e denominatore per il loro MCD. Es. 24 / 60 MCD (24, 60) = / 60 = (24/12) / (60/12) =2/5 Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 14 7

8 Operazioni con frazioni - 1 Per addizionare o sottrarre tra loro due o più frazioni occorre che esse abbiano lo stesso denominatore. Occorre quindi individuare il minimo comun denominatore delle frazioni: 1. si riduce ciascuna frazione ai minimi termini; 2. si individua il mcm dei denominatori; 3. si trasforma ciascuna frazione nella frazione equivalente che abbia il mcm trovato come denominatore. Es = riduz.min termini = = = = mcm (4,6,8)=24 Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 15 Operazioni con frazioni - 2 La moltiplicazione (o prodotto) tra due o più frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Il prodotto tra due frazioni è positivo se le due frazioni sono concordi e negativo se le due frazioni sono discordi. Es. = = = La divisione tra due frazioni si ottiene moltiplicando la prima frazione per la reciproca della seconda. Es. = = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 16 8

9 Confronto tra frazioni Per confrontare tra loro due o più frazioni, occorre che esse abbiano lo stesso denominatore. Una volta ridotte le frazioni al minimo comun denominatore, si confrontano tra loro i numeratori. Es. confronto tra, confronto tra, < <. Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 17 Dalle frazioni ai decimali Ogni numero razionale (e quindi ogni frazione) può essere rappresentato in forma di numero decimale (limitato o illimitato periodico). Es. =, (numero decimale limitato) Es. =, =, (numero decimale illimitato periodico) 4 è il periodo; 18 è l antiperiodo = eventuali cifre tra virgola e periodo Es. =, =, (illimitato periodico) Il viceversa è quasi sempre vero: dato un numero decimale limitato o illimitato periodico (purchè il periodo sia diverso da 9) è possibile trovare la corrispondente frazione generatrice: Es. numero decimale limitato 0,75 Si ha:, = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 18 9

10 Numeri decimali e frazione generatrice Nel caso di decimale illimitato periodico, la frazione generatrice ha: numeratore = numero costituito dalla parte intera seguita dall antiperiodo e dal periodo preso una sola volta numero composto dalla parte intera e dall eventuale antiperiodo denominatore = numero composto da tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguito da tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo Es., Si ha: = = =, Es., Si ha: = = =, L algoritmo non funziona per decimali illimitati periodici con periodo =9. Es., Si avrebbe: = = =., E per i decimali illimitati non periodici? Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 19 Numeri razionali, irrazionali e reali Si è visto che i decimali limitati e i decimali illimitati periodici sono esprimibili come numeri razionali (frazioni). Al contrario i decimali illimitati non periodici non sono esprimibili come frazioni e fanno parte dell insieme dei numeri irrazionali. L unione dei numeri razionali e dei numeri irrazionali forma l insieme dei numeri reali che si indica con R (insieme infinito non numerabile). Si ha: N Z Q R (diagonale di un quadrato di lato 1) è un numero irrazionale (ciò vuol dire che non esiste alcun numero razionale x tale che x 2 = 2). =. (illimitato non periodico) Anche è un numero irrazionale. =. Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 20 10

11 Percentuali - 1 Le percentuali sono delle frazioni con denominatore pari a 100. E possibile esprimere le percentuali anche come numeri decimali: % = = =,,, % = = =, Indicando con B = numero iniziale, T = tasso, A= risultato, si ha: A = T B ; B = A / T ; T = A / B Es. si calcoli il 15% di 60 (T = 15% = 0,15 ; B = 60 ; A incognita) = =, = (es. sconti) Es. si calcoli il numero il cui 15% è 6 (T = 15% = 0,15 ; A = 6 ;? B ) = =, = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 21 Percentuali - 2 Si calcoli l interesse che fruttano di 1000 euro investiti per un anno ad un interesse del 5% (T = 5% = 0,05 ; B = 1000 ;? A) = =, = Si voglia calcolare la variazione percentuale T di una variabile di cui si conoscano B = valore iniziale e N = valore finale. Si ha: T = (N-B) / B Si calcoli la variazione percentuale delle vendite di auto, passate in un anno da 1200 a 1350 = = = =, =, % Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 22 11

12 Proporzioni Una proporzione è data dall uguaglianza tra due rapporti: a/b = c/d oppure a:b=c:d Vale la relazione: a d = b c Es. se 16 studenti su 100 sono stranieri, quanti stranieri ci sono su 250? : = : = = = Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 23 Potenze -1 La potenza di un numero a, detto base, con esponente n è il prodotto di n numeri tutti uguali ad a : Con a Q e n N = n volte Se la base è positiva, il valore della potenza è sempre positivo Se la base è negativa, il valore della potenza è positivo se l esponente è pari, negativo se l esponente è dispari. Es. 5 2 = 25 ; (-5) 2 = 25 ; (-5) 3 = -125 Si ha a 1 = a a 0 = 1 (purché a 0) 0 n = 0 (purché n 0) 1 n = 1 Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 24 12

13 Potenze -2 Prodotto di due potenze con uguale base: Es = = 2 5 = 32 a m a n = a m+n Quoziente di due potenze con uguale base: Es. (-3) 5 /(-3) 2 = (-3) 5-2 = (-3) 3 = -27 a m / a n = a m-n La potenza con esponente negativo è uguale al reciproco della stessa potenza, ma con esponente opposto: a -n = (1 / a) n Es. 5-2 = (1/5) 2 = 1 2 /5 2 = 1/25 = 0, = 3 2 = 27 8 = 3,375 Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 25 Potenze -3 La potenza del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle potenze di ciascun fattore: (a b c) n = a n b n c n (proprietà distributiva) La potenza del quoziente di due numeri è uguale al quoziente delle potenze di ciascuno dei due numeri dati: (a / b) n = a n / b n (b 0) Si ha: (a m ) n = a m n (conseguenza della proprietà distributiva) Es. (3 2 ) 3 = = 3 6 = 729 Paolo Montanari Appunti di Matematica Numeri 26 13