Laboratorio di Programmazione Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale

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1 Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università degli Studi di Parma Laboratorio di Programmazione Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Algebra di Boole Stefano Cagnoni Algebra di Boole L algebra di Boole è un formalismo che opera su variabili (dette variabili booleane o variabili logiche o asserzioni) che possono assumere due soli valori: Vero Falso L algebra booleana nasce come tentativo di definire in forma algebrica processi di tipo logico-deduttivo Tuttavia, poiché di fatto l algebra di Boole opera su variabili binarie (vero e falso sono i 2 soli simboli), i suoi operatori possono essere inclusi fra gli operatori dell algebra binaria. 2 Algebra di Boole Operatori ed Espressioni Booleane Sulle variabili booleane è possibile definire delle funzioni (dette funzioni booleane o logiche) f (X,,X N ) : {,} N {,} Possono essere definite tramite le tabelle di verità. Una tabella di verità di una funzione di N variabili ha 2 N righe, una per ogni possibile combinazione delle variabili, e N+ colonne, che rappresentano i valori delle N variabili più il valore della funzione X X 3 F Fra le funzioni definibili tramite l algebra di Boole alcune hanno particolare importanza per il loro significato logico e sono usate come operatori di base: AND (indicato in genere dal simbolo ) OR (indicato in genere dal simbolo + ) NOT (indicato in genere dal simbolo - ) XOR (indicato in genere dal simbolo ) NAND (indicato in genere dal simbolo ) NOR (indicato in genere dal simbolo ) In realtà, qualunque funzione booleana può essere realizzata utilizzando 2 soli operatori: AND e NOT oppure OR e NOT 3 4

2 NOT - AND - OR X X NOT AND AND(X, ): il risultato è (Vero) NOT (X): il risultato è la negazione della variabile se entrambe le variabili hanno valore OR(X, ): il risultato è (Vero) se almeno una delle variabili ha valore X OR XOR - NAND - NOR X X XOR NAND NOR (X, ) = NOT (OR (X, )) XOR (X, ): il risultato è (Vero) se una sola delle due variabili ha valore NAND (X, ) = NOT (AND (X, )) X NOR 5 6 Interpretazione logica degli operatori Se si ha una operazione del tipo: A * B (* indica una generica operazione), il risultato è vero se: * condizione OR A o B (o entrambe) sono vere AND sia A che B sono vere XOR A o B (ma non entrambe) sono vere Operatori ed Espressioni Booleane Questi operatori possono essere combinati in espressioni booleane che rappresentano funzioni booleane e si compongono con le stesse regole utilizzate per l algebra tradizionale. F(x, x 2, x 3 )= ((NOT x ) AND x 2 ) OR x

3 Espressioni equivalenti Espressioni complementari Due espressioni si dicono equivalenti quando producono lo stesso risultato per ogni combinazione dei valori delle variabili Esempio a b a XOR b a x b + a x b (a AND (NOT b)) OR ((NOT a) AND b) T e T2 sono complementari se per quelle combinazioni in cui T risulta, T2 risulta e viceversa Esempio T = (a x c) + (a x b) T2 = (a x c) + (a x b) 9 Lab. Programmazione 2/2 - Algoritmi e Programmazione 2 3

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5 Esercizi Sulla base di quanto visto per la somma di N numeri Definire un algoritmo per il calcolo del prodotto di N numeri MATLAB Descriverlo attraverso un opportuno diagramma di flusso Verificare se le seguenti coppie di funzioni booleane sono equivalenti (cioè hanno la stessa tabella di verità): C AND (A OR NOT B) e (B AND (NOT A)) OR (NOT C) A AND (B AND NOT C) e (NOT A) OR (C OR (NOT B)) 7 Caratteristiche Linguaggio di programmazione orientato all'elaborazione di matrici (MATLAB=MATrix LABoratory) Le variabili sono matrici (una variabile scalare equivale ad una matrice di dimensione x; un array di dimensione N è una matrice xn) Esempio di programma MATLAB a = [ 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; b = [ 2 3]'; c = a*b; c Gli operatori, quindi, sono definiti per operare su matrici Lab. Programmazione - MATLAB 9 Lab. Programmazione - MATLAB 2 5

