Appunti dal corso di Tecnologia dei Sistemi di Controllo Algebra booleana

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1 Percorsi Abilitanti Speciali A.A. 2013/2014 AUTOMAZIONE E CONTROLLO DI DISPOSITIVI BASATI SU MICROCONTROLLORE classe abilitazione C320 LABORATORIO MECCANICO TECNOLOGICO Appunti dal corso di Tecnologia dei Sistemi di Controllo Algebra booleana Tratti dal sito: a cura di: Ing. Filippo D Ippolito

2 Pag. 2 SOMMARIO RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI CON BASE DIVERSA DA CONVERSIONI DA DECIMALE A BINARIO... 3 Algebra Booleana... 5 Introduzione... 5 Proprietà dell'algebra booleana... 6 P.2 COMMUTATIVA... 6 P.3 ASSOCIATIVA... 6 P.4 ASSORBIMENTO (casi 1 e 2)... 7 P.5 DISTRIBUTIVA... 8 P.6 COMPLEMENTARIETA'... 9 TABELLA DELLA VERITA' TERMINI MASSIMI E TERMINI MINIMI TEOREMA FONDAMENTALE TEOREMA DI DE MORGAN MISURA DELLA COMPLESSITA' DELLE FUNZIONI LOGICHE Semplificazione di una funzione logica Metodo di Karnaugh CIRCUITI LOGICI SIMBOLISMO DI RAPPRESENTAZIONE DEI CIRCUITI LOGICI Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA AND Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA OR Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA NOT Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA NAND Rappresentazione circuiti logici: PORTA NOR Trasformazioni TRASFORMAZIONE DEL NAND TRASFORMAZIONE DEL NOR TRASFORMAZIONE AND in OR e viceversa Sviluppo porte logiche SVILUPPO DELLE PORTE LOGICHE FONDAMENTALI CON PORTE NAND SVILUPPO DELLE PORTE LOGICHE FONDAMENTALI CON PORTE NOR PORTA DI OR ESCLUSIVO - Exclusive OR o EX-OR PROPRIETA' LOGICHE DI EX-OR... 27

3 Pag. 3 RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI CON BASE DIVERSA DA 10 L'aritmetica binaria esprime i numeri come potenze di 2, alla stessa maniera come l'aritmetica decimale esprime i numeri come potenze di 10. Ad esempio, il numero millequattrocentoventicinque scritto nella notazione decimale 1425 è in una forma più concisa al posto dell'espressione: 1425 = 1 x x x x 10 0 Nella notazione decimale ogni colonna può avere una delle dieci cifre da 0 a 9: la cifra della prima colonna da destra è il coefficiente di dieci alla zero, la cifra della seconda colonna è il coefficiente di dieci alla prima potenza e così via: cioè la notazione numerica è fatta con una codificazione posizionale per colonne. Nell'aritmetica binaria ogni colonna può disporre delle sole due cifre 0 e 1, che vengono usate come coefficienti delle diverse potenze di 2. Così il numero precedente nella notazione binaria si scrive: ed equivale ad una rappresentazione concisa della seguente espressione: 1x x x x x x2 5 1x x x x x2 0 = = = 1425 Il sistema binario copre ovviamente anche i numeri minori dell'unità ed essi vanno scritti a destra della virgola. Ad esempio il numero 1011, 1011 sta a significare: 1x x x2 1 +1x x x x x2-4 = ,5+0+0,125+0,0625=11,6875. CONVERSIONI DA DECIMALE A BINARIO Ci sono due metodi per convertire un numero decimale nella sua rappresentazione equivalente nel sistema binario.

