Corso di Elementi di Informatica Anno accademico 2015/16

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1 Corso di Laurea triennale in Ingegneria Navale in condivisione con Corso di Laurea triennale in Ingegneria Chimica (matr. P-Z) Corso di Elementi di Informatica Anno accademico 2015/16 Docente: Ing. Alessandra De Benedictis Dipartimento di Ingegneria Elettrica e Tecnologie dell Informazione Via Claudio 21, 3 piano - stanza 3.21 Università degli Studi di Napoli Federico II 1

2 Algebra di Boole Riferimenti: Dispensa Iannello, capitolo 2 Teoria e progetto delle reti logiche. B. Fadini e A. Esposito, capitolo 2

3 Proposizioni Logiche Una proposizione logica semplice è una dichiarazione che può assumere valore vero o falso Roma è la capitale dell'italia; V 25 è un numero pari; F Alessandra è molto simpatica? Sulle proposizioni logiche è possibile effettuare delle operazioni tramite gli operatori logici: NOT: la NEGAZIONE ( ), operatore unario OR: la DISGIUNZIONE (v) o SOMMA LOGICA, operatore binario AND: la CONGIUNZIONE (^) o PRODOTTO LOGICO, operatore binario

4 Proposizioni logiche e operatori di confronto Le proposizioni semplici possono essere costruite utilizzando degli operatori di confronto (o di relazione) Gli operatori di relazione più noti sono quelli che permettono di confrontare quantità numeriche: uguale ( simbolo = ) diverso ( simbolo ) maggiore ( simbolo > ) minore ( simbolo < ) maggiore o uguale ( simbolo ) minore o uguale ( simbolo )

5 Proposizioni Composte Applicando gli operatori logici a più proposizioni semplici si ottengono proposizioni composte Oggi è lunedì e c è il sole la casa ha meno di 20 anni o è stata ristrutturata da meno di 5 anni Oggi non è domenica e devo lavorare Ciascuna proposizione semplice può essere vera o falsa, e allo stesso modo la proposizione composta può avere valore vero o falso La funzione logica che ha come ingresso il valore delle proposizioni semplici componenti e come uscita il valore della proposizione composta risultante può essere rappresentata con una tabella di verità

6 Esempio Consideriamo la seguente proposizione: Il sabato sera lavoro solo se devo lavorare, e ho riposato o ho bevuto il caffè A=devo lavorare B=ho riposato C=ho bevuto il caffè La condizione composta è A and (B or C)

7 La logica delle Proposizioni e l algebra di Boole George Boole ( ) studiò un mezzo matematico per descrivere in forma algebrica la logica delle proposizioni e definì la cosiddetta algebra di Boole Oggi quest algebra ha numerose applicazioni nelle scienze fisiche, in particolare nel campo dei calcolatori e dell elettronica Nel 1938, Claude Shannon ha introdotto l algebra di commutazione (o dei circuiti) in cui le porte logiche vengono usate al posto degli operatori logici e i valori logici vero/falso sono sostituiti da segnali elettrici alto/basso in ingresso o uscita da circuiti elettrici

8 Cos è un algebra? Nel linguaggio comune il termine algebra indica un capitolo della matematica elementare Più formalmente, si dice che un insieme K è un algebra, se in esso sono definite due leggi binarie di composizione interna, ossia due funzioni che facciano corrispondere ad una qualsiasi coppia di elementi di K ancora un elemento di K Indicando con + (OR) e (AND) le due leggi binarie, un algebra è la tripla <K, +, >

9 Definizione dell Algebra di Boole L algebra di Boole è un particolare tipo di algebra dotato di specifiche proprietà può essere definita in base ad altre strutture algebriche (non c è un modo solo per definire l algebra di Boole) si può definire attraverso i «reticoli» o attraverso «gruppi» e «anelli» Noi vedremo la definizione che sfrutta il concetto di reticolo 9

10 L AdB definita attraverso i reticoli Un'algebra <K,+, > si dice reticolo se per ogni elemento di K valgono le seguenti proprietà commutativa: P1 : a+b = b+a P 1 : a b = b a associativa: P2 : (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c P 2 : (a b) c = a (b c) = a b c idempotenza o potenza identica: P3 : a+a = a P 3 : a a = a assorbimento: P4 : a+(a b) = a P 4 : a (a+b) = a La proprietà associativa ci dice che le due operazioni binare possono essere generalizzate a funzioni di più di due ingressi 10

11 Proprietà dei reticoli In maniera equivalente, un reticolo può essere definito come un insieme parzialmente ordinato, che possiede cioè una relazione d ordine x y Ricordiamo che una relazione d ordine deve godere delle seguenti proprietà riflessiva: x x antisimmetrica: x y e y x => x = y transitiva: x y e y z => x z Data il nostro reticolo <K,+, >, la relazione d ordine è espressa dalle seguente relazione binaria: x+y=y o equivalentemente x y=x 11

12 Reticoli distributivi Un reticolo si dice distributivo se per ogni elemento di K vale la proprietà distributiva P5 : a (b+c)=a b+a c P 5 : a+(b c)=(a+b) (a+c) Si noti che la proprietà è assegnata sia per la somma rispetto al prodotto che per il prodotto rispetto alla somma 12

