Altri sistemi di Numerazione

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1 Capitolo 2 Altri sistemi di Numerazione Descriviamo ora il sistema di numerazione binario e le operazioni in esso definite. Faremo dei cenni al sistemi di numerazione ottale e esadecimale e alla loro conversione nel sistema binario Indice del capitolo 2.1 I sistemi di numerazione alternativi Il sistema binario La somma La differenza Prodotto e divisione Il sistema ottale Dagli ottali ai binari Dai binari agli ottali Il sistema esadecimale Dagli esadecimali ai binari Dai binari agli esadecimali Tabelle 2.1 I primi dieci numeri binari Somma di numeri binari

2 2.1 I sistemi di numerazione alternativi Differenza di numeri binari Prodotto di numeri binari Corrispondenza dei numeri ottali Corrispondenza dei numeri esadecimali I sistemi di numerazione alternativi Pensiamo per un attimo di vivere in un mondo dove le cifre a disposizione per contare non siano 10, ma bensì 2. Questo vuol dire che tutto ciò che ho a disposizione sono 1 e 0. Questo mondo, che può apparire assurdo, è quello invece reale di tutti i calcolatori, a partire dalle calcolatrici tascabili, passando per i telefonini e raggiungendo infine i computer. Per alcune macchine calcolatrici o parti di essa sono stati progettati anche sistemi che lavorano a 8 cifre, sistemi ottali, e sistemi che lavorano a 16 cifre, cioè sistemi esadecimali. Noi porremo particolare attenzione al sistema binario, mentre faremo solo dei cenni per tutti gli altri. Ricordiamo che il nostro sistema di numerazione, poichè composto da 10 cifre e basato sulle potenze di 10, prende il nome di sistema decimale. 2.2 Il sistema binario Il sistema binario è basato, come appena detto, su due cifre 1 e 0. Questo vuol dire che per rappresentare il numero decimale (o in base 10) 127 avremo bisogno di un numero binario (o in base 2) molto lungo formato solo da 1 e 0. Chiamiamo questa sequenza di numeri, come si fa nel mondo informatico, stringa. Per un numero binario non ha senso parlare di unità, decine, centinaia o migliaia, in quanto non è basato su una scala di potenze di 10 ma su una a potenze di 2. Se vogliamo scomporre, il numero decimale 127 in una scala di potenze di 10, come siamo abituati a fare, possiamo scriverlo nel seguente modo: = = 127 Questo vuol dire che ogni volta che scriviamo 127 sottintendiamo una suddivisione in centinaia, decine e unità. Pensiamo di fare lo stesso ma utilizziamo

3 10 Altri sistemi di N umerazione Binario Decimale Tabella 2.1: I primi dieci numeri binari le potenze di 2, questo vuol dire che il numero binario 111 (uno uno uno) si scriverà come svolgendo i conti appena descritti possiamo ricare il numero corrispondente in base 10 come = = 7 Utilizzando questo metodo è possibile tradurre qualsiasi numero binario in numero decimale facendo attenzione a scrivere le potenze di 2 nella posizione corretta. Nella tabella 2.1 sono elecanti i primi dieci numeri binari con la traduzione a fianco dei corrispondenti numeri decimali La somma La somma di numeri binari non è poi tanto diversa da quella di numeri decimale. Si svolge con le stesse regole e facendo attenzione ai vari riporti che si fanno ogni volta che due 1 di sommano tra di loro. Supponiamo per esempio di voler sommare i numeri decimali 3 e 4. Prima di tutto dobbiamo tradurli in numeri binari. Avvalendoci del metodo appena descritto, oppure

4 2.2 Il sistema binario 11 A B Somma Riporto Tabella 2.2: Somma di numeri binari consultanto la tabella 2.1, possiamo immediatamente scrivere che 4 = 100, mentre 3 = 11. Scriviamo quindi l addizione tra i due numeri: = = 7 Utilizzando lo stesso metodo scriviamo invece la somma dei numeri decimali 6 e 3 R = = 9 Riassumiamo in tabella 2.2 quello che abbiamo dedotto da questi esempi La differenza La differenza tra numeri binari si svolge analogamente alla somma, dove al posto dei riporti avremo dei prestiti. Supponiamo di voler calcolare la differenza tra 6 e 4: = = 2 è immediato verificare, secondo le regole della tabella 2.3, l esattezza del risultato. Proviamo ad eseguire ora un operazione apparentemente semplice, come la differenza tra 6 e 3

