Lezione 5. Sommario. La logica booleana. I principi della logica booleana Gli operatori logici

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1 Lezione 5 La logica booleana Sommario I principi della logica booleana Gli operatori logici 1

2 Variabili Booleane Variabile booleana=quantità che può assumere solo due valori I due valori hanno il significato di: vero o falso Per convenzione si rappresentano come: Vero=1 Falso=0 Logica Booleana Logica di Boole o Logica Booleana è la teoria che tratta la manipolazione di variabili booleane L aritmetica è la teoria che tratta la manipolazione dei numeri La Logica Booleana fa uso di alcuni operatori In aritmetica gli operatori sono ad esempio: + - La combinazione degli operatori e delle variabili permette di definire le funzioni booleane 2

3 Le funzioni Booleane Le funzioni booleane sono caratterizzate da una o più variabile di ingresso e una variabile di uscita In aritmetica una funzione ha il seguente aspetto: z=3 x + 2 y dove x e y sono variabili di ingresso e z è la variabile di uscita Le variabili di ingresso sono dette indipendenti, cioè possono assumere liberamente qualsiasi valore La variabile di uscita è detta dipendente, cioè una volta stabilito il valore assunto dalle variabili di ingresso, è obbligata ad assumere un valore Rappresentazione degli operatori della logica booleana Esistono due modi per rappresentare gli operatori booleani: rappresentazione algebrica rappresentazione circuitale Rappresentazione Algebrica: per rappresentare gli operatori si utilizzano dei simboli Rappresentazione Circuitale: è una rappresentazione grafica dove gli operatori sono rappresentati mediante porte collegate da segmenti 3

4 Esempi di rappresentazioni Funzione in rappresentazione algebrica: U=((X.Y)+X.Z)? Y Funzione in rappresentazione circuitale: X Y Z U DIREZIONE DEL SEGNALE Rappresentazione Circuitale Nella rappresentazione circuitale il valore delle variabili è un segnale Un segnale è qualcosa (attività elettrica) che può essere presente o assente Per convenzione se presente è identificato con il valore 1 se assente con il valore 0 Il segnale può fluire in una unica direzione Si può pensare alle porte logiche come a piccoli dispositivi che prendono in ingresso un segnale e restituiscono in uscita un segnale trasformato 4

5 Tabella della verità Una funzione booleana può essere rappresentata in modo esaustivo (ma non compatto) tramite una tabella della verità la tabella contiene una colonna per ogni variabile di ingresso una colonna per ogni variabile di uscita una riga per ogni combinazione delle variabili di ingresso tante righe quante sono tutte le possibili combinazioni di di valori che gli ingressi possono assumere in corrsipondenza dei valori di ingresso è riportato il valore assunto dalla variabile di uscita Esempio di tabella di verità Funzione in rappresentazione algebrica: U=((X.Y)+X.Z)? Y Funzione in rappresentazione tabellare: X Y Z U

6 Esempio di rappresentazione tabellare in aritmetica Funzione in rappresentazione algebrica: Y=1+2X Funzione in rappresentazione tabellare: X Y Operatori booleani Gli operatori sono: NOT: inversione AND : e OR: o EXOR o XOR: uno dei due 6

7 NOT L operatore NOT restituisce l opposto del valore della variabile di ingresso Tabella X U Circuito Algebra: U=X X U AND L operatore AND si applica a due variabili di ingresso. Ritorna 1 solo se entrambe sono 1. Tabella Circuito X Y X Y U U Algebra: U=X Y 7

8 OR L operatore OR si applica a due variabili di ingresso. Restituisce 0 solo se entrambe sono 0. Tabella X Y U Circuito X Y U Algebra: U=X+Y EXOR L operatore EXOR o XOR si applica a due variabili di ingresso. Restituisce 1 solo se solo una delle due è 1. Tabella Circuito X Y X Y U U Algebra: U=X Y 8

9 Un operatore + l operatore NOT Si può rappresentare la successione di un operatore AND, OR, XOR e l operatore NOT in modo compatto con: X U Y X U Y X Y U Esempio Ad una festa in maschera il padrone di casa costruisce un rilevatore automatico di costume per determinare quali persone ammettere. La regola è la seguente: le persone devono avere baffi finti e occhiali inoltre devono avere o scarpe da pagliaccio o cappello da pirata oppure devono avere un vestito in maschera completo ma non è ammesso chi ha un cane Un custode preme i tasti di un circuito e in risposta ottiene/non attiene un segnale se la persona è ammessa/non ammessa 9

10 Esempio... La prima condizione è che debbano avere sia baffi finti che occhiali Baffi Ok Occhiali Esempio... Inoltre è necessario avere anche scarpe da pagliaccio o cappello da pirata Baffi Occhiali Ok Scarpe Cappello 10

11 Esempio... Chi ha un qualsiasi vestito completo può entrare indipendentemente dalle altre condizioni,... Baffi Occhiali Scarpe Cappello Ok Vestito Esempio. ma chi ha un cane non può assolutamente entrare Baffi Occhiali Scarpe Cappello Vestito Ok Cane 11

12 Esempio Circuito con interruttori e lampadina: Se un interrutore A è aperto allora la corrente non può passare, non c e segnale, A=0 Se un interruttore A è chiuso allora la corrente passa, c è segnale, A=1 A B OR A B A B AND A B Esercizio Dato un circuito elettrico per l accensione di una lampadina determinare la funzione booleana che dà le condizioni per cui la lampadina è accesa. 12

13 Passare dalla Tavola della Verità alla Funzione Algebrica Data una tavola della verità si può ricavare la funzione booleana nel seguente modo: Si consideri solo le righe della tavola per le quali la variabile di uscita è vera Infatti vogliamo scrivere le condizioni che rendono vera la funzione. Necessariamente qualsiasi combinazione di valori delle variabili in ingresso che non rendono vera la funzione la rendono falsa. Una riga corrisponde a porre in AND i valori di tutte le variabili Considerare due o più righe corrisponde a porre in OR le espressioni trovate per le righe Esempio Data la seguente tavola della verità: X Y Z U si considerano solo le righe che rendono vera la variabile di uscita 13

14 Esempio Si considera una riga: X Y Z U quale è la relazione che lega i valori delle variabili in ingresso affinche la variabile di uscita sia vera (1)? X. Y. Z = 1 Esempio E procedendo analogamente per tutte le righe: si ottiene: X Y Z U X. Y. Z = 1 X. Y. Z = 1 X. Y. Z = 1 14

15 Esempio La variabile U è vera quando almeno una delle tre condizioni trovate è vera Il valore di verità per la variabile U si ottiene pertanto ponendo in OR lee condizioni trovate: X.Y.Z + X.Y.Z + X.Y.Z = U Passare da una funzione alla Tavola della Verità Data una funzione la si scompone in termini elementari Si riportano i valori assunti da termine elementare in una colonna distinta della tavola della verità Si usano i risultati parziali come valori di ingresso per le espressioni successive Si determinano le variabili di uscita 15

16 Passare da un Circuito Logico alla Tavola della Verità Dato un circuito logico si determina l uscita di ogni porta Per fare questo: Si riportano i valori assunti da ogni porta in una colonna distinta della tavola della verità Si usano i valori di uscita di ogni porta come valori di ingresso per le porte successive come indicato dal circuito Si determinano le variabili di uscita Passare da una funzione algebrica ad un circuito Si elencano tutte le variabili di ingresso a sinistra Si elencano tutte le variabili di uscita a destra Si riscrivono gli operatori tramite le porte a cominciare dalle parentesi più interne 16