Sistema di numerazione binario, operazioni relative e trasformazione da base due a base dieci e viceversa di Luciano Porta

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1 Sistema di numerazione binario, operazioni relative e trasformazione da base due a base dieci e viceversa di Luciano Porta Anche se spesso si afferma che il sistema binario, o in base 2, fu inventato in Cina, l aritmetica binaria, che rappresenta un numero con i soli simboli 0 e 1, fu elaborata in modo rigoroso dal grande matematico e filosofo tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) che in essa vide l immagine della creazione (l unità rappresentava Dio e lo zero il nulla da cui era stata originata ogni cosa). Affermò di utilizzare abitualmente e di preferire il sistema binario per la sua semplicità. Tuttavia fino alla la metà del 900 (prima della diffusione del computer) la numerazione in base 2 non fu utilizzata su larga scala. Per comprendere meglio il sistema di numerazione binario è opportuna una riflessione comparativa sul sistema che noi abitualmente usiamo, quello decimale, poiché a parte le diverse cifre utilizzate per scrivere i numeri, sono entrambi molto evoluti e presentano analoga struttura. Sistema di numerazione decimale: 1) per scrivere un numero usiamo le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 combinandole con le regole che seguono; 2) un unità di un certo ordine vale 10 volte quella alla sua destra e la decima parte di quella alla sua sinistra; 3) da destra verso sinistra le unità sono denominate unità semplici, decine, centinaia, migliaia,... ; 4) il sistema decimale è posizionale: il valore di ogni cifra varia a seconda della posizione che occupa nel numero: 111 = ) ogni posizione può contenere al massimo 9 unità di un certo ordine. Ora rappresentiamo con l abaco alcuni numeri in base 10: Osserviamo che 1 decina corrisponde a 10 unità semplici, che un centinaio corrisponde a 10 decine ciascuna delle quali corrisponde a 10 unità semplici. Pertanto un centinaio corrisponde a 100 unità semplici. Notiamo anche che la base de sistema di numerazione decimale è formata da un uno seguito da uno zero. Sistema di numerazione binario (base 2) : 1) per scrivere un numero si usano le cifre 0, 1 (es si legge uno, zero, uno, uno; es si legge uno, uno, zero, uno, zero) combinandole con le regole che seguono; 2) un unità di un certo ordine vale il doppio di quella alla sua destra e la metà di quella alla sua sinistra; 1

2 3) da destra verso sinistra le unità sono denominate (anche se su altri testi possono essere scritti altri nomi) unità semplici, duine, quartine, ottine, sedicine, trentaduine... 4) il sistema binario è posizionale:il valore di ogni cifra varia a seconda della posizione che occupa nel numero: ad esempio nel numero 11 il primo uno vale il doppio del secondo; 5) ogni posizione può contenere al massimo una unità di un certo ordine. Ora rappresentiamo con l abaco alcuni numeri in base 2: Notiamo che la base del sistema di numerazione binaria è formata da un uno seguito da uno zero. Valore di un unità di qualsiasi ordine nel sistema binario rispetto alle unità semplici: Corrispondenza dei numeri in base 10 e in base 2 (da un programma dell autore): 2

3 Trasformazione di un numero dalla base 2 alla base 10: 1) ricordiamo che in qualsiasi base le unità semplici hanno lo stesso valore; 2) rappresentiamo il numero in base 2; 3) spostiamo le unità nella colonna di destra con le regole della base 2: a ogni spostamento verso destra raddoppiamo le unità; 4) passiamo ora alla base 10; 5) con le regole della base 10 spostiamo verso sinistra il maggior numero di unità: a ogni spostamento verso sinistra le unità vengono divise per 10. 6) trascriviamo le unità rimaste su ogni colonna da sinistra verso destra. Possiamo tradurre la trasformazione con l abaco in procedimento aritmetico dopo aver scritto da destra verso sinistra sotto ogni cifra le potenze corrispondenti di due: (2) = 1* * * *2 0 = 1*8 * 1*4 + 0*2 + 1*1 = = 13 (10) Scriviamo un altro esempio: (2) = 1* * * * *2 0 = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 = = 26 (10) Trasformazione di un numero dalla base 10 alla base 2: 1) ricordiamo che in qualsiasi base le unità semplici hanno lo stesso valore; 2) rappresentiamo il numero in base 10; 3) spostiamo le unità nella colonna di destra con le regole della base 10; a ogni spostamento verso destra moltiplichiamo per dieci le unità; 4) passiamo ora alla base 2; 5) con le regole della base 2 spostiamo verso sinistra il maggior numero di unità: a ogni spostamento verso sinistra le unità vengono divise per 2. 6) trascriviamo le unità di ogni colonna da sinistra verso destra. 3

4 Possiamo tradurre la trasformazione con l abaco in procedimento aritmetico dividendo il numero dato in base 10 per 2, annotando il resto, dividendo il quoziente (che si trasforma in nuovo dividendo) per 2, annotando il resto... fino a quando il quoziente è zero e il resto finale è 1. I resti, considerati dall ultimo al primo, sono le cifre del numero in base 2 (ripensare al procedimento con l abaco per comprendere il parallelismo col metodo aritmetico). 11 (10) =... (2) quindi: 11 (10) = 1011 (2) (10) =... (2) quindi: 72 (10) = (2) 4

5 Operazioni aritmetiche nel sistema binario (base2): Il sistema binario è posizionale e pertanto le operazioni dell aritmetica si effettuano con le stesse tecniche applicate per la base 10. Valgono in base 2 le stesse proprietà. Naturalmente possiamo usare solo le cifre 0 e 1. Ricordiamo che 2 unità semplici formano una duina, due duine una quartina... Possiamo anche eseguire operazioni tra numeri con la virgola ricordando che 0,1 è la metà di 1 e che 0.01 è la quarta parte di 1... Addizione: Ricordiamo solamente che la cifra scritta come somma in ogni colonna non deve superare 1. Se le unità sono 2 o più dobbiamo sostituirne 2 alla volta con una duina ( riporto ) e così via. Se le unità scritte come somma in una colonna sono dispari, una rimane nella colonna stessa. È didatticamente efficace pensare alla struttura dell abaco quando dobbiamo sostituire le unità di una colonna con unità che valgono il doppio nella colonna precedente. Sottrazione: Ricordiamo che nei prestiti una unità spostata a destra nella colonna accanto vale il doppio delle unità già presenti in quella colonna. Moltiplicazione: La tecnica è analoga a quella in uso con la base 10. Divisione: La divisione in base due è molto facile: le cifre del quoziente possono essere solo 0 e 1. i Pitagorici DIDATTICA E DIVULGAZIONE DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE LEZIONI QUATTRO 5