Fondamenti di Informatica 2, Linguaggi e Complessità : Logica I Parte Lucidi di M.Schaerf e A.Marchetti Spaccamela

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1 Fondamenti di Informatica 2 Linguaggi e Complessità : Logica I Parte Lucidi di M.Schaerf e A.Marchetti Spaccamela

2 Fondamenti di Informatica 2: Logica Indice degli argomenti Introduzione: Motivazioni, Prove, Ragionamenti e loro conseguenze Logica Proposizionale: sintassi Il calcolo proposizionale: semantica Il calcolo proposizionale: dimostrazioni nel calcolo

3 Logica: Motivazioni La LOGICA è la disciplina che studia le condizioni di correttezza del ragionamento Occorre dire, anzitutto, quale oggetto riguardi ed a quale disciplina spetti la presente indagine, che essa cioè riguarda la dimostrazione e spetta alla scienza dimostrativa: in seguito, bisogna precisare cosa sia la premessa, cosa sia il termine, cosa sia il sillogismo... [Aristotele] Esempio di sillogismo (sillogismo = connessione di idee, ragionamento) Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo Socrate è mortale Equivalentemente Dato che Tutti gli uomini sono mortali e che Socrate è un uomo possiamo concludere che Socrate è mortale

4 Logica: Motivazioni Non tutti i sillogismi sono validi. Ad esempio Tutti gli animali sono mortali Socrate è mortale Socrate è un animale Tutti gli dei sono immortali Gli uomini non sono dei Gli uomini sono mortali I due sillogismi precedenti sono errati: la conclusione non deriva logicamente dalle premesse Obiettivi di questa parte: - presentare la logica proposizionale, una (piccola) parte della logica - presentare in modo formale i concetti di prova così come si utilizzano nella logica proposizionale

5 Cosa è una dimostrazione, una prova astuta Cosa è un teorema in matematica? Teorema di Pitagora: Se a, b, c sono lati di un triangolo rettangolo allora a 2 + b 2 = c 2 Familiare? SI Ovvio? No - 4 triangoli rettangoli con cateti lunghi a e b e un quadrato di lato b a

6 Cosa è una dimostrazione, una prova astuta Teorema di Pitagora: Se a, b, c sono lati di un triangolo rettangolo allora a 2 + b 2 = c 2-4 triangoli rettangoli con cateti lunghi a e b e un quadrato con lato lungo b a hanno area complessiva pari a c 2

7 Cosa è una dimostrazione, una prova astuta-2 Teorema di Pitagora: Se a, b, c sono lati di un triangolo rettangolo allora a 2 + b 2 = c 2-4 triangoli rettangoli con cateti lunghi a e b e un quadrato con lato lungo a hanno area complessiva pari a a 2 + b 2. Quindi c 2 = a 2 + b 2!

8 Una dimostrazione sbagliata Consideriamo la seguente sequenza di uguaglianze: 1 = 1 = ( 1)( 1) = ( 1) ( 1) = ( ( 1)) 2 = 1

9 Conseguenze di una dimostrazione sbagliata Consideriamo la seguente sequenza di uguaglianze: 1 = 1 = ( 1)( 1) = ( 1) ( 1) = ( ( 1)) 2 = 1 Dopo aver dimostrato che 1 = 1 otteniamo anche 1 2 = 1 2 (moltiplica per 1 2 i membri della uguagl. precedente) 2 = 1 (somma 3 2 ad ambedue i termini dell uguagl. precedente) Conseguenze di 2 = 1 Dato che io e il Papa siamo chiaramente 2 possiamo concludere che io e il Papa siamo 1, cioè io e il Papa siamo la stessa persona ed io sono il Papa! [Bertrand Russel] Morale: Le conseguenze di una prova sbagliata possono essere paradossali perché una prova errata permette di fare affermazioni chiaramente errate!

