Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una

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1 NUMERI INTERI E NUMERI DECIMALI Come si può esprimere il risultato dl un conteggio e di una misura? Quando si dice che In una cassetta sono contenuti 45 penne e che una lamiera misura 1,35 m. dl lunghezza, si esprime il risυltato di un conteggio o di una misura. Questi risultati si esprimono dunque per mezzo di numeri: 45 è un numero intero; 1,35 è un numero decimale. Che cosa rappresenta ciascuna cifra di un numero? Ciascuna delle cifre di un numero rappresenta delle unità di un certo ordine. Esempio: Nel numero Intero rappresenta le unità semplici, 7 " le decine, 3 " le centinale, 4 " le migliaia, 8 " le decine dl migliaia, ecc. Tutte queste unità sono dette intere e il numero si legge: ottantaquattromilatrecentosettantadue unità. Nel numero decimale 0,2398: 2 rappresenta i decimi, 3 " i centesimi, 9 " i millesimi, 8 " i decimillesimi, ecc. Tutte queste unità sono dette decimali, e il numero si legge: due mila tre cento novantotto decimillesimi Le unità intere e decimali, sono tali che una unità di un qualunque ordine vale 10 unità dell'ordine immediatamente inferiore. Esempio: un centinaio vale 10 decine; un centesimo vale 10 millesimi; Quando un ordine di unità manca di un numero, in suo luogo, si scrive la

2 cifra 0 ( zero ). Esempio : Il numero ottomilasette, si scrive 8007 Come si scrive correttamente un numero? Si separano le cifre del numero in gruppi di tre, a partire dalla destra se il numero è intero e a partire dalla virgola, sempre verso sinistra se il numero è decimale, lasciando uno spazio o inserendo un punto (come pedice) fra i gruppi di cifre. Esempio: oppure Come si può rendere un numero 10, 100, 1000 più grande? Per rendere un numero 10, 100, 1000 volte più grande, se il numero è intero, si aggiungono 1, 2, 3.. zeri alla sua destra, così il numero 926, reso 100 volte più grande diventa , se il numero è decimale, si sposta la virgola di 1, 2, 3 posti verso destra (aggiungendo degli zeri nel caso in cui le cifre non siano in numero sufficiente); così il numero 2, 34 reso 1000 volte più grande diventa Come si può rappresentare un numero su una semiretta graduata e su una circonferenza graduata? Esempio : su una semiretta OA, segniamo dei punti equidistanti 0, 1, 2, 3, 4,... O A O 2 M 3 A il punto M rappresenta il numero 2, 7.

3 Allo stesso modo si divide la circonferenza in parti (archi) uguali, che successivamente graduiamo. Le quattro operazioni fondamentali ADDIZIONE Come si fa un'addizione Per fare correttamente un'addizione, si scrivono i numeri gli uni sotto l'altro, scrivendo in una stessa colonna le unità dello stesso ordine. Si sommano le cifre in colonna cominciando da destra e si riportano le unità di ordine superiore nella colonna seguente. Es. 2 1 riporti addendo 2 9, addendo 1 0 8, 7 = addendo 5 6 4, 2 4 somma I termini dell'addizione si chiamano addendi ed il risultato somma. L'addizione gode delle proprietà commutativa (cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia) es = 27 e = 27 associativa (associando due o più addendi la somma non cambia) es = ( ) + 18 = = 38 dissociativa ( dissociando uno o più addendi in più addendi la somma non cambia) es = = 35 gode dell'esistenza dell'elemento neutro, "lo zero" ( sommando ad un numero lo zero si ottiene il numero stesso)

4 es = 14 Prova dell'addizione Per fare la prova dell'addizione, si ripete l'operazione in senso contrario, cioè dal basso verso l'alto anziché dall'alto verso il basso. Si deve ottenere lo stesso risultato. Somma di numeri complessi Si trovano i titoli delle unità dello stesso ordine, cominciando dalle più piccole. Ogni totale che supera l'unità di ordine superiore, si decompone e si riportano le unità eccedenti. Es. 8 h 30 m 15 s + 3 h 50 m 30 s = 11 h 80 m 45 s + 1 h = riporto 12 h 20 m 45 s Somma di misure Dovendo sommare delle misure, bisogna che queste siano tutte della stessa specie ( tutte lunghezze, o tutte superfici o...) ed inoltre che siano tutte delle stessa unità di misura. Se le unità di misura sono diverse, si riducono prima nella stessa unità di misura e poi si esegue la somma.

