Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi. CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni

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1 Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni 1

2 1 Logica matematica Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ Serve ad inquadrare in schemi rigorosi gli strumenti ed i metodi di ragionamento della matematica In matematica si definiscono gli oggetti, se ne definiscono le proprietà, si fanno deduzioni logiche Il complesso di espressioni delle quali si possa dire se sono Vere o False costituisce un SISTEMA LOGICO Atomo: oggetto del sistema logico; si indica con a, b, x,...; possono essere numeri, frasi,... Esempio: x = [popolazione di Roma]; a = [oggi piove] Proposizione: frase di cui si possa dire se V oppure F Esempi: [11 è dispari] V ; [13 è pari] F ; [30 è divisibile per 2] V. Predicato: proposizione contenente una variabile e che quindi può essere V o F a seconda del valore della variabile Esempi: p(x) = [x è un quadrato perfetto] V se x = 4, 9, 16,... mentre è F se x = 2, 3, 5,...; p(x) = [x è un numero pari] è V se... mentre è F se... Proposizioni e predicati si possono legare tra loro con i : negazione Esempio: P = [il numero 6 è primo]; CONNETTIVI LOGICI P = [non è vero che il numero 6 è primo] = [il numero 6 non è primo] : congiunzione (et) Esempio: P = [oggi piove]; Q = [porto l ombrello] P Q = [oggi piove e porto l ombrello] : disgiunzione (vel) Esempio: P = [oggi piove]; Q = [porto l ombrello] P Q = [oggi piove o porto l ombrello] TABELLE DI VERITA

3 Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ P P ( P ) V F V F V F ; P Q P Q P Q V V V V F F F F V F F V F V F V Esempio: P = [il numero 6 è primo] F ; Q = [il numero 5 è primo] V P Q = [sia il numero 6 che il numero 5 sono primi] F P Q = [o il numero 6 è primo o il numero 5 è primo] V dunque P Q (P Q) (P Q) P Q P Q V V F F F F F F V V V V V F V F V F F V V F V F Leggi di De Morgan (P Q) = P Q (P Q) = P Q Esempio: (P Q) = [non è vero che 6 e 5 sono entrambi primi] P Q = [non è vero che il numero 6 è primo oppure non è vero che il numero 5 è primo] IMPLICAZIONE ED EQUIVALENZA : implica A B si legge: [se A è vera, allora B è vera] [A è condizione sufficiente per B] [B è condizione necessaria per A] : equivale A B si legge: [A e B sono equivalenti] [A è condizione necessaria e sufficiente per B (e viceversa)] (A B) (B A) Formulazione astratta-logica degli enunciati dei teoremi

4 Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ Teorema: CN perché un parallelogramma sia un quadrato è che abbia le diagonali uguali = [P è un quadrato P ha le diagonali uguali] = [se un parallelogramma è un quadrato, allora ha le diagonali uguali] }{{}}{{} ipotesi tesi = [CS perché un parallelogramma abbia le diagonali uguali è che sia un quadrato] La CN non è anche CS, ovvero [P ha le diagonali uguali P è un quadrato]; controes: rettangolo Teorema: CS perché un numero sia pari è che sia divisibile per 2 = [x è divisibile per 2 x è pari] = [se x è divisibile per 2 allora x è pari] }{{}}{{} ipotesi tesi In questo caso è vero anche il viceversa, cioè la CS è anche necessaria, quindi le due proposizioni sono equivalenti, ovvero [x è divisibile per 2 x è pari] Osservazione: [A B] equivale a [ B A] Esempio: A = [n è divisibile per 9]; B = [n è divisibile per 3] A B = [se n è divisibile per 9, allora n è divisibile per 3] B A = [se n non è divisibile per 3, allora n non è divisibile per 9] Att.!! situazione diversa da B A = [che n sia divisibile per 3 non implica che n sia divisibile per 9]; questa infatti nel caso in questione è falsa: controes: n = 6 è divisibile per 3 ma non per 9. Esempio: A = [x > 9]; B = [x > 5] A B significa [se x > 9 allora x > 5]; o equivalentemente [CS perché x > 5 è che x > 9]; o equivalentemente [CN perché x > 9 è che x > 5]; per l osservazione precedente questo equivale a B A, che significa [se non è x > 5 allora non è x > 9]. Anche qui si ha che non è vero che B A, il quale significa [x > 5 non implica x > 9]; controes: x = 7 : esiste : per ogni QUANTIFICATORI esistenziale ed universale NEGARE I PREDICATI x P (x) = [per ogni valore della variabile accade che la proprietà P (x) è vera] x : Q(x) = [esiste almeno un valore della variabile per cui la proprietà Q(x) è vera]

