Logica booleana. Bogdan Maris ( )

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1 Logica booleana 1

2 Algebra di Boole Opera con i soli valori di verità 0 o 1 (variabili booleane o logiche) La struttura algebrica studiata dall'algebra booleana è finalizzata all'elaborazione di espressioni nell'ambito del calcolo proposizionale. Operatori logici AND, OR e NOT: la loro combinazione permette di sviluppare qualsiasi funzione logica e consente di trattare in termini esclusivamente algebrici le operazioni insiemistiche dell'intersezione, dell'unione e della complementazione, oltre a funzioni binarie. 2

3 Logica proposizionale Linguaggio formale con struttura sintattica basata su proposizioni elementari (atomi) e su connettivi logici di tipo vero-funzionale (AND, OR, NOT...), che restituiscono il valore di verità di una proposizione in base al valore di verità delle proposizioni connesse La definizione della struttura delle frasi (o sintassi) della logica proposizionale si fonda su due componenti: un alfabeto di simboli un insieme di sequenze di simboli (un linguaggio) definito tramite una grammatica generativa NB: Una grammatica generativa è un insieme di regole che "specificano" o "generano" in modo ricorsivo le espressioni ben formate di un linguaggio. Alle formule della logica proposizionale possono essere associati dei valori di verità mediante una funzione di valutazione 3

4 Operatori e Notazione Esistono convenzioni diverse: Negazione not A A A! A Congiunzione A and B A B A & B A B Disgiunzione A or B A B A B A + B Disgiunzione esclusiva A xor B A ^ B A B [ equivale a (A and (not B)) or ((not A) and B) ] Implicazione A B A B A B (se... allora) Doppia implicazione A B A B A B (se e solo se) 4

5 A not A Operatori A B A and B A B A or B A B A xor B A B A B A B A nand B A B A nor B

6 Proprietà AND ( ) OR (+) Identità A 1 = A A + 0 = A Elemento nullo A 0 = 0 A + 1 = 1 Idempotenza A A = A A + A = A Inverso A ( A) = 0 A + ( A) = 1 Commutativa A B = B A A + B = B + A Associativa A (B C) = (A B) C A+(B+C) = (A+B)+C Distributiva A (B+C) = (A B)+(A C) A+(B C) = (A+B) (A+C) Assorbimento A (A + B) = A A + (A B) = A De Morgan (A B)=( A)+( B) (A+B)=( A) ( B) 6

7 Dualità Dalle proprietà degli operatori AND e OR si deduce il principio di dualità: Se un espressione è valida lo è anche l espressione che si ottiene da quella di partenza cambiando tutti gli 0 in 1 e viceversa e cambiando tutti gli AND in OR e viceversa. Ex: Identità A x 1 = A A + 0 = A 7

8 Espressioni booleane I termini booleani posso essere combinati tra loro utilizzando gli operatori per costruire espressioni booleane Le espressioni booleane (a differenza di quelle numeriche) possono essere rappresentate in forma esaustiva: ogni termine può assumere solo valore 0 o 1 ogni espressione di n variabili può avere solo 2 n configurazioni diverse Le configurazioni possono essere riportate nelle tabelle della verità, in cui vengono rappresentati appunto i valori di verità dell espressione 8

9 Tabella della verità (I) a b c a b a c (a b) + ( a c) F F F F F F F F T F T T F T F F F F F T T F T T T F F F F F T F T F F F T T F T F T T T T T F T 9

10 Tabella della verità (II) a b c a + c a + ( b) (a + c) (a + ( b)) F F F F T F F F T T T T F T F F F F F T T T F F T F F T T T T F T T T T T T F T T T T T T T T T 10

11 Proprietà delle espressioni booleane Equivalenza Due espressioni booleane sono equivalenti se hanno la medesima tabella della verità Tautologia Un espressione booleana è una tautologia se è sempre vera Esempio: A OR (NOT A) Contraddizione Un espressione booleana è una contraddizione se è sempre falsa Esempio: A AND (NOT A) 11

12 Dalla tabella all espressione Conosciamo la tabella, ma non sappiamo qual è l espressione Ci basta trovare una delle espressioni equivalenti che hanno questa tabella della verità a b c espressione F F F F F F T F F T F F F T T T T F F F T F T T T T F T T T T T 12

13 Dalla tabella all espressione Procedura: 1. identificazione di tutte le righe che hanno valore T; 2. per ogni riga identificata si costruisce una sottoespressione prodotto (and) di tutte le lettere che sono prese nella loro forma naturale o complementata seguendo i seguenti principi: le lettere che nella riga in esame hanno valore T sono prese nella forma naturale; le lettere che nella riga in esame hanno valore F sono prese nella forma complementare; 3. le sottoespressioni prodotto così ottenute vengono sommate (or) tra loro per realizzare l espressione desiderata. 13

14 Dalla tabella all espressione (1) a b c espressione riga 0 F F F F riga 1 F F T F riga 2 F T F F riga 3 F T T T riga 4 T F F F riga 5 T F T T riga 6 T T F T riga 7 T T T T 14

15 Dalla tabella all espressione (2) a b c espressione riga 0 F F F F riga 1 F F T F riga 2 F T F F riga 3 F T T T ( a) b c riga 4 T F F F riga 5 T F T T a ( b) c riga 6 T T F T a b ( c) riga 7 T T T T a b c 15

16 Dalla tabella all espressione (3) a b c espressione riga 0 F F F F riga 1 F F T F riga 2 F T F F riga 3 F T T T m 1 = ( a) b c riga 4 T F F F riga 5 T F T T m 2 = a ( b) c riga 6 T T F T m 3 = a b ( c) riga 7 T T T T m 4 = a b c expr = m 1 + m 2 + m 3 + m 4 expr = (( a) b c) + (a ( b) c) + (a b ( c)) + (a b c) 16

17 Verifica a b c m 1 = ( a) b c m 2 = a ( b) c m 3 = a b ( c) m 4 = a b c m 1 + m 2 + m 3 + m 4 F F F F F F F F F F T F F F F F F T F F F F F F F T T T F F F T T F F F F F F F T F T F T F F T T T F F F T F T T T T F F F T T 17

18 Un espressione equivalente a b c a b a c b c (a b) + (a c) + (b c) F F F F F F F F F T F F F F F T F F F F F F T T F F T T T F F F F F F T F T F T F T T T F T F F T T T T T T T T 18