5 SOTTRAZIONE Come si fa una sottrazione L'operazione di sottrazione si svolge scrivendo i due numeri che si debbono sottrarre, uno sotto l'altro, collocando nella stessa colonna le unità dello stesso ordine. Cominciando da destra verso sinistra si fa la sottrazione delle unità di ogni colonna. Se la cifra del numero che si deve sottrarre è più grande della cifra corrispondente del numero da cui si deve sottrarre, si aggiunge a quest'ultima cifra una unità dell'ordine superiore trasformata in dieci unità dell'ordine inferiore ( ricordando però quando si passa alla colonna successiva che la cifra del minuendo è stata diminuita di una unità), e si esegue la sottrazione. Es , 7 - minuendo 2 8, 2 = sottraendo 6 1 4, 5 differenza I termini della sottrazione si chiamano minuendo, sottraendo e differenza Prova della sottrazione Per fare la prova della sottrazione, si deve sommare la differenza ed il sottraendo, il risultato deve dare il minuendo. Differenza di numeri complessi Si sottraggono le unità dello stesso ordine cominciando dalle più piccole. Quando il numero delle unità che si debbono sottrarre è maggiore di quello da cui bisogna sottrarre, al minuendo si fa un riporto di unità dell'ordine superiore trasformato nell'ordine inferiore e si somma alle unità

6 precedenti, permettendo l'operazione. Es ' 38'' ' 98'' ' 50'' = 5 34' 50'' = 7 9' 48'' Differenze di numeri complessi Vale quanto detto per il N 4 dell'addizione. MOLTIPLICAZIONE Come si fa una moltiplicazione Si moltiplica il moltiplicatore per il moltiplicando, cominciando da destra. Se un prodotto è superiore a dieci, si fa il riporto di unità nel prodotto seguente. Quando il moltiplicatore è composto da più cifre, si moltiplica ciascuna di esse, una per volta, per il moltiplicando. Si scrivono i prodotti parziali l'uno sotto l'altro, in maniera che le cifre che rappresentano le unità dello stesso ordine siano successivamente scalate di un posto a destra (*), poi si sommano i prodotti parziali. Se il moltiplicando e (o) il moltiplicatore, cioè i fattori sono numeri decimali, nel prodotto finale, si posizionala virgola contando da destra verso sinistra tanti posti quanti sono le cifre decimali dei fattori. Es. riporto moltiplicando x x fattori moltiplicatore 4 = 3 8 = (*) prodotto x x 30

7 I termini della moltiplicazione si chiamano moltiplicando, moltiplicatore o fattori ed il risultato prodotto. moltiplicazione per 10, 100, 1000,... Per moltiplicare un numero per 10, 100, 1000,... (se il moltiplicando è intero) si aggiungono alla destra del numero tanti zeri quanti sono gli zeri del moltiplicatore. Nel caso in cui il moltiplicando sia invece un numero decimale si sposta la virgola a destra di tanti posti quanti sono gli zeri del moltiplicatore, aggiungendo eventualmente degli zeri, nel caso in cui le cifre del moltiplicando non siano in numero sufficiente. Es. 35 x 10 = 350 x 100 = ,73 x 10 = 47, 3 28, 48 x 1000 = Non è pertanto necessario fare l'operazione completa. 3. Moltiplicazione per 0,1; 0,01; 0,001;... Per moltiplicare un numero per 0,1; 0,01; 0,001;... si sposta la virgola del moltiplicando verso sinistra di tanti posti quanti sono gli zeri + 1 del moltiplicatore, se il numero delle cifre del moltiplicando non sono in numero sufficiente si aggiungono degli zeri. Nel caso in cui il numero sia intero, si considera la virgola posta a destra alla fine del numero. Es. 35 x 0,1 = 3,5 436,52 x 0,0001 = 0,43652

