Algebra di Boole. Introdotta nel 1874 da George Boole per fornire una rappresentazione algebrica della logica

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1 Algebra di Boole

2 Algebra di Boole Per poter affrontare in modo sistematico lo studio dei sistemi di calcolo, abbiamo inizialmente bisogno di un apparato teorico-formale mediante il quale lavorare sulle grandezze binarie Lo strumento formale si chiama Algebra di Boole Introdotta nel 874 da George Boole per fornire una rappresentazione algebrica della logica per questo motivo i circuiti elettronici che lavoro su valori binari assumono il nome di circuti logici o porte logiche Applicata nel 936 da Claude Shannon allo studio delle reti di commutazione telefonica

3 Postulati Algebra di Boole Un insieme I e due operatori binari +, formano un algebra di Boole se soddisfano i seguenti assiomi (x,y,z sono elementi di I): x,y I x+y I; x y I (chiusura delle operazioni) I x I, x+=x (elemento neutro per +) I x I, x =x (elemento neutro per ) x,y I x+y=y+x; x y = y x (proprietà commutativa) x,y,z I x+(y+z)=(y+x)+z; x (y z) = (y x) z) (proprietà associativa) x,y,z I x (y +z) = (x y) + (x z); x+(y z)=(x+y) (x+z) (proprietà distributiva) x I x I x + x = ; x x= (esistenza dell inverso)

4 Proprietà di un algebra booleana Gli elementi, sono unici Per ogni x I, l elemento x è unico x+x =x, xx= x x+xy = x, x(x+y)=x x+( x)y = x+y, x(( x)+y)=xy (x+y) = ( x)( y) (xy) = ( x)+( y) ( x) = x idempotenza assorbimento De Morgan involuzione

5 Algebra di commutazione Applicazione dell algebra di Boole ad un insieme con due soli valori Con B={,} sono completamente definiti i tre operatori di somma logica (+), OR prodotto logico ( ), AND negazione (-), NOT Applicata da C. Shannon nel 936 per lo studio e la progettazione di sistemi a relè Detta anche algebra logica, da cui reti o circuiti logici

6 Alcuni teoremi fondamentali Teorema di De Morgan (x+y)= x y (x y)= x + y Teorema dell involuzione x=x Legge di dualità (metateorema): Ogni identità e ogni proprietà booleana resta valida se si scambianotra di loro gli operatori AND ed OR e gli elementi ed

7 Porte logiche: modello Una porta logica è un blocco elementare in cui la relazione fra variabili di ingresso e variabili di uscita è descritta da una funzione logica. Sono circuti digitali di base nei quali viene individuata una uscita (Y) ed uno o più ingressi (x,..,xn) L uscita dipende dal valore degli ingressi Utilizzando un numero limitato di tipi di porte logiche è possibile realizzare un circuito logico combinatorio che realizza una qualsiasi funzione logica. x y

8 Porta NOT X Y x y Proprietà: X=X

9 Porta AND x x 2 y x x 2 y Proprietà: ABC=(AB)C=A(BC) AB=BA AA=A A=A A= AA=

10 Porta OR x y x 2 x x 2 y Proprietà: A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C) A+B=B+A A+A=A A+= A+=A A+A=

11 Variabili di commutazione Grandezze che possono assumere i valori oppure Proprietà degli operatori (siano x,y,z variabili di commutazione) x + y = y + x x y = y x x + (y + z)=(x + y) + z = x + y + z x (y z) = (x y) z = x y z x (y + z)=(x y) + (x z) x + (y z)=(x + y)(x + z) (commutatività) (associatività) (distributività)

12 Funzione booleana Una funzione booleana f(x,x 2,,x n ) di n variabili è una qualsiasi funzione avente dominio {,} n e codominio {,}. Osserviamo che ad un espressione booleana di n variabili in un algebra commutativa corrisponde un unica funzione in n variabili; viceversa ad una funzione di n variabili corrispondono infinite espressione di n variabili.

13 Funzioni di commutazione Sia x i una variabile di commutazione ed X il vettore composto da n variabili x i {,}, X {,} n Consideriamo le funzioni y = f(x) f: {,} n {,} f è una funzione il cui dominio è costituito da tutte e sole le n-ple (x,x 2,,x n ) ed il cui codominio è l insieme {,} Il numero di n-plue diverse è 2 n f può essere assegnata mediante la sua tabella di verità (il termine verità deriva dai valori TRUE/FALSE)

14 Tabelle di verità Una funzione di commutazione può essere rappresentata utilizzando una tabella di verità. n variabili valori funzione x x 2 y 2 n configurazioni...

15 Funzioni unarie x y y y 2 y 3 y : funzione y : negazione (NOT) y 2 : funzione identità y 3 : funzione

16 Funzioni binarie (due variabili) x x y y y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y y Y 2 y 3 y 4 y 5 NOT x NOT x AND OR Tutte le funzioni possono essere ricavate a partire dagli operatori {NOT,AND} oppure {NOT,OR} Esistono operatori universali, cioè un opeartori che da soli Possono generare qualunque funzione?

