Introduzione ed elementi dell'algebra di Boole

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1 Introduzione ed elementi dell'algebra di Boole CORSO DI CALCOLATORI ELETTRONICI I CdL Ingegneria Biomedica (A-I) Università degli Studi di Napoli Federico II

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5 Il Calcolatore Elettronico è un sistema:» numerico,» automatico,» a programma registrabile, realizzato con circuiti elettronici Tutte le informazioni trattate da un dispositivo numerico sono espresse da stringhe di bit I circuiti elettronici preposti alla memorizzazione dei bit ed alla loro elaborazione sono detti circuiti di commutazione o circuiti logici (switching circuits) Un circuito logico costituisce una rete di commutazione ed il relativo progetto si dice logico

6 Allo scopo di descrivere il comportamento dei circuiti logici si può usare un'algebra, e cioè una notazione matematica per mezzo della quale facilmente analizzare e sintetizzare (disegnare) i circuiti. Analisi Data la descrizione della STRUTTURA (come è fatta) Sintesi Data la descrizione del COMPORTAMENTO (cosa deve fare) Determinarne il COMPORTAMENTO (cosa fa) Determinarne la STRUTTURA (come è fatta)

7 ALGEBRA BOOLEANA: algebra utilizzata per analizzare e sintetizzare i circuiti logici Nell'algebra di Boole: Le variabili: sono binarie (possono assumere solo due valori:,) solitamente si indicano con lettere maiuscole A, B,... Le operazioni base sono AND ( ), OR (+), NOT ( )

8 Operazioni fondamentali sui valori booleani x y x AND y Congiunzione (x AND y) si indica anche con (x y) x y x OR y Disgiunzione (x OR y) si indica anche con (x + y) x NOT x Negazione (NOT x) si indica anche con x (o anche x )

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11 Numero di funzioni di n variabili Numero di funzioni - Il numero di distinte funzioni binarie è finito. Le funzioni di n variabili sono: 2 n F (n) = 2 4 funzioni di variabile, 6 funzioni di 2 variabili, 256 funzioni di 3 variabili, funzioni di 4 variabili, ecc.

12 Elenco delle funzioni di una e due variabili x f f 3 f f 2 4 funzioni di una variabile f, f 3 : costanti e f : identità o buffer f 2 : not x x f f 5 f 3 f 5 f 2 f f f 4 f 7 f 8 f 9 f 6 f 3 f 2 f f 4 6 funzioni di due variabili f, f 5 : costanti e f 3, f 5 : identità o buffer f 2, f : not f : and f 4 : nand f 7 : or f 8 : nor f 9 : equivalence f 6 : ex-or In In rosso rosso le le funzioni funzioni degli degli operatori operatori dell algebra dell algebra di di commutazione commutazione

13 Una funzione può talora essere espressa in funzione delle funzioni appartenenti ad un insieme F. Qualsiasi funzione Booleana può essere realizzata impiegando le funzioni AND, OR e NOT. Ad esempio: x XOR y = ( x AND y ) OR ( y AND x ) L insieme { AND, OR, NOT } si dice insieme funzionalmente completo. Poiché grazie a De Morgan la AND si può realizzare con {OR, NOT} e la OR con {AND, NOT}, anche {AND, NOT} e {OR, NOT} sono insiemi funzionalmente completi

14 A B C F

15 Tabelle di verità: esempi Esempio: full adder addiziona 2 bit e un riporto (Carry in) per ottenere un bit Sum e un riporto Carry Out NOTA (in binario): + genera risultato e riporto A B Sum Carry A B C in S um C out Esempio: half adder addiziona 2 bit per ottenere Somma e riporto (Carry)

16 Forme elementari Letterali: ogni occorrenza di una variabile o del suo complemento Clausola (o termine elementare): prodotto di n letterali di variabili distinte es. ab ; a'd ; bd'x ; Fattore elementare: somma di n letterali es. a+b ; a'+d ; b+d+x' ; Si dice che le clausole ed i fattori elementari con n> sono funzioni di livello

17 Forme elementari Fra le possibili forme algebriche che una funzione può assumere sono di particolare importanza le cosiddette forme elementari: Forme elementari di primo tipo o di tipo P: somme di clausole es. y = ab' + a'd + bd'x ; y = a + bc' + a'c x Forme elementari si secondo tipo o di tipo S: prodotti di fattori es. y = (a + b') (a' + d) (b + d' + x) ; y = a (b + c') (a' + c + x) Le forme elementari sono funzioni di livello 2

18 Mintermini e maxtermini Per le funzioni di n variabili valgono le seguenti definizioni: mintermine o termine prodotto P: una clausola di ordine n (ossia un prodotto dei letterali di tutte le variabili) es. ab ; a'b'c ; abc'de'f maxtermine o fattore somma S: una somma di n letterali, uno per ciascuna variabile es. (a' + b') ; (a + b + c') ; (a' + b' + c + d' + e' + f')

19 Dalla tabella di verità alla forma algebrica A B C Mintermini A B C = P A B C = P A B C = P 2 A B C = P 3 A B C = P 4 A B C = P 5 A B C = P 6 A B C = P 7 F F = α i = F i Σ i α i P i forma canonica di primo tipo o di tipo P

20 Forma canonica di tipo P: esempio A B C F A' B C A B' C' A B' C A B C' A B C F(A,B,C) = Σ P(3,4,5,6,7) = P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 F = A' B C + A B' C' + A B' C + A B C' + A B C Forma canonica di tipo P: somma di prodotti

21 Esempio: Forma Canonica F in forma canonica P: F(A,B,C) = A' B C + A B' C' + A B' C + A B C' + A B C A B C F F in forma canonica S: F(A,B,C) = (A + B + C) (A + B + C') (A + B' + C)

22 A BC Esempio: Forma Minima AND/OR abbiamo effettuato una minimizzazione "empirica" A B C F F = A + B C

23 Obiettivo della minimizzazione: ricercare una forma elementare minima fra tutte quelle possibili a due livelli di tipo P Metodi per la minimizzazione: Karnaugh sottocubi di area massima Quine metodo algebrico McCluskey metodo tabellare