5 12 Altri sistemi di N umerazione A B Differenza Prestito Tabella 2.3: Differenza di numeri binari A B Prodotto Tabella 2.4: Prodotto di numeri binari = P = 3 Come possiamo osservare, in questo esempio vi è una complicazione rispetto a quello precedente: in un passaggio abbiamo una differenza tra 0 e 1. Questo ci obbliga a chiedere un prestito alla cifra successiva, la quale, se vale un 1 diventa semplicemente 0, mentre, se vale 0 diventa 1 andando a sua volta in prestito verso la cifra ad essa successiva Prodotto e divisione Il prodotto e la divisione sono altre due operazione, di cui una non banale, da compiere con i numeri binari. Vediamo subito la semplicità del prodotto tra due numeri con un esempio pratico. Riferendoci alle regole molto intuitive di tabella 2.4, eseguiamo la seguente moltiplicazione

6 2.2 Il sistema binario x 1 1 = x 3 = Come possiamo notare, non vi è differenza tra il procedimento logico del prodotto di due numeri decimali e tra quello di due numeri binari. Per quanto riguarda la divisione, come abbiamo già detto, la sua soluzione nel sistema binario non è proprio così immediata. Anche qua dal punto di vista logico non cambia molto dalla normale divisione. Consideriamo il seguente esempio per capirne il funzionamento : 11 = : 3 = Poichè 1 è minore di 11, aggiungiamo la cifra seguente ottenendo 10. Questo è ancora minore di 11, quindi prendiamo un altra cifra arrivando a 101. Quest ultimo è maggiore di 11 e quindi divisibile per esso, con resto di 10 (che è minore a sua volta di 11!! Questo controllo va fatto per verificare l esattezza dei conti!!!). Abbassiamo la cifra successiva ottenendo 100. Proseguiamo la divisione ottenendo 1 con resto di 1. Queste operazioni non sono assolutamente banali, ma possiamo applicare una scorciatoia quando la divisione o la moltiplicazione viene fatta per un numero che è una perfetta potenza di due (2,4,8,16,...). Così come possiamo nel sistema decimale, quando moltiplichiamo o dividiamo per 10,100,1000 (dieci, cento, mille), semplicemente aggiungiungere o togliere degli zeri al numero di partenza, possiamo fare la stessa cosa per i numeri binari aggiungendo o togliendo gli zeri (dove possibile) al numero di partenza, tanti quanti seguono la potenze di 2 in questione, come per esempio 10,100,1000 (uno zero, uno zero zero, uno zero zero zero,...) Riportiamo quindi un applicazione di quanto detto: 1010 x 100 = : 10 = 1010

7 14 Altri sistemi di N umerazione 2.3 Il sistema ottale Alcuni calcolatori preferiscono tradurre il proprio linguaggio di calcolo, in un sistema che possa essere più conveviente dal punto di vista computazionale, ovvero della quantità di calcoli che deve eseguire il calcolatore stesso per effettuare un operazione. Introduciamo quindi un secondo sistema di numerazione importante: il sistema ottale o in base otto. Questo è basato sulle potenze di 8 anzichè di 2. Va notato comunque il fatto che 8 stesso è una potenza di 2 e questo permette di tradurre in maniera rapida i numeri, dal sistema ottale direttamente in quello binario e viceversa. Le cifre che abbiamo a disposizione adesso non sono più 2 come nel sistema binario, ma bensì 8, mentre il modo di operare è pressochè la stesso. Le prime tre potenze di 8 sono 8 0 = 1, 8 1 = 8 e 8 2 = 64. Questo vuol dire che un numero ottale di due cifre può valere al massimo in decimale 63 a differenza di un numero binario di due cifre che al massimo può valere in decimale 3. Questo è un enorme vantaggio dal punto di vista del calcolo per un computer. Ricordando il fatto che abbiamo a disposizione otto cifre che vanno da 0 a 7, proviamo quindi a rappresentare il numero decimale 15 in base otto. Possiamo vedere il tutto come 15 = e quindi scrivere = = = 17 quindi il numero decimale 15 (quindici) diventa 17 (uno sette) in base otto. In tabella 2.5 sono elencati i primi 20 numeri in base otto Dagli ottali ai binari Il passaggio dai numeri ottali direttamente ai numeri binari è abbastanza immediato, in quanto basta trasformare ogni cifra ottale nelle tre corrispondenti binarie. Ciò è dovuto al fatto che otto è la terza potenza di due, quindi una cifra ottale corrisponde direttamente a tre cifre binarie. Per esempio consideriamo il numero decimale 15 che in base otto diventa 17 (uno sette). Se volessimo trasformalo in un numero binario dovremmo prendere una cifra