8 DIVISIONE I termini della divisione si chiamano dividendo, divisore, quoziente e resto. Come si esegue una divisione divisione tra due numeri interi dividendo maggiore del divisore Per fare la divisione tra due numeri interi bisogna considerare per prima cosa tante cifre del dividendo quante sono quelle del divisore. Se il divisore è più grande del numero espresso dalle cifre considerate del dividendo, a queste se ne aggiunge ancora una del dividendo Si deve ora trovare un numero che moltiplicato per il divisore, ci dia un numero uguale, o nel caso non sia possibile, che si avvicini per difetto quanto più possibile al numero individuato dalle cifre (prese in considerazione) del dividendo. A tale scopo, si considera la prima cifra del divisore e si verifica quante volte essa è contenuta nella prima o al massimo nelle prime due cifre del dividendo, l'eventuale resto lo si considera come scritto alla sinistra della successiva cifra del dividendo. Se la seconda cifra del divisore è contenuta in quest'ultimo numero lo stesso numero di volte trovato per la prima delle sue cifre, questo numero (prima cifra del quoziente) lo si scrive sotto il divisore e lo si moltiplica per quest'ultimo, il risultato ottenuto va riportato sotto le cifre del dividendo considerate e, si esegue fra queste la sottrazione; Se ciò non accade si diminuisce di una unità il numero di volte che la prima cifra del divisore è contenuta nelle cifre considerate del dividendo e si continua così finché non si verificano le condizioni del punto V.

9 Se il divisore è formato da più di due cifre, il procedimento fatto ai punti IV, V e VI per le prime due cifre viene esteso alle altre. Se il dividendo presenta ulteriori cifre, la prima fra quelle non considerate in precedenza, la si affianca al resto trovato e si ripetono tutti i passaggi fin qui espressi. Se non ci sono ulteriori cifre nel dividendo, la divisione termina, oppure si può continuarla aggiungendo uno zero al resto e la virgola al quoziente. Divisore più grande del dividendo: si aggiunge uno zero al dividendo si scrive zero seguito da una virgola al quoziente e si procede come nel caso precedente. divisione tra numeri decimali dividendo decimale e divisore intero Quando la divisione tra la parte intera del dividendo per il divisore è terminata, si scrive una virgola al quoziente e si continua come normalmente. divisore decimale - dividendo e divisore entrambi decimali Si moltiplicano entrambi i termini della divisione per 10, 100, finché il divisore non diventi intero. Come si controlla il risultato della divisione Si moltiplica il quoziente per il divisore, al prodotto si aggiunge l'eventuale resto. Se il risultato ottenuto coincide con il dividendo, la divisione è svolta correttamente. Divisione per 10, 100, 1000,... Si sposta verso sinistra la virgola di uno, due, tre,... posti, tanti, quanti sono gli zeri del divisore,

10 aggiungendo se necessario degli zeri. Se il numero è intero, si considera la virgola come scritta alla fine del numero. Divisione per 0,1; 0,01; 0,001;... Si sposta la virgola verso destra di uno, due, tre,... posti, tanti quanti sono gli zeri del divisore, aggiungendo se necessario degli zeri. Se il numero è intero, si considera la virgola come scritta alla fine del numero. Prova per nove delle quattro operazioni. Il criterio di divisibilità di 1111 numero per 9, trova una pratica applicazione per verificare l'esattezza del risultato ottenuto eseguendo una delle quattro operazioni fondamentali. Prova dell'addizione. Si calcolano i resti per 9 degli addendi. Se l'operazione è stata ben eseguita, la somma di tali resti ed il totale, divisi per 9 devono dare resti uguali Es.: resto della divisione per resto della divisione per = resto della divisione per 9 4 = 1142 resto 8 17 resto 8

