Esercitazioni Informatica A. M. M. Bersani

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1 Esercitazioni Informatica A M. M. Bersani A.A. 2012/2013

2 Codifiche Scriviamo n b per intendere il numero n rappresentato in base 2, se b = 2, in base 10, se b = 10, e C2 se b = C2. L operatore mod è un operatore binario definito per numeri interi: a mod b è il resto della divisione intera a/b. Esercizio 1 Definire la rappresentazione binaria 1 del numero Usiamo il procedimento iterato dei resti che, ad ogni step, identifica il bit meno significativo. n n mod Otteniamo = Infatti, possiamo verificare la correttezza del calcolo applicando la definizione di numero binario: = = = 134. Esercizio 2 Definire la rappresentazione binaria del numero Notiamo che il numero 67=134/2. Quindi, possiamo utilizzare la rappresentazione binaria del numero eliminando la cifra meno significativa. Da = , otteniamo Infatti: = = = = 67. Nota: Da questo esempio capiamo che, dato un numero n 2 (n in base 2), l eliminazione della cifra meno significativa di n 2 realizza la divisione per 2 del numero (arrotondata all intero inferiore). Similmente, l aggiunta di uno 0 in posizione meno significativa (quindi in posizione 2 0 ) realizza la 1 Si intende la rappresentazione in binario naturale 1

3 moltiplicazione per 2. Ad esempio, = = = = = = = = = 134 Esercizio 3 Definire la rappresentazione binaria del numero Otteniamo = Infatti: n n mod = = = 21. Esercizio 4 Definire la rappresentazione binaria del numero Otteniamo = Infatti: n n mod = = = 127. Esercizio 5 Definire la rappresentazione in C2 del numero e del numero Calcoliamo dapprima la rappresentazione binaria del numero dato, che è già positivo. 2

4 n n mod Otteniamo = Siccome il numero presenta un 1 come cifra più significativa, anteponiamo uno 0: = C2 per ottenere la sua rappresentazione in C2. Ricordiamo, infatti, che la cifra più significativa di un numero in C2 ha peso 2 N 1 (negativo!!), dove N è il numero di cifre binarie che definiscono il numero. L esercizio non pone vincoli sul numero di cifre con cui rappresentare il numero; quindi, possiamo fermarci. Nel prossimo esercizio vediamo invece come gestire anche questa richiesta. Ora calcoliamo la rappresentazione C2 del numero : 1. complementiamo il numero C2 2. aggiungiamo 1 ottenendo C 1 ( ) = = C 1 ( ) + 1 = C2 Infatti, verifichiamo che = = Esercizio 6 Definire la rappresentazione in C2 del numero su 8 bit. Calcoliamo la rappresentazione binaria del numero (consideriamo quindi il suo valore assoluto). 3

5 n n mod Otteniamo = Siccome il numero presenta un 1 come cifra significativa, anteponiamo tanti 0 quante sono le posizioni da aggiungere per ottenere un numero sui bit richiesti (8, in questo caso). Quindi, uno 0 è sufficiente: = C2 Complementiamo e sommiamo 1 per ottenere: = C 1 ( C2 ) + 1 = C2 Infatti: = = Esercizio 7 Definire la rappresentazione in C2 del numero su 9 bit. Calcoliamo la rappresentazione binaria del numero (consideriamo quindi il suo valore assoluto). n n mod Otteniamo = Per calcolare il numero richiesto possiamo seguire due procedimenti. 1. Estendiamo a 9 bit con 4 zero, ottenendo C2. Poi calcoliamo la rappresentazione C2, complementando e sommando 1: = C 1 ( C2 ) + 1 = C2. 2. Estendiamo con un solo zero, ottenendo = C2. Poi calcoliamo a rappresentazione C2, complementando e sommando 1: = C 1 ( C2 ) + 1 = C2. Infine, estendiamo il numero ottenuto a 9 bit anteponendo 1 fino a coprire 9 bit, ottenendo ancora C2. 4

