Algebra di Boole Elementi di Informatica - Algebra di Boole 1 A. Valenzano

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1 Algebra di Boole Elementi di Informatica - Algebra di Boole 1 A. Valenano

2 Sommario Variabili e funioni booleane Tabelle di verità Operatori booleani Espressioni booleane Teoremi fondamentali dell algebra di Boole Semplificaione delle espressioni logiche Elementi di Informatica - Algebra di Boole 2 A. Valenano

3 Variabili booleane Secondo Boole, il ragionamento è basato sulle asserioni, le quali assumono il valore Vero o Falso. Esempio: oggi_piove. Introdusse così le variabili logiche, che assumono due valori, T o F. Con le variabili logiche si possono modellare tutti i fenomeni che assumono due valori, ad esempio i circuiti di commutaione ON e OFF, le cifre del sistema binario 1 e 0, ecc. Useremo le variabili 1, 2,, n, che assumono valori T o F, chiamandole variabili logiche o booleane. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 3 A. Valenano

4 Funioni booleane Una funione logica F 1, 2,, n associaad ogni n-pla i un valore logico T o F. Ogni funione può essere specificata per meo di una tabella di verità, che assegna ad ogni combinaione di valori 1, 2,, n il valore assunto dalla funione F. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 4 A. Valenano

5 Tabelle di verità Per ogni combinaione delle variabili indipendenti si riporta il valore di F. Esempio: F,, F Elementi di Informatica - Algebra di Boole 5 A. Valenano

6 Numero di funioni booleane Con n variabili si possono avere 2 n combinaioni. Poiché una funione può assumere solo 2 valori il numero di possibili funioni diverse è dato da: m = 2 2n Elementi di Informatica - Algebra di Boole 6 A. Valenano

7 Numero di funioni booleane 2 Infatti: 1 2 n F 0 F 1 F 2 F m Elementi di Informatica - Algebra di Boole 7 A. Valenano

8 Tipi di funioni booleane Completamente specificate: viene indicato il valore di F per ogni combinaione delle variabili indipendenti. Non completamente specificate: il valore di F non è definito per una o più combinaioni delle variabili indipendenti. Nota: il valore di F per le combinaioni non specificate è detto "don't care" ed è indicato con "-" sulla tabella di verità. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 8 A. Valenano

9 Funioni completamente specificate Esempio: In una staione, il treno parte se e solo se il semaforo è verde e il capostaione ha dato il via. Variabili logiche: S: vale 1 = vero se il semaforo è verde C: vale 1 = vero se il capostaione ha dato il via Funione: T: vale 1 = vero se il treno parte Elementi di Informatica - Algebra di Boole 9 A. Valenano

10 Funioni completamente specificate 2 Tavola di verità completamente specificata: S C T Elementi di Informatica - Algebra di Boole 10 A. Valenano

11 Funioni completamente specificate 3 Altro esempio: Un allievo del Politecnico si laurea se ha superato tutti gli esami e se ha svolto una tesi di laurea oppure una prova di sintesi. Variabili: E: vale 1 se l allievo ha superato tutti gli esami T: vale 1 se ha svolto la tesi S: vale 1 se ha svolto la sintesi Funione: L:vale1sesilaurea Elementi di Informatica - Algebra di Boole 11 A. Valenano

12 Funioni completamente specificate 4 Tavola di verità: E T S L Elementi di Informatica - Algebra di Boole 12 A. Valenano

13 Funioni non completamente specificate Si osservi che, nella realtà del Poli, non si può dare la tesi o la sintesi sena aver prima superato tutti gli esami combinaioni 2 e4 non viene assegnata la sintesi, se l allievo svolge la tesi combinaioni 3 e 8 Per queste combinaioni si può non assegnare un valore alla funione funione non completamente specificata. Per le combinaioni che non accadono mai, si usa il valore don t care. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 13 A. Valenano

14 Funioni non completamente specificate 2 Tavola di verità: E T S L Elementi di Informatica - Algebra di Boole 14 A. Valenano

15 Operatori booleani Rappresentano le operaioni basilari dell'algebra di Boole. Le loro funioni possono essere realiate tramite circuiti elettronici elementari talora detti porte o porte logiche. Possono essere definiti tramite tabelle di verità. Tutte le funioni più complesse sono ottenute tramite opportune combinaioni di tali operatori. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 15 A. Valenano

16 Operatore AND E' anche detto "prodotto logico": Tavola della verità AND Simbolo logico Notaioni AND Elementi di Informatica - Algebra di Boole 16 A. Valenano

17 Operatore OR E' anche detto "somma logica": Tavola della verità OR Simbolo logico Notaioni: OR Elementi di Informatica - Algebra di Boole 17 A. Valenano