11 Prova della sottrazione. Si calcola il resto della divisione per 9 del minuendo e del sottraendo. Dal primo resto (aumentato eventualmente di 9) si toglie il secondo; se questa differenza ed il risultato della sottrazione, divisi per 9 danno resti uguali, l'operazione è stata ben eseguita. Es.: resto della divisione per = resto della divisione per 9 6 = 263 resto 2 resto della divisione per 9 2 resto 2. Prova della moltiplicazione. Si calcolano i resti della divisione per 9 dei fattori e si determina il pro dotto di tali resti. Se l'operazione è stata ben eseguita, il resto della divisione per 9 di tale prodotto deve essere uguale al resto della divisione per 9 del prodotto dei numeri dati. Es.: 745 x resto della divisione per 9 7 x 32 = resto della divisione per 9 5 = 35 resto resto 8 Prova della divisione. Si calcolano i resti della divisione per 9 del divisore, del quoziente e de] resto. Si esegue il prodotto dei primi due resti, si aggiunge il terzo e si calcola il resto della divisione per 9 del numero così

12 ottenuto. Se l'operazione è stata ben eseguita, quest'ultimo resto deve essere uguale al resto della divisione per 9 del dividendo. Es.: resto del divisore 6 x resto del quoziente 2 = resto del resto 7 = resto del dividendo 1 19 resto 1 N.B. La prova per 9 delle quattro operazioni non ci assicura l'esattezza del risultato, perché se eseguendo un'operazione si commette un errore che sia 9, o un multiplo di nove, esso non risulta eseguendo la prova.

13 MISURA DEGLI ANGOLI, DEGLI ARCHI e DEI TEMPI Misura degli angoli. Per misurare gli angoli si prende per unità l'angolo di un grado, cioè l'angolo che ha una ampiezza eguale alla trecentosessantesima parte dell'angolo giro. L'angolo di un grado ha due sotto multipli, e cioè l'angolo chiamato minuto, e l'angolo chiamato secondo. L'angolo di un grado vale 60 minuti. L'angolo di un minuto vale 60 secondi. Un angolo ed un tempo non si misurano con un numero decimale, ma con un numero che si chiama numero complesso. Per esempio un angolo di 3 gradi, 5 primi e 20 secondi si indica con il numero complesso: 3 5' 20". Misura degli archi. La misura di un arco di circonferenza è la stessa dell'angolo al centro che su quella circonferenza corrisponde all'arco dato. Per esempio se un angolo al centro su una circonferenza misura 30 35', l'arco che corrisponde a questo angolo, avrà un misura di 30 35'. Misura dei tempi. L'unità di misura del. tempo è Il giorno. Il giorno ha come sottomultipli : l'ora, il minuto, il secondo. 1 giorno vale 24 ore 1 g =24h 1 ora vale 60 minuti 1 h = 60 m 1 minuto vale 60 secondi 1 m = 6O sec

14 Un tempo si indica quindi ancora con un numero complesso. Da notare che i simboli usati per indicare i minuti ed i secondi come unità di tempo sono diversi da quelli usati per indicare le unità degli angoli. TRASFORMAZIONE DI UN NUMERO COMPLESSO IN UNITA' DELL'ORDINE. PIU' PICCOLO Esempio: Trasformare 5 35 ' 40 '' in secondi. 5 valgono 60' x 5 = 300 ' 5 35' valgono 300' + 35' = 335' 335' valgono 335' x 60'' = '' 5 35' 40'' valgono '' + 40'' = '' TRASFORMARE UN NUMERO COMPLESSO IN UNITA' SUPERIORE Esempio: Trasformare '' in gradi, minuti e secondi: L'operazione si dispone così: '' ' 60 " ' " " 43''

15 16.243" valgono 4 30' 43'' LE POTENZE L'operazione potenza nasce dalla necessità di snellire l'espressione di un prodotto, quando i fattori sono tutti uguali. Ad esempio nella espressione: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 il fattore 2 e ripetuto ben sei volte. Tale espressione può invece scriversi più brevemente 2 6 ( si legge due alla sesta). Una scrittura del tipo 2 6 chiamasi potenza. Essa come si può notare è formata da due numeri, nel nostro caso il due a cui si dà il nome di base ed il sei a cui si dà il nome esponente. E' evidente che l'esponente indica quante volte è scritto il fattore, nella nostra espressione il due è scritto ben sei volte. Così con la scrittura 3 5 si vuole indicare che il numero 3 è moltiplicato 5 volte per se stesso. Così : 2 3 = 2 x 2 x 2 ( il fattore due è "considerato" 3 volte) 2 2 = 2 x 2 ( il fattore due è "considerato" 2 volte) 2 1 = 2 ( il fattore due è "considerato" una sola volta) 2 0 = 1 ( il fattore due è "considerato" zero volte, ciò significa che esso non influisce sul risultato dell'operazione, e l'unico numero che nella moltiplicazione è ininfluente è l'uno). Ogni numero intero è dunque una potenza con esponente unitario Ogni numero elevato alla zero è uguale ad uno