10 Logica: Motivazioni La LOGICA è la disciplina che studia le condizioni di correttezza del ragionamento Occorre dire, anzitutto, quale oggetto riguardi ed a quale disciplina spetti la presente indagine, che essa cioè riguarda la dimostrazione e spetta alla scienza dimostrativa: in seguito, bisogna precisare cosa sia la premessa, cosa sia il termine, cosa sia il sillogismo... [Aristotele] Noi ci limiteremo alla Logica Proposizionale Nota anche come Calcolo Proposizionale ci permette di ragionare sulla verità di semplici proposizioni Obiettivo Formalizzare i nostri ragionamenti (limitandoci alle proposizioni) Esaminare le regole che ci permettono di stabilire la verità o la falsità di una affermazione

11 Logica e informatica Nel XIX secolo sono state in matematica sono state proposte notazioni matematiche (algebriche) per trattare le operazioni della logica (George Boole) Questo ha consentito, negli anni , di applicare la logica ai fondamenti della matematica, arrivando a interessanti controversie e a capire i limiti della matematica (Frege, Russel, Godel ed altri) In matematica, la logica usata principalmente per esprimere asserti in modo non ambiguo La logica matematica ha profondi legami con linformatica (ed in particolare nella programmazione e in intelligenza artificiale

12 Logica proposizionale

13 Logica proposizionale Linguaggio matematico per ragionare sulla verità o falsità di proposizioni Composto da una sintassi (regole per costruire le frasi) e da una semantica (regole per assegnare un significato) Esempio di frase piove, f a-caldo, f a-caldo (e) (non)piove, piove (o)sole costituito da proposizioni atomiche (piove, f a-caldo, sole...) e da proposizioni complesse (fa-caldo piove, piove sole...)

14 Logica proposizionale: Alfabeto Linguaggio matematico per ragionare sulla verità o falsità di proposizioni Un insieme non vuoto (finito o numerabile) di simboli proposizionali A = {A, B,..., P, Q,...}; Le costanti proposizionali, (per denotare il vero TRUE e il falso FALSE); I connettivi (detti anche operatori) proposizionali (unario), e (binari); I simboli separatori ( e ).

15 Logica proposizionale: Formule Formule (dette anche proposizioni) L insieme Prop delle formule ben formate o formule del linguaggio proposizionale è l insieme definito induttivamente come segue: 1. Le costanti e i simboli proposizionali sono formule; 2. Se α è una formula ( α) è una formula; 3. Se α e β sono due formule, (α β) e (α β) sono formule. Nel seguito useremo la convenzione di denotare i simboli proposizionali con le lettere maiuscole (A, B,...) e le formule proposizionali con le lettere greche minuscole (α, β,... ).

16 Semantica: Sistema di valutazione Definiamo il dominio e gli operatori che ci permetteranno di dare una semantica (significato) alle nostre proposizioni. Il sistema di valutazione della logica proposizionale è costituito dal dominio B= {0, 1}, dove il simbolo 1 denota il valore di verità e 0 il valore di falsità ed un insieme di operatori (tabelle di verità ) su questo dominio Op= {Op, Op, Op } uno per ogni connettivo del linguaggio con Op : B B e Op e Op : B B B. Dove: - è l operatore di negazione logica (not): Op (1) = 0 e Op (0) = 1 - l operatore di congiunzione logica (and) α β α β Op :

17 - l operatore di disgiunzione logica (or) α β α β Op : Le operazioni e sono commutative e associative. Infatti è facile mostrare che per ogni assegnazione ai simboli proposizionali α, β, γ abbiamo che α β = β α α β = β α (α β) γ = α (β γ) (α β) γ = α (β γ)

18 Semantica: Valutazione booleana Un assegnazione booleana V ai simboli proposizionali A è una funzione totale: V : A {1, 0}. Una valutazione booleana I V : Prop {1, 0} è l estensione a Prop di un assegnazione booleana, cioè I V (A) = V(A) se A A; I V ( ) = 1; I V ( ) = 0; I V ( α) = Op (I V (α)); I V (α β) = Op (I V (α), I V (β)). I V (α β) = Op (I V (α), I V (β)). Data V, si può facilmente dimostrare che l estensione I V esiste ed è unica. Notate che è una definizione ricorsiva (ricorsione strutturale).