6 Esercizio 8 Definire la rappresentazione in C2 del numero su 7 bit. Un procedimento alternativo, noti i bit di codifica, si basa sulla definizione del numero C2: Dati N bit ed un numero positivo n 10 > 0, la rappresentazione in C2 del numero n su N bit equivale al numero: in binario naturale. (2 N n) 10. Quindi, il numero su 7 bit è codificato come: (2 N n ) 10 = ( ) 10 = (2 7 31) 10 = = in binario naturale. Quindi, calcoliamo in binario naturale, usando il solito procedimento: Otteniamo = e n n mod = C2 = = Esercizio 9 Definire la rappresentazione in C2 del numero su 8 bit. Sfruttando la proprietà introdotta nell esercizio precedente abbiamo: ( ) 10 = = Utilizziamo il risultato dell esercizio 1 in cui abbiamo ottenuto = Il numero in C2 su 8 bit è, dunque, C2. Infatti: C2 = = =

7 Esercizio 10 Eseguire la somma Calcoliamo la rappresentazione C2 di entrambi i numeri, predisponendo un numero adeguato di bit per eseguire la somma correttamente. n n mod Otteniamo = ; dunque, = C = C 1 ( C2 ) + 1 = C2. Dall esercizio 5 abbiamo = C2. Notiamo che la codifica di 456 richiede 10 bit mentre la codifica di 78 solo 8 bit. Estendiamo, quindi, la rappresentazione di 78 con 2 bit = C2 = C2. A questo punto possiamo caloclare la somma: = L operazione di somma produce OVERFLOW (somma di negativi produce positivo) su 10 bit, con riporto. Esercizio 11 Eseguire le seguenti somme in C2 su 4 bit: , , , , , Ricordiamo che, dati N bit, la rappresentazione in C2 consente di definire i numeri in [ 2 N 1,..., 2 N 1 1]; dunque, nel caso di 4 bit, l intervallo è : [ 2 4 1,..., ] = [ 8,..., +7]. Calcoliamo le rappresentazioni C2 di ogni numero: 2 10 = 0010 C2, 5 10 = 0101 C2, 3 10 = 0011 C2, 7 10 = 0111 C2, 5 10 = 1011 C2, 3 10 = 1101 C2. 6

8 Nell eseguire la somma, evidenziamo i bit più significativi per capire se l operazione produce overflow, secondo la seguente regola. Diciamo a, b gli addendi, r il risultato e a N 1, b N 1, r N 1 le cifre più significative di a, b e r. Abbiamo overflow quando: a N 1 = 0, b N 1 = 0, r N 1 = 1, overflow (somma di positivi con risultato negativo); a N 1 = 1, b N 1 = 1, r N 1 = 0, overflow (somma di negativi con risultato positivo). Gli altri casi non sono overflow : = 0111 L operazione di somma non produce OVERFLOW su 4 bit, quindi è corretta = 0110 L operazione di somma non produce OVERFLOW su 4 bit, quindi è corretta =

9 L operazione di somma produce OVERFLOW su 4 bit, quindi non è corretta; inoltre, si ha un bit di riporto = L operazione di somma non produce OVERFLOW su 4 bit, quindi è corretta; inoltre, si ha un bit di riporto = L operazione di somma non produce OVERFLOW su 4 bit, quindi è corretta; inoltre, si ha un bit di riporto. Esercizio 12 Convertire i seguenti numeri binari in decimale, utilizzando sia la codifica binaria naturale che C : = = C2 = = : = C2 = = : 10 2 = C2 = 2 1 8

