Sistema di numerazione binario, operazioni relative e trasformazione da base due a base dieci e viceversa di Luciano Porta

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1 Sistema di numerazione binario, operazioni relative e trasformazione da base due a base dieci e viceversa di Luciano Porta Anche se spesso si afferma che il sistema binario, o in base 2, fu inventato in Cina, l aritmetica binaria, che rappresenta un numero con i soli simboli 0 e 1, fu elaborata in modo rigoroso dal grande matematico e filosofo tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) che in essa vide l immagine della creazione (l unità rappresentava Dio e lo zero il nulla da cui era stata originata ogni cosa). Affermò di utilizzare abitualmente e di preferire il sistema binario per la sua semplicità. Tuttavia fino alla la metà del 900 (prima della diffusione del computer) la numerazione in base 2 non fu utilizzata su larga scala. Per comprendere meglio il sistema di numerazione binario è opportuna una riflessione comparativa sul sistema che noi abitualmente usiamo, quello decimale, poiché a parte le diverse cifre utilizzate per scrivere i numeri, sono entrambi molto evoluti e presentano analoga struttura. Sistema di numerazione decimale: 1) per scrivere un numero usiamo le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 combinandole con le regole che seguono; 2) un unità di un certo ordine vale 10 volte quella alla sua destra e la decima parte di quella alla sua sinistra; 3) da destra verso sinistra le unità sono denominate unità semplici, decine, centinaia, migliaia,... ; 4) il sistema decimale è posizionale: il valore di ogni cifra varia a seconda della posizione che occupa nel numero: 111 = ) ogni posizione può contenere al massimo 9 unità di un certo ordine. Ora rappresentiamo con l abaco alcuni numeri in base 10: Osserviamo che 1 decina corrisponde a 10 unità semplici, che un centinaio corrisponde a 10 decine ciascuna delle quali corrisponde a 10 unità semplici. Pertanto un centinaio corrisponde a 100 unità semplici. Notiamo anche che la base de sistema di numerazione decimale è formata da un uno seguito da uno zero. Sistema di numerazione binario (base 2) : 1) per scrivere un numero si usano le cifre 0, 1 (es si legge uno, zero, uno, uno; es si legge uno, uno, zero, uno, zero) combinandole con le regole che seguono; 2) un unità di un certo ordine vale il doppio di quella alla sua destra e la metà di quella alla sua sinistra; 1

2 3) da destra verso sinistra le unità sono denominate (anche se su altri testi possono essere scritti altri nomi) unità semplici, duine, quartine, ottine, sedicine, trentaduine... 4) il sistema binario è posizionale:il valore di ogni cifra varia a seconda della posizione che occupa nel numero: ad esempio nel numero 11 il primo uno vale il doppio del secondo; 5) ogni posizione può contenere al massimo una unità di un certo ordine. Ora rappresentiamo con l abaco alcuni numeri in base 2: Notiamo che la base del sistema di numerazione binaria è formata da un uno seguito da uno zero. Valore di un unità di qualsiasi ordine nel sistema binario rispetto alle unità semplici: Corrispondenza dei numeri in base 10 e in base 2 (da un programma dell autore): 2

3 Trasformazione di un numero dalla base 2 alla base 10: 1) ricordiamo che in qualsiasi base le unità semplici hanno lo stesso valore; 2) rappresentiamo il numero in base 2; 3) spostiamo le unità nella colonna di destra con le regole della base 2: a ogni spostamento verso destra raddoppiamo le unità; 4) passiamo ora alla base 10; 5) con le regole della base 10 spostiamo verso sinistra il maggior numero di unità: a ogni spostamento verso sinistra le unità vengono divise per 10. 6) trascriviamo le unità rimaste su ogni colonna da sinistra verso destra. Possiamo tradurre la trasformazione con l abaco in procedimento aritmetico dopo aver scritto da destra verso sinistra sotto ogni cifra le potenze corrispondenti di due: (2) = 1* * * *2 0 = 1*8 * 1*4 + 0*2 + 1*1 = = 13 (10) Scriviamo un altro esempio: (2) = 1* * * * *2 0 = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 = = 26 (10) Trasformazione di un numero dalla base 10 alla base 2: 1) ricordiamo che in qualsiasi base le unità semplici hanno lo stesso valore; 2) rappresentiamo il numero in base 10; 3) spostiamo le unità nella colonna di destra con le regole della base 10; a ogni spostamento verso destra moltiplichiamo per dieci le unità; 4) passiamo ora alla base 2; 5) con le regole della base 2 spostiamo verso sinistra il maggior numero di unità: a ogni spostamento verso sinistra le unità vengono divise per 2. 6) trascriviamo le unità di ogni colonna da sinistra verso destra. 3

4 Possiamo tradurre la trasformazione con l abaco in procedimento aritmetico dividendo il numero per 2, annotando il resto, dividendo il quoziente (che si trasforma in nuovo dividendo) per 2, annotando il resto... fino a quando il quoziente è zero e il resto finale è 1. Notiamo come le divisioni a, b, c,... siano eseguite dalla destra alla sinistra della pagina per mantenere l analogia con la trasformazione con l abaco. I resti da sinistra a destra sono le cifre del numero. 11 (10) =... (2) I colori uguali indicano che il quoziente di una divisione diventa il dividendo della divisione successiva, mentre il divisore è sempre 2. d c b a DIVISIONE DIVIDENDO DIVISORE QUOZIENTE RESTO quindi: 11 (10) = 1011 (2) (10) =... (2) I colori uguali indicano che il quoziente di una divisione diventa il dividendo della divisione successiva, mentre il divisore è sempre 2. g f e d c b a DIVISIONE DIVIDENDO DIVISORE QUOZIENTE RESTO quindi: 72 (10) = (2) 4

5 Operazioni aritmetiche nel sistema binario (base2): Il sistema binario è posizionale e pertanto le operazioni dell aritmetica si effettuano con le stesse tecniche applicate per la base 10. Valgono in base 2 le stesse proprietà. Naturalmente possiamo usare solo le cifre 0 e 1. Ricordiamo che 2 unità semplici formano una duina, due duine una quartina... Possiamo anche eseguire operazioni tra numeri con la virgola ricordando che 0,1 è la metà di 1 e che 0.01 è la quarta parte di 1... Addizione: Ricordiamo solamente che la cifra scritta come somma in ogni colonna non deve superare 1. Se le unità sono 2 o più dobbiamo sostituirne 2 alla volta con una duina ( riporto ) e così via. Se le unità scritte come somma in una colonna sono dispari, una rimane nella colonna stessa. È didatticamente efficace pensare alla struttura dell abaco quando dobbiamo sostituire le unità di una colonna con unità che valgono il doppio nella colonna precedente. Sottrazione: Ricordiamo che nei prestiti una unità spostata a destra nella colonna accanto vale il doppio delle unità già presenti in quella colonna. Moltiplicazione: La tecnica è analoga a quella in uso con la base 10. Divisione: La divisione in base due è molto facile: le cifre del quoziente possono essere solo 0 e 1. i Pitagorici DIDATTICA E DIVULGAZIONE DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE LEZIONI QUATTRO 5

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