16 LE PROPRIETA' DELLE POTENZE Il prodotto di potenze che hanno la stessa base è uguale ad un'altra potenza che ha per base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti. Es. 2 3 X 2 2 = 2 5 infatti 2 x 2 x 2 X 2 x 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Il rapporto di due potenze aventi la stessa base è uguale ad un'altra potenza avente per base la stessa base e per esponenti la differenza degli esponenti. E' intuibile infatti che, se il prodotto dà origine alla somma, il rapporto che è l'operazione contraria del prodotto, darà origine alla differenza ( operazione contraria della somma). Il prodotto di potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad un'altra potenza avente per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente. Es. 2 3 x 5 3 = (2 x 5) 3 = 10 3 infatti 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 e applicando al prodotto, prima la proprietà commutativa 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 e poi quella associativa, 10 x 10 x 10 = 10 3 Lo stesso risultato si può verificare attraverso l'uso del calcolo manuale o con l'ausilio della

17 calcolatrice. Il rapporto di potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad un'altra potenza avente per base il rapporto delle basi e per esponente lo stesso esponente. Es : 5 3 = 2 3 x 10 x 10 ) : ( 5 x 5 x 5 ) applicando la proprietà dissociativa ( 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5) : ( 5 x 5 x 5 ) applicando la proprietà commutativa ( 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5) : ( 5 x 5 x 5 ) applicando la proprietà associativa ( 2 x 2 x 2 ) x ( 5 x 5 x 5) : ( 5 x 5 x 5 ) risulta pertanto evidente ( 2 x 2 x 2 ) = 2 3 c. v. d.

18 POTENZA DI POTENZA Una potenza che ha per base un'altra potenza dicesi potenza di potenza. Es. (2 3 ) 4 dicesi potenza di potenza, il 4 è l'esponente e 2 3 la base. La potenza di potenza è uguale ad una potenza avente per base la base della potenza primaria e per esponente il prodotto degli esponenti, così: (2 3 ) 4 = 2 12 infatti : (2 3 ) 4 = (2 3 ) x (2 3 ) x (2 3 ) x (2 3 ) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 12 Nessuna proprietà è stata attribuita alle potenze nelle operazioni di addizioni e di sottrazioni. In tali operazioni le potenze vanno quindi calcolate preventivamente e poi se ne considera il loro valore nel contesto dell'espressione. Es = = 12.

19 DIVISIBILITA' MULTIPLI E DIVISORI Se la divisione di due numeri è esatta, se cioè il resto è zero, si dice che il primo numero (dividendo) è multiplo del secondo (divisore), o che è divisibile per il secondo. Poiché ad es., dividendo 72 per 9 si ha per resto zero, diremo che: 72 è multiplo di 9, o che 72 è divisibile per 9. In questo caso sì dice anche che 9 è un divisore di 72, o un sottomultiplo di 72. E' evidente poi che: Ogni numero maggiore di 1 ammette almeno come divisori se stesso e l'unità. I divisori di un numero sono in numero limitato. Ad es. i divisori di 13 sono so1tanto 1 e 13, i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ogni prodotto è divisibile per ognuno dei suoi fattori. Ad es.: 5 x 7 x 9 = 315 è certamente divisibile per 5, 7 e 9, come risulta per una proprietà della divisione. Dato un numero qualsiasi, ad es. 9, moltiplicandolo successivamente per tutti i numeri della successione naturale 1, 2, 3, 4, 5,... otterremo i numeri 9, 18, 27, 36, 45,... che sono tutti multipli di 9, e sono evidentemente in numero illimitato. Cioè: I multipli di un dato numero si ottengono moltiplicandolo successivamente per ciascun numero della successione naturale, e seno in numero illimitato. I multipli di 2, cioè: 2, 4, 6, 8, 10,...si dicono numeri pari; tutti gli altri numeri interi non multipli di 2, si dicono numeri dispari.