10 Esercizio 13 Dato il numero calcolare il risultato della divisione intera con divisore 2 3 e definire il resto. La divisione di un numero per una potenza 2 m si esegue facilmente troncando il numero binario dopo m cifre meno significative: = Il resto corrisponde alla parte troncata: r = Esercizio 14 Dato il numero C2 calcolare il risultato della divisione intera con divisore 2 2 e definire il resto. In questo caso, non possiamo applicare direttamente il troncamento sul numero in C2. Ricaviamo il suo valore assoluto: C2 = Notiamo che il calcolo del valore assoluto è simmetrico a quello che utilizziamo per convertire un numero binario naturale nella sua rappresentazione C2. Prima sottraiamo 1 e poi complementiamo. La divisione si esegue troncando il numero binario ottenuto: = con cui si ottiene il valore assoluto del quoziente. Il valore assoluto del resto corrisponde alla parte troncata: Ora, calcoliamo il valore negativo del quoziente e resto: q = 1100 C2 ; il valore assoluto del resto è e la sua rappresentazione negativa in C2 è r = 101 C2. Esercizio 15 Rappresentare il numero 67,56 in virgola mobile (12, 5) 2 ed in virgola fissa (7, 5) 3 Nell esercizio 2 abbiamo già definito la rappresentazione binaria di Calcoliamo, dunque, la rappresentazione di 0, 56. Siccome richiede 7 bit, dovendo riempire 12 bit di mantissa e considerando la normalizzazione, richiediamo altri 6 bit di rappresentazione per il numero 0, 56. Nel caso di numeri frazionari, il procedimento iterato prevede l uso della moltiplicazione per 2; ad ogni step, viene identificato il bit più significativo. 2 Con (a, b) si intende una rappresentazione con a bit per la matissa e b bit per l esponente 3 Con (c, d) si intende una rappresentazione con c bit per la parte intera e d bit per la parte frazionaria 9

11 n n 2 0,56 1,12 0,12 0,24 0,24 0,48 0,48 0,96 0,96 1,92 0,92 1,84 Otteniamo 0, = = 0, La rappresentazione binaria e binaria normalizzata del numero 67, è: , = 1, Definiamo l eccesso K = = 15. Dunque, S = + M (12) = E (5) = (K + 6) 10 = = La rappresentazione in virgola fissa si ottiene troncando la parte decimale al 5 bit meno significativo: , Esercizio 16 Rappresentare il numero 2,78 in virgola mobile (8, 4) ed in virgola fissa (5, 8) Calcoliamo la rappresentazione di 0, 78. Evidenziamo 7 bit dalla parte decimale (2 sono necessarie per la codifica di 10 2 = 2 10 ) per la virgola mobile; calcoliamo 8 bit decimali per la virgola fissa. n n 2 0,78 1,56 0,56 1,12 0,12 0,24 0,24 0,48 0,48 0,96 0,96 1,92 0,92 1,84 0,84 1,68 Otteniamo 0, , = = 0, La rappresentazione binaria e binaria normalizzata del numero 2, è: 10, = 1,

12 Definiamo l eccesso K = = 7. Dunque, S = + M (8) = E (4) = (K + 1) 10 = 8 10 = La rappresentazione in virgola fissa si ottiene troncando la parte decimale al 5 bit meno significativo: 10, Esercizio 17 Rappresentare il numero -0,125 in virgola mobile (8, 4) ed in virgola fissa (5, 8) Il numero è composto dalla sola parte decimale. In questo caso, al fine di definire la rappresentazione in virgola mobile, dobbiamo evidenziare 9 bit dal primo 1 ottenuto durante il procedimento di moltiplicazione ripetuta. n n 2 0,125 0,250 0,25 0,5 0,5 1,0 0,0 0,0... Otteniamo 0, = 0, = 2 3. La rappresentazione binaria e binaria normalizzata del numero 0, è: 0, = 1, Definiamo l eccesso K = = 7. Dunque, S = M (8) = E (4) = (K + ( 3)) 10 = 4 10 = La rappresentazione in virgola fissa è: 00000, Esercizio 18 Rappresentare il numero -0,3 in virgola mobile (10, 6) Valgono le considerazioni fatte al precedente Esercizio 17; evidenziamo 10 bit dal primo 1 ottenuto. 11