5 Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ Vediamo come si nega. Esempio: [Non è vero che ogni studente ha una penna] = [almeno uno studente non ha una penna] dunque [ ( x P (x))] equivale a [ x : P (x)] In generale: Esempio: un insieme C è convesso se A, B in C AB contenuto in C; un insieme C non è convesso se A, B in C : AB non è contenuto in C Esempi: ; : ; poi si nega la proprietà 1. Negare che [ogni studente è biondo e con gli occhi azzurri]. In simboli, devo negare che [ x P (x) Q(x)], quindi la negazione è [ x : (P (x) Q(x))] }{{} De Morgan [ x : P (x) Q(x)], quindi [c è almeno uno studente che o non è biondo o non ha gli occhi azzurri]. 2. Negare la frase [ x R y R : xy = 1]. [ x R : ( y R : xy = 1)] [ x R : y R xy 1)]. 3. Negare la frase [La mamma cucina e parla al telefono]. frase: [C T ]; negata (per De Morgan) è [ C T ] ovvero [la mamma o non cucina o non parla al telefono]. 4. Negare la frase [Tutte le sere leggo a letto]. frase: [ S L]; negata è [ S : L], ovvero [c è almeno una sera in cui non leggo a letto].

6 Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ Numeri N numeri naturali: 0, 1, 2, 3, 4,... (N, +) (G1) elemento neutro: 0 (G2) proprietà associativa: (n + m) + p = n + (m + p) (C) proprietà commutativa: n + m = m + n Ma NON esiste in N l opposto, cioè l elemento che sommato ad un numero fornisca l elemento neutro. (Z, +) numeri interi (G1) elemento neutro: 0 (G2) proprietà associativa: (n + m) + p = n + (m + p) (G3) opposto: n m : n + m = 0; l elemento opposto di n si indica con il simbolo n; (C) proprietà commutativa: n + m = m + n. (Z, +) è un gruppo abeliano o commutativo (Z, +, ) (G1) elemento neutro: 1 (G2) proprietà associativa: (n m) p = n (m p) (C) proprietà commutativa: n m = m n (D) proprietà distributiva: n (m + p) = n m + n p. Ma NON esiste in N l inverso, cioè l elemento che moltiplicato per un numero intero fornisca l elemento neutro. (Q, +, ) numeri razionali (G1) elemento neutro: 1 (G2) proprietà associativa: (n m) p = n (m p) (G3) opposto: p 0 q : p q = 1; l elemento opposto di p si indica con il simbolo 1 p ; (C) proprietà commutativa: n m = m n (D) proprietà distributiva: n (m + p) = n m + n p. Q escluso 0 è un gruppo rispetto al prodotto. (R, +, ) numeri reali (G1) elemento neutro: 1 (G2) proprietà associativa: (n m) p = n (m p) (G3) opposto: p 0 q : p q = 1; l elemento opposto di p si indica con il simbolo 1 p ;

7 Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ (C) proprietà commutativa: n m = m n (D) proprietà distributiva: n (m + p) = n m + n p. I numeri reali nascono per risolvere problemi di incommensurabilità (lato e diagonale del quadrato) o di esaustione (lnghezza della circonferenza). Osserviamo che: q Q si può scrivere in infiniti modi: 0, 75 = = 3 4 0, 6 = 6 9 = = 2 3 = 4 6 = 2 3 costruisco la frazione di un decimale periodico: x = 0, 6 = 0, =...(decimale esatto) =...(decimale periodico) 10x = 6, = 6 + 0, = 6 + x 9x = 6 x = 6 9 ; costruisco la frazione di un decimale periodico: x = 0, 12 = 0, x = 12, = x(10 2 1) = 12 x = ; costruisco un numero irrazionale, cioè di R \ Q: = , = = , 12 = 12 + x 0, In R sussiste una relazione d ordine totale, cioè valgono le seguenti proprietà: riflessiva: x R x x antisimmetrica: x, y R : x y y x x = y transitiva: x, y, z R : x y y z x z tricotomia (?): x, y R x y y x