20 CRITERI DI DIVISIBILITA' Studiamo ora alcune regole, chiamate criteri di divisibilità, che consentono di riconoscere se un numero è divisibile per alcuni altri, senza eseguire la divisione. Criterio di divisibilità per 2. E' evidente che i numeri divisibili per 2 sono solo i multipli di 2, cioè i numeri: 2, 4, 6, 8, 10,... Essi terminano tutti con cifra pari o con zero, ne segue che: Un numero è divisibile per 2, se termina con cifra pari, o con zero. Criterio di divisibilità per 5. I successivi multipli di 5, cioè tutti i numeri divisibili per 5 sono: 5, 10, 15, 20,... Essi terminano tutti con le cifre O oppure 5; ne segue che: Un numero è divisibile per 5, se termina con O, o con 5. Criterio di divisibilità per 10, 100, Un numero è divisibile per 10, 100, 1000,... se termina rispettivamente con 1, 2, 3,... zeri. Applicando tale regola si riconosce subito che i numeri 120, 3700, 43000, sono rispettivamente divisibili per 10, 100, Criterio di divisibilità per 4 o per 25 Un numero è divisibile per 4 o per 25, se lo è il numero formato dalle sue due ultime cifre a destra, o se termina con due zeri. Applicando tale regola si riconosce subito che i numeri: 300, 2344, 104, 2108 sono tutti divisibili per 4, mentre sono tutti divisibili per 25 i numeri: 425, 250, 1375, Divisibilità per 3, o per 9. Un numero è divisibile per 3, o per 9, se lo è la somma delle cifre.

21 Ad es. il numero 726 è divisibile per 3, perché la somma delle sue cifre: O 15 è divisibile per 3. Il numero 4356 è divisibile per 9, perché la somma delle sue cifre: = 18 è divisibile per 9. Il numero 674 ad es. non è divisibile nè per 3, nè per 9, perché non lo è la somma delle sue cifre = 17; Divisibilità per 11 Un numero è divisibile per 11, quando la differenza fra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari è zero, o 11, o un multiplo di 11. In un numero, le cifre di posto dispari sono la 1 a, la 3 a, la... partendo da destra verso sinistra, e le cifre di posto pari sono le altre, cioè la 2 a, la 4 a, ecc... Consideriamo ad es. il numero 8624; eseguendo la somma delle cifre di posto dispari 4 e 6, e di quelle di posto pari 2 e 8, si ha: = 10 e 2+8=10; poiché la differenza delle due somme ottenute è zero, possiamo affermare che il dato numero è divisibile per 11, come possiamo facilmente accertarci eseguendo la divisione. Se la somma delle cifre di posto dispari, risulta minore di quella delle cifre di posto pari, dalla maggiore delle due somme si sottrae l'altra. In modo analogo, considerando il numero , ed eseguendo la somma delle sue cifre di posto dispari e quella delle sue cifre di posto pari, si ha: = 29 e = 18; la differenza delle due somme ottenute: quindi il dato numero è divisibile per = 11,

22 MINIMO COMUNE MULTIPLO Per minimo comune multiplo (si indica con m.c.m.) tra due o più numeri si intende il più piccolo fra i multipli comuni dei numeri considerati. Si a data ad esempio la seguente coppia di numeri ( 4, 6 ) I multipli di 4 sono I multipli di 6 sono i multipli comuni sono evidentemente 12, 24, 36, 48, 60, 72,... il minore risulta evidentemente il 12. Si può concludere che il m.c.m. tra 4 e 6 è 12. Chiaramente non è conveniente scrivere ogni volta tutti i multipli dei numeri assegnati, al fine di ricercare il m.c.m. converrà pertanto ricorrere alla seguente regola: Si scompongono i numeri in fattori primi e si considerano i fattori comuni e non comuni una sola volta con il massimo esponente Es = = 2 * m.c.m. (4, 6) = 2 2 * 3 = 12 MASSIMO COMUNE DIVISORE Per massimo comune divisore (si indica con M.C.D.) il più grande tra i divisori comuni dei numeri considerati. Si consideri ad esempio la coppia di numeri (12, 18), I divisori di 12 sono I divisori di 18 sono I divisori comuni sono :