19 Esempio Tre amici, Antonio, Bruno e Carla, sono incerti se andare in pizzeria. Introduciamo tre proposizioni: A : Antonio va in pizzeria, B: Bruno va in pizzeria, C: Carla va in pizzeria Il giorno dopo sappiamo che: Antonio non va in pizzeria, Bruno va in pizzeria, Carla va in pizzeria Formalmente abbiamo l assegnazione V: A = 0, B = 1, C = 1 Data V valutiamo le formule α: Tutti e tre sono andati in pizzeria α = A B C β: Almeno due sono andati in pizzeria β = (A B) (A C) (B C) Applicando le regole mostrare che I V (α) = 0 e che I V (β) = 1

20 Tautologie e contraddizioni Definizioni: Una formula proposizionale α è soddisfatta da una valutazione booleana I V se I V (α) = 1. Una formula proposizionale α è soddisfacibile se è soddisfatta da una qualche valutazione booleana I V. Una formula proposizionale α è una tautologia se è soddisfatta da ogni valutazione booleana I V. Una formula proposizionale α è una contraddizione se non è soddisfatta da nessuna valutazione booleana I V. Una formula α è una tautologia se e solo se α è una contraddizione.

21 α = A ( A) è una tautologia A A A A Esempi β = A ( A) è una contraddizione A A A A Con riferimento all esempio precedente dei tre amici in pizzeria: la formula A B C è soddisfacibile (ma non è una tautologia) Infatti la formula è vera quando tutti e tre vanno in pizzeria, cioè per l assegnazione V per cui A = B = C = 1 abbiamo I V (A B C) = 1. Inoltre per ogni altra assegnazione V, V V abbiamo che I V (A B C) = 0

22 Altri connettivi: 1 Siamo in grado di rappresentare la congiunzione e la disgiunzione di proposizioni, ma siamo in grado di denotare la nozione di implicazione tra proposizioni? Il fatto che una proposizione α implica un altra β viene denotato con α β Quale è il suo operatore (tabella di verità ) Op? - l operatore di implicazione logica α β α β NOTA: Nel caso in cui l antecedente (α) dell implicazione sia falso, l implicazione è vera.

23 Altri connettivi: 2 Possiamo ora introdurre anche l operatore α β, che denota la relazione che le due formule (α e β) si implicano vicendevolmente (α β e β α). Il conseguente operatore Op è così definito: - l operatore di co-implicazione logica o equivalenza: α β α β

24 Equivalenza logica Definizioni: α implica logicamente β (denotato α β) se e solo se per ogni valutazione booleana I V, ogniqualvolta I V (α) = 1 anche I V (β) = 1. α e β sono logicamente equivalenti o tautologicamente equivalenti (denotato α β) se e solo se I V (α) = I V (β) per ogni valutazione booleana I V. Esercizi α implica logicamente β (denotato α β) se e solo α β è una tautologia α e β sono logicamente equivalenti o tautologicamente equivalenti (denotato α β) se e solo α implica logicamente β e β implica logicamente α

25 Definibilità di connettivi Dato un insieme di connettivi C e un connettivo c C per cui si abbia una funzione di verità f c = Op c, si dice che c si deriva dai (oppure si definisce in termini dei) connettivi di C se esiste una formula proposizionale F costruita usando solo i connettivi di C tale che le tabelle di verità di f c e f F coincidono Esempio: Il connettivo si può definire in termini di {, } nel seguente modo: (α β) ( α β). Infatti si può facilmente verificare che per ogni valore di α e β le due funzioni α β e ( α β) hanno lo stesso valore. α β α β α β ( α β) α β

26 Definibilità di connettivi: esempi (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) ( α β) (α β) (((α ) ) (β )) α α α α (α β) (α β) (β α)

27 Precedenza operatori la massima precedenza a, poi, nell ordine, ai connettivi,,,. Esempi La formula α β viene parentetizzata come (( α) ( β)). La formula α β γ viene parentetizzata come ((α β) γ). La formula α β γ δ ɛ viene parentetizzata come ((( α) ( β)) (γ (δ ɛ))). La formula α ( β γ) δ ɛ viene parentetizzata come (( α) (( β) γ) (δ ɛ)).