6 Dati Un elaboratore è un manipolatore di simboli L'architettura fisica di ogni elaboratore è intrinsecamente capace di trattare vari domini di definizione dei dati, detti tipi di dato primitivi dominio dei numeri interi dominio dei numeri reali dominio dei caratteri dominio delle stringhe di caratteri Le variabili di MATLAB sono matrici (array multidimensionali) i cui elementi appartengono ad uno di questi domini Variabili Costituiscono un astrazione della memoria, cioè tramite una variabile si fa riferimento ad una specifica area della memoria centrale. Una variabile è caratterizzata da: Un nome che la identifica Un valore modificabile che viene associato al nome Il risultato di un'espressione contenente variabili si ottiene sostituendo ad ogni variabile il suo valore. L'operazione di assegnazione ( var = expr ) consente di assegnare il valore dell'espressione expr alla variabile var, quindi di modificare il valore di var Lab. Programmazione - MATLAB 2 Lab. Programmazione - MATLAB 22 Esempio a=3; b=2; % ad a,b (variabili scalari) vengono % assegnati i rispettivi valori c = [ 2;4 ] % c è definita come matrice 2x2 %il simbolo ; separa le righe d = c + c % il valore di d e k vengono modificati, k = a + b % assegnando a d due volte il valore di c % e a k la somma di a e b % dopo l'esecuzione di questa operazione % il valore di d è [2 4; 8 2] e k vale 5 Variabili Inizializzazione variabile: la variabile inizia ad esistere al momento in cui le si assegna un valore; a =, b = ; c = [ 2 2; 4 3 8]; Il comando who mostra una lista delle variabili che sono state definite Il comando whos mostra anche altre informazioni (tipo, dimensione ) In ogni caso, tutte le variabili attive sono elencate nella finestra Variables' List Lab. Programmazione - MATLAB 23 Lab. Programmazione - MATLAB 24 6

7 Stringhe Una stringa è una sequenza di caratteri delimitata da apici (in Octave anche fra doppie virgolette) 'ciao' 'hello' In MATLAB le stringhe possono essere elementi di una matrice itaing = ['ciao', 'hello'] Espressioni MATLAB è un linguaggio basato su espressioni Un'espressione è una notazione che denota un valore mediante un processo di valutazione Un'espressione può essere semplice (una costante, un simbolo di variabile) o composta ogni linguaggio comprende un insieme di operatori che permettono di aggregare altre espressioni (operandi) per formare espressioni composte Esempi : 4*8-2*arcsin(x) a&&(b c) Lab. Programmazione - MATLAB 25 Lab. Programmazione - MATLAB 26 Classificazione degli operatori Operatori aritmetici In base al tipo di operandi (aritmetici, logici, relazionali) In base al numero degli operandi (unari, binari, ternari..) Operatore Tipo MATLAB Inversione di segno Unario - Somma Binario + Differenza Binario - Moltiplicazione Binario * Divisione (molt. per l inv.) Binario / Molt. elemento per elemento Binario.* Div. elemento per elemento Binario./ Lab. Programmazione - MATLAB 27 Lab. Programmazione - MATLAB 28 7

8 Esempi di operazioni a = [ 2 3; 9 5 4; 7]; b = [ 2 3; 7 2; 6 6 9]; c = a*b d = a.*b e = a + b f = -a g = 3*b Se si chiude il comando con ; non si ottiene alcun output. Altrimenti il risultato dell'operazione è visualizzato immediatamente Estrazione di dati da una matrice a = [ 2 3; 9 5 4; 7] b = a(,4) % 4 elemento della prima riga c = a(,:) d = a(:,3) % l'intera prima riga (c è un array monodimensionale) % la terza colonna di a (d è un vettore colonna) Anche gli indici possono essere espressi tramite un array :n % restituisce un array con tutti i numeri interi da a n e = a(2,[[:3] 5]) % vettore contenente i primi 3 elementi e il quinto della seconda riga di a Lab. Programmazione - MATLAB 29 Lab. Programmazione - MATLAB 3 Operatori relazionali Relazione MATLAB Uguaglianza == Diversità!= Diversità = Diversità <> Maggiore di > Minore di < Maggiore o uguale a >= Minore o uguale a <= Sono sempre valutati elemento per elemento. Ciò che si confronta deve avere la stessa struttura. Esempio di programma MATLAB a = [ 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; b = [ 2 7; 3 9 6; 7 5]; c = (a==b) d = (a(3,:)!= b(,:)) e = (a(:,2) <= b(:,3)) f = (b > a) Lab. Programmazione - MATLAB 3 Lab. Programmazione - MATLAB 32 8