23 Il più grande è evidentemente il 6. Pertanto il M.C.D. tra ( 12, 18) è 6. Anche per la ricerca del M.C.D. non risulta però conveniente procedere nel modo indicato, quest'ultimo infatti, è utile solo per chiarire il concetto dello stesso, per il calcolo invece conviene seguire la seguente regola: Si scompongono i numeri in fattori primi e si considerano soltanto quelli comuni una sola volta con il minimo esponente. Es = 2 2 * = 3 2 * m.c.m. (12, 18) = 2 * 3 = 6 1 E' evidente che se i numeri assegnati non hanno divisori in comune oltre l'unità, sarà proprio quest'ultima ad essere il loro M.C.D.

24 LE FRAZIONI Ogni qualvolta si considera una o qualcuna delle parti uguali in cui viene suddiviso un qualcosa di qualsiasi natura, sia che si tratti di merce o di danaro o qualsiasi altra cosa, si parla di frazioni. Es. Prendiamo un foglio di quaderno, pieghiamolo in parti quattro parti uguali e consideriamone (colorandole magari) tre di queste quattro parti, diremo che abbiamo considerato i tre quarti del foglio. 1/4 1/4 1/4 1/4 3/4 Ognuna delle parti in cui abbiamo suddiviso il foglio rappresenta 1/4 del tutto. Di parti colorate ne abbiamo tre, quindi 3/4. Le scritture 1/4; 3/4; rappresentano il modo con cui vengono indicate le frazioni. E' evidente che per rappresentare le frazioni si ha bisogno di tre elementi: due numeri, il primo (numeratore) indica il numero delle parti considerate; il secondo (denominatore) le parti in cui abbiamo suddiviso la quantità. (Il denominatore deve essere un numero non nullo). una linea, detta linea di frazione.

25 Le frazioni sono di tre tipi: proprie improprie apparenti Una frazione si dice propria quando il numeratore è più piccolo del denominatore, impropria nel caso contrario, apparente quando numeratore e denominatore sono uguali (il loro rapporto è uno) o comunque quando il rapporto tra questi (numeratore e denominatore) dà un numero intero. Torniamo ora al foglio di quaderno, pieghiamolo in due parti uguali in senso verticale, e coloriamo una delle due parti. 1/2 la parte colorata rappresenta la metà del foglio ( 1/2 ); se ora operiamo una seconda piegatura al foglio, questa volta in senso orizzontale, il foglio risulterà suddiviso in quattro parti uguali, le parti colorate saranno ora quattro; la quantità colorata sarà però la stessa di prima. 1/4 1/4

26 Quindi in considerazione del fatto che 1/2 del foglio e i 2/4 dello stesso rappresentano la stessa parte, queste risultano equivalenti. Potremo ottenere altre frazioni equivalenti alle precedenti se continueremo ad effettuare sul foglio ulteriori piegature. Così 1/2, 2/4, 4/8... sono frazioni equivalenti. Algebricamente per passare da 1/2 a 2/4 o a 4/8, è sufficiente moltiplicare numeratore e denominatore per uno stesso numero (diverso da zero). Es. 1 = 1 x 2 = x x 4 4 = = 2 2 x x 5 5 = = 2 2 x /4 ; 4/8 ; 5/10 ;... sono tutte frazioni equivalenti ad 1/2. Con procedimento inverso, potremo dividere numeratore e denominatore per uno dei loro divisori comuni, ottenendo frazioni equivalenti a quella data. Dividendo numeratore e denominatore per il loro M.C.D. ridurremo la frazione ai minimi termini. La frazione oltre ad essere un simbolo che esprime il concetto di parte di una quantità, rappresenta anche i numeri decimali. Con la frazione infatti, si suole rappresentare una operazione, la divisione tra il numeratore (dividendo) e il denominatore (divisore), la linea di frazione rappresenta il simbolo di divisione.