28 Leggi 1 La definizione dei connettivi implica diverse equivalenze logiche che sono valide per ogni formula α e β 1. Idempotenza: α α α α α α 2. Associatività: α (β γ) (α β) γ α (β γ) (α β) γ α (β γ) (α β) γ 3. Commutatività: α β β α α β β α α β β α

29 Leggi 2 1. Distributività: α (β γ) (α β) (α γ) α (β γ) (α β) (α γ) 2. Assorbimento: α (α β) α α (α β) α 3. Doppia negazione: α α 4. Leggi di De Morgan: (α β) α β (α β) α β

30 Leggi 3 1. Terzo escluso: α α 2. Contrapposizione: α β β α 3. Contraddizione: α α. Queste leggi si possono verificare costruendo una tabella di verità e verificare che per ogni valore delle variabili otteniamo i valori delle due funzioni a destra e a sinistra di sono uguali

31 Funzioni booleane e insiemi di connettivi Definizione: Sia α una formula contenente esattamente n atomi distinti A 1, A 2,..., A n ; la funzione f α : {0, 1} n {0, 1} tale che f α (v 1, v 2,..., v n ) = I V (α) dove V è l assegnazione per cui V(A i ) = v i per ogni i = 1, 2,..., n è detta la funzione di verità (o funzione booleana) associata ad α. Quindi, ogni proposizione del calcolo proposizionale definisce una funzione n-aria (o connettivo n-ario), dove n è il numero degli atomi distinti che in essa compaiono. Per ogni n esistono 2 2n funzioni booleane distinte (cioè tante quanti sono i sottoinsiemi di {0, 1} n ). Nel caso di n = 2 esistono 16 connettivi distinti. Noi ne abbiamo introdotti 4, non indipendenti, nel senso che alcuni sono esprimibili in termini di altri.

32 Completezza di insiemi di connettivi Un insieme di connettivi logici C si dice completo se e solo se, data una qualunque f : {0, 1} n {0, 1} esiste una formula proposizionale α costruita mediante i connettivi dell insieme C tale che f f α. Teorema: L insieme {,, } è completo. Prova: in due passi 1. Usando e si può dimostrare come realizzare una funzione di n variabili che è sempre falsa tranne per un singola assegnazione di valori di verità. 2. Data una funzione f che è 1 per k diversi valori di verità (V 1, V 2,..., V k ), utilizzando il passo 1 precedente per ogni i, i = 1, 2,..k si definisce la funzione f i che è 1 per V i ed è sempre 0 altrimenti. La funzione f è data da: f 1 f 2... f k. Esercizi: Mostrare che gli insiemi {, }, {, }, {nand} e {nor} sono completi. Sugg. Il teorema precedente afferma che {,, } è completo. Pertanto è sufficiente mostrare come realizzare l insieme di operatori {,, }

33 Esempio 1 Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se andare in pizzeria. Introduciamo tre proposizioni: A : Antonio va in pizzeria, B: Bruno va in pizzeria, C: Carla va in pizzeria (A è 1 se Anotnio va in pizzeria, 0 altrimenti) Si sa che: Se Carla va in pizzeria, allora ci va anche Antonio: C A e Se Antonio va in pizzeria allora ci va anche Bruno: A B Formalmente abbiamo la formula: (C A) (A B) Consideriamo ora le asserzioni 1. Tutti e tre vanno in pizzeria: equivale a α = A B C 2. Se Carla va in pizzeria anche Bruno va in pizzeria: β = C B