8 2.3 Il sistema ottale 15 Decimale Ottale Decimale Ottale Tabella 2.5: Corrispondenza dei numeri ottali alla volta (prima il 7 e dopo l uno) e quindi scriverla in binario come gruppo di tre cifre. Otterremo quindi 7 = = 001 e quindi il numero 17 corrisponderà a 17 = = 1111 Ricapitolando diciamo che siamo partiti dal numero deciamale 15 e abbiamo ottenuto in base otto il numero 17 (uno sette), che convertito in numeri binari diventa 1111 (uno uno uno uno) (provare a rinconvertilo in decimali per verificare che sia proprio 15) Dai binari agli ottali É possibile ovviamente eseguire anche l operazione contraria a quella precedentemente illustrata. Basta prendere un numero binario, considerare gruppi di tre cifre leggendo da destra verso sinistra, e trasformarli nel corrispettivo ottale. Consideriamo ad esempio il numero decimale 19 che in base due diventa Le prime tre cifre che troviamo sono sono 011 che corrispondono al numero 3 mentre le cifre rimanenti sono solo due. In questo caso

9 16 Altri sistemi di N umerazione basta aggiungere davanti all ultima cifra, tanti zeri quanti ne occorrono ad arrivare a tre cifre e quindi scriviamo che corrisponde al numero 2. Possiamo quindi scrivere 011 = = 2 da cui avremo = 23 quindi il numero binario corrisponderà al numero ottale 23 (due tre) che ritrasformato in numero decimale (vedi tabella 2.5) è proprio Il sistema esadecimale Al giorno d oggi tutti i computer hanno abbandonato il sistema di calcolo ottale, per basarsi su un sistema più conveniente dal punto di vista dei calcoli e della rappresentazione numerica. Questo prende il nome di sistema esadecimale o in base sedici. Anche questo è strutturato come il sistema binario e quello ottale, l unica differenza sta nel fatto che a nostra disposizione avremo 16 cifre e ragioneremo con le potenze di 16. Poichè noi conosciamo al massimo 10 cifre per rappresentare dei numeri, le altre sei rimanenti vengono prese dall alfabeto e in particolare, per la rappresentazione di un numero esadecimale, utilizzeremo le cifre da 0 a 9 de le lettere dalla A alla F. Nella tabella 2.6 sono riportate le corrispondenze con il sistema decimale. Proviamo ora a rappresentare un numero decimale nel sistema esadecimale, per esempio 19. Se scriviamo le prime tre potenze di 16 otteniamo: 16 0 = 1, 16 1 = 16 e 16 2 = 256. Questo vuol dire un numero esadecimale di due cifre può corrispondere al massimo al valore 255 nel sistema decimale, a differenza di quello ottale che poteva valere al massimo 63 e quello binario che era pari al massimo a 3. Per tradurre il numero 19 nel sistema esadecimale dobbiamo, come al solito, vederlo come somma di potenze di 16 e quindi scriviamo 19 = == =

10 2.4 Il sistema esadecimale 17 Decimale Esadecimale Decimale Esadecimale A B C D E F Tabella 2.6: Corrispondenza dei numeri esadecimali Questo implica che il trasformato di 19 sarà 13 (uno tre). Proviamo ora invece a tradurre un numero esadecimale come può essere AF nel suo corrispondente decimale. Scriviamo quindi AF = A F 16 0 = = = 175 Come abbiamo già affermato, con sole due cifre possiamo scrivere dei numeri di valore (nel senso decimale) molto elevato Dagli esadecimali ai binari Ripetiamo lo stesso ragionamento fatto per il sistema ottale, semplicemente notando che 16 è la quarta potenza di 2 (e non più la terza come prima) e quindi le cifre corrispondenti a ogni lettera saranno 4 e non più 3. Traduciamo quindi il numero AF in numero bianario. Utilizzando le tabelle 2.1 e 2.6 scriviamo: A = 1010 F = 1111 Componendo le cifre otteniamo semplicemente AF = Lascio al lettore l onere di verificare che il numero binario in questione corrisponda effettivamente al numero decimale ricavato in precedenza.

11 18 Altri sistemi di N umerazione Dai binari agli esadecimali Per eseguire l operazione contraria basta prendere il numero binario e considerare da destra verso sinistra gruppi di 4 cifre alla volta. Se le ultime rimanenti sono meno di 4 si aggiungono in testa tanti zeri quanti ne occorrono, fino al raggiungimento di 4 cifre. Proviamo quindi a tradurre il numero binario , che corrisponde in decimale a 428, in esadecimale. Troviamo innanzitutto due gruppi da quattro cifre e uno da una. Quest ultimo va completato con tre zeri per raggiundere le 4 cifre preposte. 1 gruppo = gruppo = gruppo = 0001 Utilizzando le tabelle 2.1 e 2.6 scriviamo: 1100 = C 1010 = A 0001 = 1 Il numero esadecimale corrispondente equivale a 1AC. Lascio al lettore l onere di verificare che il numero esadecimale in questione corrisponda effettivamente al numero decimale detto in precedenza.