8 3 Teoria degli insiemi Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ Parole chiave: insieme (A); elemento (a); appartenenza ( ) Descrizione per tabulazione: A = {1, 2, 5} (ordine irrilevante) Descrizione per proprietà: A = {studenti aventi nome con iniziale A} Insiemi numerici N={0, 1, 2,...} Z={..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Q= { a b : a, b Z, b 0} R={tutti i decimali periodici e non periodici, limitati e non limitati} Possiamo allora dare la definizione di intervallo: dati a, b R, si pone e analogamente [a, b] = {x R : a x b} [a, b[= {x R : a x < b}; ]a, b] = {x R : a < x b}; ]a, b[= {x R : a < x < b}. RELAZIONI TRA INSIEMI A B = A è contenuto in B; A è sottoinsieme di B; vuol dire che x A x B, cioè ogni elemento di A è anche elemento di B Esempio: A = {1, 2} B = {1, 2, 7} Esempio: A = {studenti aventi nome con iniziale A} B = {studenti} Esempio: N Z Q R. A B = A non è contenuto in B; A non è sottoinsieme di B; vuol dire che x A : x B, cioè esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B Esempio: A = {studenti oggi in aula}; B = {studenti domani in aula}

9 Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ Esempio: A = {studenti oggi in aula}; B = {studenti oggi a medicina} A = B = A B B A; vuol dire che ( x A x B) ( x B x A) Esempio: A = {persone presenti in aula} B = {persone entrate in aula e non ancora uscite} A B = A B B A Osservazione 3.1 Non scambiare con! La prima è relazione tra elementi, la seconda tra insiemi: sono livelli diversi della realtà. Osservazione 3.2 Un insieme può essere un elemento in un insieme di insiemi. Esempio: (0, 0) r = {(x, y) R 2 : y = x} F = {y = mx : m R}. Insiemi degeneri = insieme vuoto P(A) = insieme delle parti Esempio: A = {1, 2, 3} P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A} OPERAZIONI tra insiemi in X insieme universo A B = {x X : x A x B} intersezione

10 Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ A B A e A B B A B A B = A due insiemi sono disgiunti se A B = A B = {x X : x A x B} unione A A B e B A B A B A B = B A C = {x X : (x A)} = {x X : x A} complementare A \ B = {x X : x A x B} = {x X : x A} {x X : x B} = A B C differenza

11 Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ A B = {(x, y) X X : x A, x B} prodotto cartesiano le coppie sono ordinate: A B B A Esempio: A = {1, 2}, B = {2, 3} A B = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}, B A = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} PIANO CARTESIANO [0, 1] [ 1, 1] [0, 1] ] 1, 1[ ]0, 1] [ 1, 1]... Proprietà Leggi di De Morgan (A B) C = A C B C (A B) C = A C B C

12 Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ Proviamo la prima. Dobbiamo dimostrare la doppia inclusione. : Ip: x (A B) C ; Ts: x A C B C x (A B) C x A B (x A B) (x A x B) }{{} (x A) (x B) x A x B De Morgan : Ip: x A C B C ; Ts: x (A B) C x A C x B C x A C B C x A C B C x A x B (x A) (x B) }{{} De Morgan (x A x B) (x A B) x A B Proprietà dell intersezione A B = B A commutativa x (A B) C A (B C) = (A B) C associativa A A = A idempotenza Proprietà dell unione A B = B A commutativa A (B C) = (A B) C associativa A A = A idempotenza Esercizio 3.1 Provare la proprietà distributiva dell intersezione sull unione, cioè che A (B C) = (A B) (A C). Svolgimento: x A (B C) x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) x (A B) x (A C) x (A B) (A C)

13 Corsi Introduttivi - a.a. 2016/ Esercizi Provare la proprietà distributiva dell unione sull intersezione, cioè che A (B C) = (A B) (A C) 2. Provare che A (A B) = A 3. Provare che A C (A B) = A C B 4. Provare che A B = A (B \ A) 5. Provare che A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)