17 Teorema di Shannon f(x,..,x n ) = x i f(x,.., x i-,, x i+...,x n ) + x i f(x,.., x i-,, x i+...,x n ) i n Suddivisione di una funzione complessa in funzioni più semplici o per ottenere un'espressione canonica da una tabella della verità o da un'espressione non canonica. Dimostrazione (per induzione perfetta): Se x i = allora il primo termine vale. Poiché =, si ha f(x,..,x n ) = f(x,.., x i-,, x i+...,x n ), che è identicamente vera perché, per ipotesi, x i =. Se x i = allora il secondo termine vale. Poiché =, si ha f(x,..,x n ) = f(x,.., x i-,, x i+...,x n ), che è identicamente vera perché, per ipotesi, x i =.

18 Forma canonica Somma di Prodotti (SP) Applichiamo il teorema più volte f(x,..,x n ) = x f(, x 2,..,x n ) + x f(,x 2,...,x n ) = x (x 2 f(,, x 3..,x n ) + x 2 f(,, x 3..,x n )) + x f(,x 2,...,x n )= x x 2 f(,, x 3..,x n )+ x x 2 f(,, x 3..,x n ) + x f(,x 2,...,x n )=.. x x 2 x n f(,,,) + x x 2 x n f(,,,,)+ x x 2 x n f(,,,) + + x x 2 x 3 x n f(,,,,)

19 Forma SP 2 n termini Termine generico della somma: x x 2 2. x n n f(, 2,, n ) Dove i, e x = x e x = x x x 2 2. x n n si chiama mintermine ed è il prodotto di n variabili dirette o negate

20 Forma SP 2 n- f(x,.., x n )= m k f(k) => f(x,.., x n )= m k k= k f(k)= dove: n m k = x i= i i (x = x, x =x) mintermine f(k) il valore f(,.., n ), con,.., n 2 n- tali che i 2 i- =k k=

21 Esempio y=f(x,x 2,x 3 ) è se e solo se il numero di variabili con valore è pari x 3 x 2 x y m m 3 m 5 m 6 y =m +m 3 +m 5 +m 6 = (,3,5,6) f(x,x 2,x 3 ) = x 3 x 2 x + x 3 x 2 x + x 3 x 2 x + x 3 x 2 x

22 Forma canonica prodotto di somme (PS) Sia f(x,.., x n ) = m k k f(k)= g(x,.., x n ) = m k g= not f. k f(k)= Infatti, g vale quando f vale (poiché mancano i mintermini) e viceversa

23 Forma canonica prodotto di somme f(x,.., x n ) = m k k f(k)= f(x,.., x n ) = m k => f(x,.., x n ) = k k f(k)= k f(k)= M k = n x i= i - i Maxtermine

24 Esempio y=f(x,x 2,x 3 ) è se e solo se il numero di variabili con valore è pari x 3 x 2 x y M M 2 M 4 M 7 y =M M 2 M 4 M 7 = (,2,4,7) f(x,x 2,x 3 ) =(x 3 +x 2 + x ) (x 3 +x 2 +x ) ( x 3 +x 2 +x ) ) ( x 3 +x 2 +x )

25 Esempio, n=3 variabili A B C minterm maxterm m = m = m 2 = m 3 = m 4 = m 5 = m 6 = m 7 = A B A B C A A B C AB B C A BC AB C C A B C C M = A + B + C M = A + B + C M 2 = A + B + C M 3 = A + B + C M 4 = A + B + C M 5 = A + B + C M 6 = A + B + C M 7 = A + B + C

26 Porta NAND x / y xy x y X X Y Proprietà: A/B = B/A A/= A A/= A/ A= Non è associativo x x 2 y

27 Operatore NAND (NOT-AND) Operatore universale ( x / y ) /( x / y ) xy xy ( x / x ) /( y / y ) x / y x y Prodotto logico Somma logica x/x = x x/x = Negazione Generazione della costante / = Generazione della costante

28 Porta NOR x y x + y x y X X Y Proprietà: A B = B A A = A = A A A = Non è associativo Operatore universale x x 2 y

29 Operatore NOR (NOT-OR) Operatore universale ( x y ) ( x y ) x + y ( x x ) ( y y ) x y Somma logica Prodotto logico x x = x x x = = Negazione Generazione della costante Generazione della costante

30 Operatore XOR or esclusivo, detto anche "somma modulo 2" o "anticoincidenza", indicato col simbolo x y xy xy (x y)(x y) x y=y x (proprietà commutativa) (x y) z=x (y z) (associativa) x = x x =x x x= x x = X Non è un operatore universale X X X 2 Y Y

31 Funzione di disparità L operatore applicato a n variabili definisce la funzione di disparità o somma modulo 2: P=x x 2... x n La funzione P è chiamata di disparità perché vale se e solo se un numero dispari di variabili vale. Val la pena di notare che il bit di parità che si aggiunge nei codici a rivelazione di errore è ottenuto proprio con la funzione di disparità P; infatti aggiungendo al vettore X il bit P corrispondente alla funzione di disparità si ottiene una stringa di bit che avrà sempre un numero pari di.

32 Porte Logiche: tassonomia Operatore Simbolo Proprietà NOT y= se e solo se x= y= x AND y=x x 2 y= se e solo se x =x 2 = OR y=x +x 2 y= se e solo se x =x 2 = NAND y=x /x 2 y= se e solo se x =x 2 = NOR y= x x 2 y= se e solo se x =x 2 = XOR y = x x 2 y= se e solo se x x 2 XNOR y= x x 2 y= se e solo se x =x 2