Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1

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1 Luca Costabile Esercizi di Logica Matematica Dispensa Calcolo Proposizionale 1 Esercizio 1.12 Per dimostrare che per ogni funzione esiste una formula in cui compaiono le variabili tale che la corrispondente tavola di verità sia proprio si può procedere in questo modo: supponiamo di avere una tavola di verità, per prima cosa si considera le righe relative al valore di verità. Poi per ognuna di esse si guarda il valore di verità delle singole variabili e si fa la congiunzione di ogni variabile prendendo lei stessa, se il suo valore di verità è, o la sua negazione, se il suo valore di verità è. Infine si fa la disgiunzione delle formule ottenute. Per capire meglio questo procedimento consideriamo per esempio la seguente tavola di verità: dove sono le variabili e è la formula che sto cercando. Seguendo il metodo spiegato sopra, considero la prima e la terza riga. Per la prima riga la formula che si ottiene è in quanto i valori di verità delle variabili sono tutti veri; per la terza riga si ottiene in quanto il valore di verità di è (e quindi quello di ). Facendo la disgiunzione di queste due formule si ottiene la formula finale. Verifico che la tavola di verità della formula corrisponde a quella della formula : Quindi ho trovato la formula che stavo cercando, ovvero.

2 Esercizio 1.14 Supponiamo che le formule e siano tautologie, allora per ogni interpretazione I vale che I e che I. La formula in accordo con la sua tavola di verità è vera nei seguenti casi : 1) I e I ; 2) I e I ; 3) I( e I. Poiché per ipotesi I per ogni I, allora l unico caso accettabile è il primo e quindi I per ogni I. Esercizio 1.15 Supponiamo che la formula sia una tautologia, verifico attraverso le tavole di verità che allora sono tautologie anche, e : Esercizio 1.16 Verifico attraverso le tavole di verità che le seguenti formule sono tautologie: 1) 1)

3 2) Denoto con,,,,,. 3) ( Denoto con e con ( Esercizio 1.17 : se è una tautologia per tutte le formule allora lo è in particolare se prendo come formule

4 (perché anche le variabili sono formule, infatti sono dette formule atomiche). Ottengo quindi che = è una tautologia. sia una tautologia, allora lo è per tutte le possibili combinazioni dei valori di verità delle variabili. Fra queste combinazioni c è in particolare anche quella relativa ai valori di verità delle formule, dunque è una tautologia. Esercizio 1.18 La risposta alla prima domanda è falso e si può vedere con il seguente contro esempio: sia una tautologia (è una tautologia poiché è una tautologia), le cui sottoformule sono e. Siano e e sia =, verifico attraverso la tavola di verità che non si tratta di una tautologia: Invece la risposta alla seconda domanda è vero, infatti: se è una tautologia per tutte le formule allora lo è in particolare se considero, ottenendo quindi che è una tautologia.

5 Esercizio 1.21 Verifico attraverso le tavole di verità che valgono le seguenti equivalenze logiche: 1) Proprietà associative:

6 2) Proprietà distributive: 3) Leggi di De Morgan: 4) Contronominale:

7 5) 6) 7) 8) Esercizio 1.22 Dimostrazione del teorema 1.22: per ipotesi, per ogni i vale, allora per definizione I( I( per ogni i. Rimanendo quindi uguali le interpretazioni delle sottoformule, rimane uguale anche l interpretazione globale della formula. Cioè I( = I( ovvero.

8 Esercizio 1.23 Dimostro che la formula ottiene che : : usando le equivalenze logiche si ; ; ;. ; Denotando con, la formula di partenza diventa. Usando nuovamente le equivalenze logiche si ottiene: ] ] {[ } [ } ) ( )) )]. Applicando infine il teorema 1.22, giungo ad una formula del tipo che è una tautologia.