4 Pag. 4 Numero decimale espresso come somma di potenze di = = = = = = Numero decimale calcolato per divisione ripetuta

5 Pag. 5 Algebra Booleana Introduzione In un sistema elettronico digitale si usano segnali con valori discreti ed in generale si scelgono i segnali binari con due soli possibili valori, simbolicamente indicati 0 e 1. Questa scelta è anche suggerita dalla semplicità e dalla sicurezza dei circuiti che adottano solamente elementi bistabili e che devono discriminare solo fra due stati elettrici fra loro molto diversi. Le operazioni su variabili binarie devono dare come risultato ancora variabili binarie. L'algebra che definisce queste operazioni è detta algebra binaria o a due valori.essa si applica a tutti quei casi in cui si hanno elementi capaci di assumere soltanto due soluzioni antitetiche con l'esclusione di qualunque altra, e che in qualsiasi istante si trovano in una o nell'altra delle condizioni considerate. Questo tipo di algebra è stata sviluppata da George Boole, che si provò ad analizzare le proposizione logiche partendo dal loro contenuto vero o falso. La sua trattazione è nota anche come analisi matematica della logica. Da questa denominazione è derivato il termine di circuiti logici ai circuiti che eseguono operazioni su segnali binari. L'algebra della logica può essere costruita considerando le relazioni di appartenenza o di non appartenenza fra classi di oggetti. La classe di tutti gli oggetti che vengono presi in considerazione, senza preoccuparsi delle loro proprietà o dei loro caratteri è detta classe universale. Scegliamo la classe A costituita da tutti gli elementi che hanno una determinata qualità e la classe B da elementi con altra qualità, diversa dalla prima. Potremo considerare una nuova classe costituita da quegli elementi della classe universale, che posseggono almeno una di quelle qualità, cioè che appartengono ad almeno una delle classi A e B. La nuova classe si chiama Unione o somma logica di A e B e si indica con A+B Potremo invece costituire la classe degli elementi che posseggono entrambe le qualità richieste, cioè che appartengono ad entrambe le classi. La nuova classe si chiama intersezione o prodotto logico e si indica con A.B Il considerare una classe A di elementi con una determinata proprietà implica necessariamente il considerare tutti gli elementi della classe universale che non posseggono quella proprietà. Si forma così una seconda classe indicata con A e che si dice complementare di A

6 Pag. 6 Proprietà dell'algebra booleana P.2 COMMUTATIVA Il prodotto (il prodotto logico fra N variabili booleane è uguale a 1 se e solo se TUTTE le variabili che lo compongono hanno il valore 1) e la somma logica (la somma logica fra N variabili booleane è uguale a 1 se ALMENO UNA delle variabili che la compongono vale 1) sono operazioni che godono della proprietà commutativa. Ciò significa che il prodotto e la somma logica di due variabili booleane non cambia se si inverte l'ordine dei termini. A*B = BA A + B = B + A La connessione tra ingresso E e uscita U non è condizionata dalla posizione reciproca dei due interruttori. P.3 ASSOCIATIVA Il prodotto e la somma logica godono della proprietà associativa, che stabilisce che il risultato dell'operazione non cambia qualunque sia l'ordine con cui l'operazione viene applicata ai termini consecutivi. (A.B). C = A. (B.C) (A+B) + C = A + (B+C)

7 Pag. 7 La connessione tra ingresso E e uscita U non è condizionata da come si raggruppano tra loro gli interruttori. P.4 ASSORBIMENTO (casi 1 e 2) Un modo per definire la proprietà di assorbimento è il seguente: la somma di una variabile booleana A con il prodotto tra la stessa variabile e un'altra (ad es. B), è uguale alla variabile A. A + (A.B) = A (Raccogliendo la prima parte a fattor comune si ha: A. (1+B) poichè la somma di una variabile booleana con 1 dà 1 si avrà: A.1 poichè il prodotto di una variabile booleana con 1 è uguale alla variabile stessa si avrà: A) il prodotto di una variabile booelana A con la somma della stessa variabile e un'altra (ad es. B), è uguale alla variabile A. (Si può dimostrare caso per caso: A.(A+B) = A

8 Pag. 8 caso 1 A=0 B=0 si ha: 0.(0+0)=0; 0.0=0; 0=0 caso 2: A=0 B=1 si ha: 0.(0+1)=0 0.1=0; 0=0 caso3: A=1 B=0 si ha: 1.(1+0)=1 1.1=1; 1=1 caso 4: A=1 B=1 si ha: 1.(1+1)=1 1.1=1; 1=1 oppure più semplicemente riconducendo A(A+B) ad A.A+A.B=A+AB cioè il caso precedente) P.5 DISTRIBUTIVA Le operazioni di somma e prodotto logico tra variabili booleane godono della proprietà distributiva, che consente di raccogliere in un unico interruttore la variabile che si ripete comparendo come fattore comune a due addendi o come addendo comune a due fattori. A.B + A.C = A.(B+C) (A+B).(A+C) = A + (B.C) (Svolgiamo la prima parte: A.A + A.C + B.A + B.C =A +A.C+B.A+B.C= raccogliamo A tra i primi due termini A.(1+C)+A.B+B.C= A.1 +A.B + B.C +A.B+B.C= raccogliamo A A.(1+B) + B.C = A.1 + B.C = A + (B.C )

9 Pag. 9 P.6 COMPLEMENTARIETA' La proprietà di complementarietà stabilisce che: 1. la somma logica di una variabile booleana con il suo complemento è uguale a 1 2. il prodotto logico di una variabile booleana con il suo complemento è uguale a 0.