34 Esempio 1 Domanda 1: Sapere che se Carla va in pizzeria ci va anche Antonio e che se Antonio va in pizzeria ci va anche Bruno, è sufficiente per affermare che Tutti e tre vanno in pizzeria? Formalmente ci chiediamo se (C A) (A B) implica logicamente A B C Risposta: No (C A) (A B) NON implica logicamente A B C. Infatti Consideriamo V per cui A = B = C = 0 Con questa assegnazione (C A) (A B) è soddisfatta. Infatti I V (C A) = 1 (infatti se C = 0 l implicazione C A è vera) analogamente I V (A B) = 1 Quindi I V ((C A) (A B)) = 1 Poiché I V (A B C) = 0 concludiamo che (C A) (A B) NON implica logicamente A B C

35 Esempio 1, cont. Dimostrare che (C A) (A B) implica logicamente A B C equivale a dimostrare che la seguente formula è una tautologia [(C A) (A B)] (A B C) (*) La formula (*) è soddisfacibile ma non è una tautologia. Infatti abbiamo visto che la valutazione V per cui A = B = C = 0 soddisfa (C A) (A B) è ma (A B C) non è soddisfatta. Se consideriamo V per cui A = B = C = 1 possiamo verificare che la formula (*) è soddisfatta. Infatti è sufficiente osservare che A B C è soddisfatta e, quindi, anche I V [((C A) (A B)) (A B C)] = 1 In conclusione possiamo affermare che Sapere che se Carla va in pizzeria ci va anche Antonio e che se Antonio va in pizzeria ci va anche Bruno, non implica logicamente che tutti e tre siano andati in pizzeria, ma possiamo dire che è possibile che tutti e tre siano andati in pizzeria

36 Esempio 2 Domanda 2: sapere che se Carla va in pizzeria ci va anche Antonio e che se Antonio va in pizzeria ci va anche Bruno, è sufficiente per affermare che Se Carla è andata in pizzeria anche Bruno è andato in pizzeria? Formalmente ci chiediamo se (C A) (A B) implica logicamente C B Risposta: SI A questo scopo possiamo ricostruire una tabella che verifica il valore della formula per tutte le possbili assegnazioni di valori ad A, B e C. In questo modo dobbiamo verificare che la formula sia vera per 2 3 = 8 possibili valori di verità.

37 A B C C A A B (C A) (A B) C B E facile vedere che ogni qualvolta abbiamo che I V ((C A) (A B)) = 1 I V (C B) =) Si noti inoltre che quando I V (C A) (A B) = 0 allora I V (C B può essere 1 o 0

38 Esempio, cont. 2 Possiamo pertanto rispondere alla Domanda 2: sapere che se Carla va in pizzeria ci va anche Antonio e che se Antonio va in pizzeria ci va anche Bruno, è sufficiente per affermare che Se Carla è andata in pizzeria anche Bruno è andato in pizzeria Abbiamo visto che (C A) (A B) implica logicamente C B Questa proprietà è nota come transitività dell implicazione Si noti la somiglianza con il sillogismo su Socrate Se A implica B e B implica C allora possiamo affermare che A implica C Nota: La differenza è che nel caso del sillogismo su Socrate la prima affermazione non è una formula atomica ma riguarda un insieme di atomi (Tutti gli uomini sono mortali)

39 Esempio 2, cont. Domanda 3: sapere che se Carla va in pizzeria ci va anche Antonio e che se Antonio va in pizzeria ci va anche Bruno, è è logicamente equivalente a Se Carla è andata in pizzeria anche Bruno è andato in pizzeria Dobbiamo dimostrare se (C A) (A B) (C B) Abbiamo visto che (C A) (A B) C B L equivalenza è vera se vale anche la seguente implicazione (C B) ((C A) (A B)) Consideriamo V = (A = 1, B = 0, C = 0). Abbiamo I V (C B) = 1, ma I V (A B) = 0. Quindi (C B) non implica logicamente ((C A) (A B))