9 Esercizio 1.25 Dimostro che, attraverso le equivalenze logiche, posso usare i soli connettivi, per esprimere. Infatti: ; ;. Esercizio 1.26 Posso ottenere gli altri connettivi anche se considero i soli, : ; ;. E anche se considero solo, : ; ;. Se invece considero le coppie oppure oppure oppure non riesco ad ottenere tutti gli altri connettivi e questo si può vedere attraverso le tavole di verità. Per esempio nel caso le uniche formule che posso fare sono oppure ed entrambe sono logicamente equivalenti ad stessa (quindi anche combinandole fra loro ottengo sempre, dunque non posso ottenere gli altri connettivi. Esercizio 1.28 Usando il solo connettivo si possono esprimere gli altri, infatti attraverso le tavole di verità e le equivalenze logiche si verifica che:

10 quindi. e quindi ) Per quanto visto sopra ( ; ] ] ]; ] ]. Esercizio ) Verifico che è una tautologia: quindi 2) Verifico che è una tautologia: ( e si ragiona come sopra. 3) Per ipotesi e, allora vuol dire che se e che se quindi se cioè 4) tautologia tautologia (perché Esercizio ), per ipotesi e ovvero e sono tautologie, allora anche la loro congiunzione è una tautologia.

11 2) Per ipotesi è una tautologia, quindi per le equivalenze logiche di sopra lo è anche Quindi per ogni, allora, in accordo con la tavola di verità della congiunzione, si ha che e che per ogni, cioè che e che sono tautologie. 3) ( (, quindi la proprietà è falsa perché per essere una tautologia devono essere entrambe tautologie, cioè se nell affermazione ci fosse la e anziché la o allora sarebbe vera. 4) Per le equivalenze logiche di sopra, questa proprietà è vera, in quanto ottengo che e siano entrambe tautologie e questo quindi rende vera la frase o. 5) Per ipotesi e sono tautologie, quindi se faccio la tavola di verità di queste formule devo considerare questi casi: poiché comprare una nella colonna, si ha che non è una tautologia, quindi la proprietà è falsa. Si può anche pensare a questo contro esempio: prendo come una contraddizione, come una tautologia e come una contraddizione, le ipotesi vengono rispettate, ma risulta essere invece una contraddizione. 6) Per ipotesi ) è una tautologia, allora lo è anche ) poiché ) ). Quindi, ma allora, poiché per ipotesi per il punto 3 dell esercizio precedente si ha che, cioè ) è una tautologia. Ma

12 ), quindi anche è una tautologia e cioè. Dispensa Calcolo Proposizionale 2 Esercizio 2.4 1) per ipotesi è vera in ogni modello di T e è vera in ogni modello di T, allora, in accordo con la tavola di verità della congiunzione, si ha che è vera in ogni modello di T e quindi T. per ipotesi è vera in ogni modello di T, per la tavola di verità è vera se e solo se sono entrambe vere, quindi T e T. 2) Per ipotesi è sempre vera in ogni modello di T o è sempre vera in ogni modello di T, allora, in accordo con la tavola di verità della disgiunzione, è sempre vera in ogni modello di T (in quanto una delle due formule è sempre vera), quindi T 3) Per ipotesi è sempre vera, sempre per ipotesi è sempre vera, allora per la tavola di verità di si ha che è vera se e solo se è vera e quindi T. 4) Un contro esempio possibile può essere il seguente: siano due modelli di T. Per ipotesi e. Non avendo però altre ipotesi in generale può per esempio accadere che e e e, vengono rispettate le ipotesi di veridicità di ma come si vede non è vera in tutti i modelli così come. Esercizio ) Supponiamo per assurdo che T sia soddisfacibile, allora esiste un modello I di T, quindi in particolare è vera in I. Allora è falsa. Per ipotesi T, ma allora T in quanto ; poiché è falsa, affinchè