13 n n 2 0,3 0,6 0,6 1,2 0,2 0,4 0,4 0,8 0,8 1,6 0, Otteniamo 0, 3 10 = 0, , = = 0, La rappresentazione binaria e binaria normalizzata del numero 0, 3 10 è: 0, = 1, Definiamo l eccesso K = = 31. Dunque, S = M (10) = E (6) = (K + ( 2)) 10 = = Esercizio 19 Calcolare in base 10 il numero in virgola mobile definito da S = + M (6) = E (4) = Definiamo l eccesso K = = 7. Il numero binario rappresentato in forma normalizzata è: 1, K+E (4) = 1, = 1, Quindi, 1, = = 0, Esercizio 20 Calcolare la somma dei seguenti due numeri rappresentati in virgola mobile (6, 4): S 1 = + M 1 (6) = E 1 (4) = S 2 = + M 2 (6) = E 2 (4) =

14 Definiamo l eccesso K = = 7. Il numeri binari rappresentato in forma normalizzata è: n 1 = 1, K+E1 (4) = 1, = 1, n 2 = 1, K+E2 (4) = 1, = 1, Per eseguire la somma, ricaviamo l equivalente di n 2 n 2 = 1, = 0, Quindi, 1, , = 1, Disponendo di una mantissa a 6 bit, il numero ottenuto viene troncato al 6 bit dopo la virgola. Il risultato della somma dei due numeri è dunque 1,

15 Logica Proposizionale Riassumiamo le principali leggi/proprietà: idempotenza : φ φ φ, φ φ φ de Morgan I : (A B) A B de Morgan II : (A B) A B distributiva I : A (B C) (A B) (A C) distributiva II : A (B C) (A B) (A C) assorbimento I : A (A B) A assorbimento II : A (A B) A Ricordiamo le leggi di passaggio dei connettivi,. Sia φ una formula ben formata: φ 1 φ, φ 1 1 φ 0 0, φ 0 φ Infine, ricordiamo che φ φ = 0 φ φ = 1. Esercizio 1 Semplificare le formule A ( A B), A ( A B). Le formule in questione possono considerarsi forme di assorbimento e, quindi, sono utilizzabili per semplificare espressioni più complesse. A ( A B) = assorbimento = A A B ( A B) = associativa = A A B A B = distributiva = A B (A A) = tautologia = A B 1 = passaggio = A B Possiamo verificare l equivalenza costruendo la tabella di verità per le due formule: A B A B A ( A B) A B

16 Semplifichiamo la seconda formula. A ( A B) = distributiva = A A A B = tautologia = 0 A B passaggio = A B Verifichiamo l equivalenza costruendo la tavola di verità: A B A B A ( A B) A B Esercizio 2 Semplificare la formula ((A B) C) A B C A C ((A B) C) A B C A C = de Morgan (A B) C A B C A C = distributiva (A B) C A C (B 1) = passaggio (A B) C A C B = de Morgan A B C A C = assorbimento Ex 1 A B C A = assorbimento C A Costruire la tavola di verità per verificare l equivalenza. Esercizio 3 Semplificare la formula (B C) (A B C). (B C) (A B C) = def. = ( B C) ( (A B) C) = associativa = ( B C) (A B) = C de Morgan = (B C) (A B) C = assorbimento Ex. 1 = B C A B = assorbimento Ex. 1 B A C 15

17 Costruiamo la tavola di verità: A B C B C A B C f B A C Esercizio 4 Semplificare la formula A (B (A C)). A (B (A C)) = def. = A (B ( A C)) = distributiva = ( A B) ( A ( A C)) = C associativa = ( A B) ( A A C) = idempotenza = ( A B) ( A C) = distributiva = A (B C) Costruiamo la tavola di verità: A B C B C A B C f B A C Considerando gli ultimi due passaggi, abbiamo ( A B) ( A C) = A (B C). Possiamo riscrivere l equivalenza come (A B) (A C) = A (B C). per evidenziare una legge distributiva per. 16