13 Minimo e Massimo Un reticolo distributivo si dice dotato di minimo e massimo assoluti se in K sono presenti due elementi - che diremo 0 e 1 rispettivamente - i quali verificano la proprietà del minimo e massimo P6 : a 0 = 0 P 6 : a + 1 = 1 Gli elementi 0 e 1 si dicono minimo e massimo in quanto si ha: a 1 e 0 a per ogni elemento di K 13

14 Complemento 14

15 Algebra di Boole Un reticolo distributivo, dotato di minimo e massimo e complementato si dice algebra di Boole Un algebra di Boole è dunque una sestupla: <K,+,,-,0,1> 15

16 Postulati: ricapitolando Commutativa P1 a+b = b+a P 1 a b = b a Associativa P2 (a+b)+c = a+(b+c) P 2 (a b) c = a (b c) Idempotenza P3 a+a = a P 3 a a = a Assorbimento P4 a+a b = a P 4 a (a+b) = a Distributiva P5 a (b+c) = a b+a c P 5 a+b c = (a+b) (a+c) Min e max P6 a 0 = 0 P 6 a+1 = 1 Complemento P7 a ā = 0 P 7 a+ā = 1 16

17 Alcuni teoremi Complementi di 0 e 1 0 ed 1 sono l uno il complemento dell altro Convoluzione Negando due volte un elemento si ottiene l elemento stesso:!(!a)=a Assorbimento del complemento a+!a * b=a+b Elementi neutri 0 è l elemento neutro della somma a+0=a 1 è l elemento neutro del prodotto a*1=a 17

18 Legge di dualità Si può dimostrare che da qualsiasi identità booleana se ne può trarre un'altra equivalente per dualità, sostituendo cioè ad ogni operatore e agli elementi 0 ed 1 il rispettivo duale il duale di + è *, il duale di 0 è 1 il duale di a è in generale!a (a negato, NOT a). 18

19 Teoremi di De Morgan p q p q pq p q Si può dimostrare con le tabelle di verità 19

20 Algebre di Boole La definizione di AdB come reticolo non specifica quale sia K e come siano definite le operazioni +,, - Specifica soltanto un insieme di proprietà che devono essere soddisfatte da tali operazioni Sono così possibili diversi modelli di algebra di Boole l algebra degli insiemi l algebra della logica delle proposizioni l algebra dei circuiti, in cui K assume solo i due valori 0 e 1 20

21 Algebra degli insiemi I 21

22 Algebra degli insiemi (1/2) 22

23 Algebra degli insiemi (2/2) Dati due insiemi A,B T,sono definite le operazioni di Unione ( ) Intersezione ( ) Complemento (~) a Φ= Φ a T= T la sestupla K,,,,Φ,T è un algebra di Boole. ove: K indica l insieme delle parti di T Φ indica l insieme vuoto La relazione d ordine equivale alla relazione di inclusione tra insiemi A T B A B A B Diagramma di Venn 23

24 Algebra della logica delle proposizioni L insieme K={F,V} su cui siano definite le operazioni Congiunzione(^) Disgiunzione (v) Negazione ( ) è un algebra di Boole con F = 0, V = 1, congiunzione =, disgiunzione = +, negazione = x y x ^ y x y x v y x x F F F F F F F V F V F F V V V F V F F V F V V V V V V V 24

25 Algebra di commutazione L algebra di commutazione, anche detta algebra di Boole a due valori o algebra dei circuiti, è caratterizzata da un supporto K con soli due valori 0 e 1 <{0,1}, +,,!, 0,1> Le operazioni + (OR), (AND),! (NOT), sono definite dalle tabelle di verità degli operatori logici 25

26 Circuiti logici I circuito logici sono circuiti elettronici nei quali una grandezza elettrica ai morsetti di ingresso e di uscita può assumere solo due valori, convenzionalmente rappresentati con i due elementi dell algebra di Boole 0 ed 1 In elettronica digitale si studia come realizzare circuiti elettronici per i quali il legame tra ingressi ed uscite corrisponde a quello delle operazioni fondamentali AND, OR e NOT dell algebra di Boole PORTE LOGICHE 26

27 Algebra dei circuiti Associa i simboli 0 e 1 ai livelli logici basso e alto Un circuito è descritto dalla funzione y = ƒ(x 1, x 2,..., x n ) dove: y=bit di uscita; x 1, x 2,..., x n =bit di ingresso 27

28 Algebra dei circuiti Porte logiche o gate Circuiti elettronici che realizzano le operazioni fondamentali x y x y z z z = x AND y z = x OR y x y y = NOT x x NOT x x y x AND y x y x OR y

29 Porte Esercizi logiche di riepilogo o e 1) Scrivere la tabella di verità corrispondente alla seguente funzione logica di 3 variabili ((not A) and B) OR ((A and B) and C) 2) Scrivere la tabella di verità di una funzione logica a 3 variabili che dia risultato vero solo se almeno due dei suoi argomenti sono uguali a vero 3) Usando operatori logici e operatori di relazione si scriva la condizione che esprime che il valore della variabile x appartiene all insieme [-5,3] U [8,15] 4) Data la condizione «stasera esco se ho finito i compiti o se domani non vado a scuola» scriverne la formulazione in termini di proposizioni logiche e trovarne la formulazione duale

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