27 Riduzione delle frazioni allo stesso denominatore Quando e perché bisogna ridurre le frazioni allo stesso denominatore? a) Le frazioni che non hanno lo stesso denominatore non sono facilmente confrontabili; per esempio, a prima lettura quanti saprebbero dire quale tra 4/7 e 3/5 sia la frazione maggiore? Invece, frazioni come 2/3, 7/3, 1/3 sono tutte composte da terzi di unità, e quindi più facilmente confrontabili, infatti esse sono tanto più grandi quanto lo sono i loro numeratori. Quindi per confrontare le frazioni occorre ridurle allo stesso denominatore (minimo comune multiplo). b) Per addizionare o sottrarre le frazioni tra loro. Dover ad esempio sommare i 2/3 e i 4/5 di una certa quantità può risultare in un primo momento non semplicissimo, se consideriamo invece frazioni equivalenti ad esse: 10/15 e 12/15, diremo subito che la loro somma è 22/15 Come si riducono le frazioni allo stesso denominatore? a) Si calcola il m.c.m. dei denominatori che diventa denominatore di ogni frazione. b) I precedenti denominatori risultano pertanto moltiplicati per un certo numero ( dato dal rapporto tra il m.c.m. e il precedente denominatore); dovendo ottenere frazioni equivalenti, sarà sufficiente moltiplicare i numeratori per lo stesso numero.

28 Operazioni con le frazioni addizione e sottrazione Per addizionare e (o) sottrarre delle frazioni, bisogna prima ridurle allo stesso denominatore e poi sommare e (o) sottrarre i nuovi numeratori. Es. denominatori uguali = = m.c.m.(5 ; 5) = 5 un denominatore è multiplo dell'altro = = (*) 10 m.c.m. (5 ; 10) = : 5 = 2 2 x 3 = 6 10: 10 = 1 1 x 1 = 1 i denominatori sono primi tra loro = = m.c.m. (3 ; 4) = : 3 = 4 4 x 2 = 8 12 : 4 = 3 3 x 5 = 15 i denominatori hanno divisori in comune = = m.c.m. (10 ; 4) = : 10 = 2 2 x 3 = 6 20 : 4 = 5 5 x 7 = 35

29 moltiplicazioni fra frazioni Il prodotto di due o più frazioni è uguale ad un'altra frazione che avrà per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Es x = N.B. Prima di eseguire i prodotti indicati, al fine di evitare calcoli a volte complessi, potrà risultare utile, quando è possibile, ridurre(semplificare) le frazioni ai minimi termini operando, se necessario, anche a incrocio (numeratore con il denominatore di una seconda frazione. divisioni fra frazioni Per eseguire la divisione tra due frazioni si deve moltiplicare la prima frazione con il reciproco della seconda frazione. Es : = x = Potenza di una frazione Per eseguire la potenza di una frazione si deve elevare, a seconda di quanto indica l'esponente, sia il numeratore che il denominatore.

30 Le frazioni e i numeri decimali La frazione oltre ad essere un simbolo che esprime il concetto di " parte di una quantità", rappresenta anche i numeri decimali. La frazione infatti, rappresenta una operazione, la divisione, tra il numeratore (dividendo) e il denominatore (divisore), la linea di frazione sta per il simbolo di divisione. Vediamo ora come trasformare una frazione in numero decimale e viceversa trovare la frazione generatrice del numero decimale. Trasformazione di un numero decimale in una frazione La frazione generatrice di un numero decimale avrà per: numeratore il numero stesso, omettendo però sia la virgola che gli zeri che eventualmente precedono la prima cifra non nulla, perché trascurabili. per denominatore il numero , a seconda di quante cifre decimali sono presenti nel numero da trasformare, dopo la virgola. Sarà conveniente poi ridurre la frazione ottenuta ai minimi termini. Trasformazione di una frazione in numero decimale Abbiamo già detto che la frazione rappresenta una divisione tra il numeratore ed il denominatore, quindi, per trasformare una frazione in un numero decimale sarà sufficiente eseguire tale operazione. Es. 5 4 = 1,125 la divisione ( 5 : 4 ) ha dato per resto zero N.B. Non sempre però è possibile convertire esattamente una frazione in un numero decimale.