18 Esercizio 5 Semplificare la formula (A B C) (C D). (A B C) (C D) = de Morgan = (A B) C (C D) = assoc., assorb. = (A B) C = Costruiamo la tavola di verità utilizzando un accorgimento per evitare di costruire la tabella con le 16 possibili interpretazioni dovute alle 4 proposizioni atomiche {A, B, C, D}. L idea è costruire la tabella per le sole {A, B, C} ed utilizzare le proprietà di passaggio quando l atomo D occorre in una formula. A B C h = (A B C) h (C D) f = h (C D) (A B) (A B) C D D D D Esercizio 6 Verificare l equivalenza A B A B ( A B A B). Risolviamo l esercizio costruendo la tabella di verità delle due formule. Equivalentemente, è possibile usare le proprietà per ottenere la prima dalla seconda, o viceversa. Poniamo f 1 = A B A B e f 2 = A B A B. A B A B A B f 1 A B A B f 2 f Esercizio 7 Verificare le tautologie A B A B e A B A B. Costruiamo la tabella di verità per entrambe le formule; chiamiamo f 1 la 17

19 prima e f 2 la seconda. A B A B A B f 1 f La formula f 2 è una tautologia; f 1 non lo è. Esercizio 8 Dire se la formula A B (C D) è soddisfacibile. Per rispondere è sufficiente trovare un interpretazione tale che la formula abbia valore di verità pari ad 1. Ad esempio, ponendo D = 1 la formula è immediatamente soddisfatta, qualunque sia il valore assegnato ad A, B, C. Infatti, (C D) = 1 e quindi tutta la formula risulta vera. Esercizio 9 Verificare la tautologia (A A). Costruiamo la tavola di verità. La formula non è una tautologia. A A A A (A A) Esercizio 10 Sia il connettivo così definito A B A B Esprimere mediante i soli {, }. Consideriamo le interpretazioni che rendono 1 la formula A B. Per ciascuna di esse, definiremo una formula che è vera solo nell interpretazione considerata. Infine, la formula complessiva è l OR di tutte le formule trovate. In altre parole, ci chiediamo quando A B = 1? 1. O per A = 0, B = 0, 2. oppure per A = 0, B = 1. 18

20 Ora, identifichiamo due formule f 1, f 2 che rappresentino, rispettivamente, l interpretazione A = 0, B = 0 e l interpretazione A = 0, B = 1 e tali che f 1 f 2 sia equivalente a A B. Dobbiamo, quindi, fare in modo che f 1 = 1 quando A = 0, B = 0 e f 2 = 1 quando A = 0, B = 1. Questo avviene con: 1. f 1 = A B, 2. f 2 = A B. Quindi, otteniamo che A B f 1 f 2 ( A B) ( A B). Dovendo scrivere la formula con i soli connettivi {, }, usiamo de Morgan per riscrivere : A B ( ( A B) ( A B)). Esercizio 11 Sia f la formula la cui tabella di verità è così definita: A B C f Ricavare la formula in, equivalente ad f. Usiamo il procedimento descritto nell esercizio 10 ed otteniamo: f = ( A B C) (A B C) (A B C). Ora, procediamo con qualche semplificazione: = ( A B C) (A B C) (A B C) = distributiva = (( A A) B C) (A B C) = tautologia = (B C) (A B C) Usando de Morgan riscriviamo : f = (B C) (A B C) = ( (B C) (A B C)). 19

21 Esercizio 12 Dire se la formula (A (B A)) (A (A B)) è soddisfacibile. Costruiamo la tabella di verità della formula e verifichiamo l esistenza di un interpretazione che renda vera la formula. A B A B B A (A (B A)) (A (A B)) f La formula è soddifacibile. Possiamo semplificare la formula data: = (A (B A)) (A (A B)) = def. = (A A B) (A (A B) = assorbimento e Ex.1 = (A B) A = assorbimento Ex.1 = A B Notiamo, infatti, che le uniche interpretazioni (uguali) che rendono vera la formula sono A = 0, B = 1. La formula A B è vera solo in questa interpretazione. 20