18 Operatore NOT E' anche detto "negaione": Tavola della verità NOT Simbolo logico Notaioni: ~ NOT Elementi di Informatica - Algebra di Boole 18 A. Valenano

19 Operatore NAND Tavola della verità NAND Simbolo logico Notaioni ~ NAND Elementi di Informatica - Algebra di Boole 19 A. Valenano

20 Operatore NOR Tavola della verità NOR Simbolo logico Notaioni: ~ NOR Elementi di Informatica - Algebra di Boole 20 A. Valenano

21 Operatore E-OR E' anche detto "or esclusivo": Tavola della verità E-OR Simbolo logico Notaioni: EOR Elementi di Informatica - Algebra di Boole 21 A. Valenano

22 Espressioni logiche Sono espressioni che combinano variabili booleane tramite gli operatori logici Espressioni equivalenti: E 1 ed E 2 sono equivalenti se per tutte le combinaioni delle variabili indipendenti per cui E 1 = 1 anche E 2 =1e per tutte le combinaioni delle variabili indipendenti per cui E 1 = 0 anche E 2 =0 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 22 A. Valenano

23 Espressioni equivalenti Esempio di equaioni equivalenti: Impossibile visualiare l'immagine. T T T a b a T b Elementi di Informatica - Algebra di Boole 23 A. Valenano

24 Espressioni equivalenti 2 T a T b _ Elementi di Informatica - Algebra di Boole 24 A. Valenano

25 Espressioni complementari E 1 ed E 2 sono complementari se: per tutte le combinaioni delle variabili indipendenti per cui E 1 =1risultaE 2 =0e per tutte le combinaioni delle variabili indipendenti per cui E 1 =0risultaE 2 =1 Nota: se due espressioni sono complementari E 1 = E 2 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 25 A. Valenano

26 Espressioni complementari 2 Esempio di funioni complementari: T a T b T a T b Elementi di Informatica - Algebra di Boole 26 A. Valenano

27 Espressioni complementari 3 T a T b Elementi di Informatica - Algebra di Boole 27 A. Valenano

28 Espressioni duali E 2 è duale di E 1 se può essere ottenuta da E 1 : sostituendo l'operatore OR con l'operatore AND e viceversa tenendo conto delle precedene degli operatori in E 1!!; sostituendo il valore 0 con il valore 1 e viceversa. Regola di complementaione: l'espressione complementare di E 1 può essere ottenuta dalla sua duale E 2 complementando tutte le variabili in E 2. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 28 A. Valenano

29 Esempi di espressioni booleane Fa,b,c = a b + c Fd = a + b c F = a + b c a b c F Fd F Elementi di Informatica - Algebra di Boole 29 A. Valenano

30 Teoremi dell algebra booelana Possono essere dimostrati per induione completa verifica della validità per ogni combinaione delle variabili indipendenti. Dato un teorema esiste il teorema duale. Seèdimostratalavaliditàdiunteorema è dimostrata anche la validità del teorema duale. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 30 A. Valenano

31 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 31 A. Valenano Principali teoremi 1 : 0 : 0 : : 0 0 Duale d Duale c Duale b Duale a

32 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 32 A. Valenano Principali teoremi 2 Duale distributiva propr h Duale DeMorgan teorema g Duale assoc propr f Duale commutativa propr e : : :.. :.

33 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 33 A. Valenano Principali teoremi 3 : : : _. _ : ' Duale l Duale Duale diretta fusione teor j Duale inclusione dell teorema i

34 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 34 A. Valenano Principali teoremi 4,..., 0,1,,...,,, :,..., 1,0,,...,,, : : f f Duale f f o Duale n Duale m

35 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 35 A. Valenano Principali teoremi 5 generaliato demorgan f f q f f f Duale f f f p,,,...,,,,,...,,,..., 1,0,,..., 0,1,,...,,, :,..., 0,1,,..., 1,0,,...,,,

36 Espressione che rappresenta una funione Problema: una luce L deve essere accesa / spenta da due interruttori separati A e B. Tavola di verità della funione L: A B L Elementi di Informatica - Algebra di Boole 36 A. Valenano

37 Espressione che rappresenta una funione 2 Si consideri l espressione T data come: T = AB+AB La tavola di verità è: A B AB AB T Elementi di Informatica - Algebra di Boole 37 A. Valenano