13 sia vera in I, si deve avere falsa (per essere in accordo con la tavola di verità). Allora è vera in I e quindi esisterebbe un modello di T contro l ipotesi. 2) No, non è vera perché non ho ipotesi su : se T è insoddisfacibile allora esiste un modello I di T in cui è falsa. Se è falsa allora è sempre vera qualunque sia il valore di verità di in I, quindi può anche accadere che sia vera in I e quindi che I sia un modello di T. Esercizio ) 2): sia T completa, supponiamo T allora, poiché è completa, per definizione allora T. Viceversa supponiamo T, allora per definizione di essere completa T. 2) 3): per ipotesi, in particolare, T T, allora per l osservazione 2.8 questo equivale a dire che T è soddisfacibile (in alternativa poiché T vuol dire che è vera in tutti i modelli di T, quindi in particolare T ha almeno un modello, cioè è soddisfacibile). Supponiamo per assurdo che T, allora avrei T che è un assurdo. 3) 4): per ipotesi T è soddisfacibile, quindi ha almeno un modello I. Inoltre sempre per ipotesi per ogni ho che è falsa in tutti i modelli e che quindi è vera in tutti i modelli. Supponiamo che T abbia due modelli, per quanto detto sopra, ho che i valori di verità di ogni formula coincidono in entrambi, quindi i due modelli sono uguali è cioè ho un modello unico. 4) 1): sia I l unico modello di T, allora se è una formula si può avere vera in I oppure vera in I, cioè T o T, ovvero T è completa. Esercizio ) 2): sia T completa, supponiamo T, quindi nel modello ci sono tre casi vera, vera, vera, falsa e falsa, vera.

14 Quindi T o T. Viceversa supponiamo T o T allora T perché basta che una delle due formule sia vera. 2) 3): supponiamo che in un modello I T : supponiamo per assurdo che T e che T non valgano entrambi, ci sono tre casi: - T e T, allora nel modello I T e quindi avrei T assurdo. - T e T, allora nel modello avrei T e quindi T assurdo. - T e T, allora avrei T e T e quindi T assurdo. Viceversa supponiamo che T e che T, allora T e quindi T perché T è soddisfacibile (osservazione 2.8). 3) 1): supponiamo per assurdo che T non sia completa, cioè esiste una formula per cui T e T. Allora avrei vera in ogni modello di T (perché è una tautologia), cioè T contro l ipotesi (prendendo. Esercizio 2.23 Sia finito, per ipotesi dove è una catena per ogni. Per ogni elemento di valgono le seguenti proprietà: riflessività, antisimmetria e transitività. Inoltre per ogni coppia vale la proprietà di totalità. Tutte queste proprietà si possono riscrivere utilizzando una variabile proposizionale: sia il linguaggio proposizionale contente la variabile e sia T la teoria formata dalle seguenti formule: per ogni ; per ogni ; per ogni ; per ogni, per ogni T è la teoria di, quindi ha un modello. Questo vuol dire che ogni teoria T di un sottoinsieme finito ha un modello. Allora, se ogni T T finito ha un modello, T è finitamente soddisfacibile (dove T è la teoria di

15 P). Per il teorema di compattezza allora T è soddisfacibile, quindi ha un modello e quindi P è unione di k catene. Esercizio 2.25 Per ipotesi è un modello di, allora e quindi. Sempre per ipotesi, quindi si può avere oppure. Questo quindi vuol dire che (analogamente, inoltre poiché è falsa si ha che. è quindi un insieme di coppie non ordinate di elementi distinti di e quindi è un grafo. Per verificare che determina una funzione biunivoca tra l insieme dei modelli di, lo denoto con, e l insieme dei grafi su, lo denoto con, mostro che la funzione è iniettiva e suriettiva. Iniettiva: mostro che. Supponiamo, e. e, poiché sono uguali si ha che vera in e vera in, poiché sono uguali vale che, cioè è vera (o falsa) sia in che in per ogni coppia. Quindi perché ho la stessa interpretazione di in entrambi i modelli. Suriettiva: verifico che per ogni esiste tale che. Sia un grafo, dove vera in }. Quindi per definizione di (e di ho un modello (nel senso che è definito perché ho un, senza non avrei ). Esercizio 2.26 Una possibile teoria proposizionale può essere questa: sia il linguaggio proposizionale avente due variabili proposizionali dove indica che il vertice ha colore. Sia T la teoria formata dalle seguenti formule:

16 se ; se ; per ogni e per ogni (ovvero due vertici collegati non possono avere lo stesso colore); per ogni (cioè ogni vertice ha un colore); per ogni e con (cioè ogni vertice ha un solo colore). Questa teoria T esprime la k-colorabilità del grafo, quindi se T ha un modello I allora il grafo è k-colorabile, e viceversa se il grafo è k- colorabile, allora T ha un modello. Esercizio 2.27 Sia un grafo e sia un suo sottografo finito, quindi. Considero il linguaggio proposizionale e la teoria dell esercizio precedente, dove sostituisco con e con, e li chiamo rispettivamente e T. Questa teoria, che esprime la k-colorabilità, per ipotesi ha un modello, perché è la teoria di un sottografo finito che per ipotesi è k-colorabile. Se denoto con T la teoria di un grafo, ho che per ogni T T finito c è un modello, quindi T è finitamente soddisfacibile. Allora per il teorema di compattezza anche T è soddisfacibile, quindi ha un modello e cioè è k-colorabile. Esercizio 2.32 : sia, allora per definizione dell insieme si ha che cioè esistono tali che (per compattezza sintattica). Poiché, allora. Quindi si ha che e cioè, ovvero. : sia, allora, cioè esistono tali che. Da segue che per ogni (

17 dimostra in particolare ogni sua formula), quindi. Allora, visto che, si ha che. per ogni Esercizio ) : sia contraddittoria, per definizione allora non esiste alcuna formula tale che, cioè per ogni formula. : supponiamo per ipotesi che per ogni formula, allora in particolare e, cioè è contraddittoria. 2) (deduzione sintattica) : supponiamo per ipotesi che, allora per monotonicità si ha che, in quanto. Inoltre, quindi per modus ponens. : sia una dimostrazione di in (dove ), faccio vedere per induzione su che per ogni. Caso : per definizione di dimostrazione dove è l insieme degli assiomi logici considerati nel sistema dimostrativo, in questo caso è formato da tutte le tautologie. Ci sono due casi: se allora sicuramente, poiché è una tautologia, allora la dimostra (perché fa parte degli assiomi) e quindi per modus ponens. Se, ovvero, poiché è una tautologia, si ha che. : se ragiono come prima. Se è ottenuta per modus ponens allora ci sono e con da cui è ottenuta ; per ipotesi induttiva e cioè. Poiché, perché è una tautologia, allora per modus ponens e di nuovo per modus ponens. Se invece è ottenuta per congiunzione allora ci sono e, con, tali che. Per ipotesi induttiva e, quindi per congiunzione. Poiché, perché è una

18 tautologia, allora per modus ponens, cioè. 3) (dimostrazione per casi): per ipotesi e, allora per deduzione sintattica vale che e che. Poiché, perché è una tautologia, allora per modus ponens e di nuovo per modus ponens. 4) (reductio ad absurdum) a) : supponiamo che, allora per monotonicità, ; ma vale anche che, quindi è contraddittoria. : supponiamo che sia contraddittoria, allora esiste una formula tale che e. Quindi per deduzione sintattica e. Inoltre, perché è una tautologia, allora per modus ponens e di nuovo per modus ponens. b) (le dimostrazioni sono analoghe a quelle del punto a)) : supponiamo che, allora per monotonicità, ; ma vale anche che, quindi è contraddittoria. : supponiamo che sia contraddittoria, allora esiste una formula tale che e. Quindi per deduzione sintattica e. Inoltre, perché è una tautologia, allora per modus ponens e di nuovo per modus ponens. 5) Supponiamo per assurdo che sia contraddittoria e che lo sia anche, allora per la reductio ad absurdum si avrebbe che e che, cioè contraddittoria e questo è un assurdo perché per ipotesi è coerente. Per verificare che le tautologie usate per questo esercizio siano veramente tali, basta fare le loro tavole di verità.