38 Espressione che rappresenta una funione 3 L e T si comportano allo stesso modo riga per riga: si dice che T rappresenta L. Regola: si considerano le combinaioni per cui la funione vale 1. L espressione avrà tanti termini in OR quanti sono gli 1 della funione. Ogni termine contiene tutte le variabili in AND. Una variabile sarà affermata se nella combinaione quella variabile vale 1, sarà negata se la variabile vale 0. L espressione ottenuta sarà quindi nella forma somma di prodotti min-term. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 38 A. Valenano

39 Semplificaione delle espressioni booleane I teoremi fondamentali possono essere impiegati per semplificare le espressioni usate per specificare le funioni booleane. Se una funione non è completamente specificata si possono utiliare le combinaioni di "don't care" per semplificarne l'espressione. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 39 A. Valenano

40 Semplificaione delle espressioni booleane 2 Regola per la semplificaione: si confronta ciascun termine con tutti i successivi; se i due termini confrontati contengono le stesse lettere e nei due termini c è una sola differena di una lettera che in un termine è affermata e nell altra è negata, si applica il teorema: _ + = Elementi di Informatica - Algebra di Boole 40 A. Valenano

41 Semplificaione delle espressioni booleane 3 i due termini utiliati nella fusione si marcano come utiliati; se alla fine ci sono termini non utiliati in nessuna fusione non marcati, si riportano nell espressione finale; si ripete il tentativo di fusione nell espressione ottenuta, fino a quando, ad una passata, non si sono effettuate più fusioni. L espressione ottenuta è minima si possono eventualmente applicare altri teoremi, per migliorare la forma. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 41 A. Valenano

42 Esempi di semplificaione Tavola di verità di al Poli ci si laurea : E T S L Elementi di Informatica - Algebra di Boole 42 A. Valenano

43 Esempi di semplificaione 2 L ETS ET S ETS ES T T ET S S ES ET E S T Elementi di Informatica - Algebra di Boole 43 A. Valenano

44 Esempi di semplificaione 3 F Elementi di Informatica - Algebra di Boole 44 A. Valenano

45 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 45 A. Valenano Esempi di semplificaione 4 a don't care = 0 F

46 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 46 A. Valenano Esempi di semplificaione 5 a don't care = 1 F

47 Realiaioni circuitali A B A B C D C D Infatti A B C D = A B + C D = A B + C D Elementi di Informatica - Algebra di Boole 47 A. Valenano

48 Esempio: full adder La somma S di 2 numeri binari A e B di n bit può essere ricondotta a n somme elementari di 3 bit tenendo conto che: a,b sono i bit di peso di A e B s èil-esimobitdis r è il riporto generato dalla somma dei bit di peso -1, -2,... 0 di A e B. r -1 =0 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 48 A. Valenano

49 Full adder: tabelle di verità Si possono ricavare le tabelle di verità di s er in funione di a,b er -1 a b r -1 s r Elementi di Informatica - Algebra di Boole 49 A. Valenano

50 Full adder: espressioni booleane a b r -1 s r a b r -1 a b r -1 a b r -1 a b r -1 a b r -1 a b r -1 a b r -1 a b r -1 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 50 A. Valenano

51 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 51 A. Valenano Full adder: semplificaione delle espressioni b a b a r b a r a r b r b a r b a r b a r b a r b a r b a r b a r b a b a r b a b a r r b a r b a r b a r b a s Le espressioni di s e r sono date da:

52 Full adder: struttura a blocchi Le funioni che forniscono s ed r possono essere realiate in un unico circuito elettronico full adder: carr a n b n r n-1 a n-1 b n-1 r n- a 0 b r n s n r n- 1 s n-1 r 0 s0 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 52 A. Valenano

53 Esempio I Problema tema di esame del 27/2/96: Si considerino due valori A = a 1 a 0 e B=b 1 b 0 espressi in complemento a 2 su 2 bit. Scrivere l espressione di una funione booleana F che è vera se e solo se A = -B Soluione: conviene considerare i bit che costituiscono A e B come variabili indipendenti e scrivere la funione come Fa 0,a 1,b 0,b 1. Elementi di Informatica - Algebra di Boole 53 A. Valenano

54 Esempio II a 1 a 0 b 1 b 0 A B F F = a 1 a 0 b 1 b 0 + a 1 a 0 b 1 b 0 + a 1 a 0 b 1 b 0 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 54 A. Valenano

55 Esempio III Semplificaione di F: F = a 1 a 0 b 1 b 0 + a 1 a 0 b 1 b 0 + a 1 a 0 b 1 b 0 = = a 1 a 0 b 1 b 0 + a 0 b 0 a 1 b 1 + a 1 b 1 = = a 1 a 0 b 1 b 0 + a 0 b 0 a 1 + b 1 Elementi di Informatica - Algebra di Boole 55 A. Valenano