10 Pag. 10 TABELLA DELLA VERITA' Una funzione binaria F di variabili binarie può essere definita da una tabella che, in corrispondenza dei valori assunti dalla funzione, indichi i valori 0 o 1 che assumono le sue variabili. Questa tabella prende il nome di TABELLA DELLA VERITA'. Si noti che in una tabella della verità ad una funzione con N variabili binarie corrispondono 2 configurazioni delle sue variabili considerate in forma vera o complementata. TERMINI MASSIMI E TERMINI MINIMI Si intende come termine minimo di n variabili un prodotto logico in cui tutte le n variabili compaiono nella loro forma vera o complementata. Si intende come termine massimo di n variabili una somma logica in cui tutte le n variabili compaiono nella loro forma vera o complementata. I termini minimi sono anche chiamati MINTERMS, mentre i termini massimi sono anche chiamati MAXTERMS. Nel caso di due variabili, i 4 termini minimi sono: A. B, A. B, A. B, A. B, e i 4 termini massimi sono: A + B, A + B, A +B, A + B Nel caso di tre variabili gli 8 termini minimi sono: A.B.C, A.B. C, A. B.C, A. B. C, A.B.C, A.B. C, A. B.C, A. B. C

11 Pag. 11 e gli 8 termini massimi sono: A+B+C, A+B+ C, A+ B +C, A+ B + C, A +B+C, A +B+ C, A + B +C, A + B + C. TEOREMA FONDAMENTALE Qualsiasi funzione logica di n variabili può essere espressa come somma logica di tutti i termini minimi (minterms) delle n variabili, i quali risultino eguali a 1, quando la funzione d'uscita assume il valore 1; oppure può essere espressa come prodotto logico di tutti i termini massimi (maxterms) i quali risultino eguali a 0, quando la funzione di uscita assuma valore 0. Si intende come termine minimo di n variabili il prodotto logico in cui tutte tutte le n variabili compaiono nella loro forma vera o complementata. Esempio: Nel caso di due variabili A e B, tutti i possibili termini minimi sono dati dai quattro prodotti: A. B, A. B, A. B, A. B. ed analogamente tutti i possibili termini massimi sono dati dalle somme: A + B, A + B, A +B, A + B Consideriamo allora la precedente tabella della verità della funzione F = A + B, riscritta tenendo conto anche dei valori di A e B. A B A B F Secondo il teorema la funzione nei suoi termini minimi può essere così espressa: F = A. B + A. B + A.B

12 Pag. 12 Applicando al secondo addendo la proprietà P1 (in modo da avere F = A. B + A. B + A. B + A.B) e quindi le proprietà P5 e P6, si riconduce alla forma già scritta che risulta direttamente dalla stessa tabella qualora la si fosse espressa subito in forma di termini massimi: F = A + B Questo teorema permette dunque di ricavare una funzione per qualsiasi rete: la forma, a cui si perviene, è in genere ridondante e va perciò ulteriormente semplificata. Questo teorema stabilisce pure, come logico corollario, che tutte le funzioni, anche le più complicate dell'algebra Booleana, possono essere costruite a partire dalle sole operazioni AND, OR, NOT. TEOREMA DI DE MORGAN Data una funzione binaria F di più variabili A, B, C ecc. espressa nell'algebra di Boole, vale la seguente identità: dove nella funzione al secondo membro si è sistematicamente sostituita ogni variabile con il suo complemento, e si sono scambiati fra loro i simboli delle operazioni di somma e di prodotto. MISURA DELLA COMPLESSITA' DELLE FUNZIONI LOGICHE In generale si conviene di misurare la complessità di una funzione logica calcolando il suo costo.

13 Pag. 13 Esso si misura sommando il numero totale di lettere e di simboli, anche se ripetuti, che compaiono nella funzione. Le due figure sotto sono un esempio di due funzioni booleane logicamente equivalenti ma di costo diverso [La funzione in figura 1 ha costo 7 (4 lettere e 3 simboli). La stessa funzione semplificata con la proprietà distributiva ha costo 5 (3 lettere e 2 simboli) come si vede in figura 2.] Semplificazione di una funzione logica Applicando i precedenti teoremi e proprietà, si possono seguire dei procedimenti sistematici per semplificare la funzioni logiche. Ad esempio nelle equazioni che esprimono proprietà Pi sopracitate, i termini a secondo membro sono o equivalenti o più semplici di quelli a primo membro; perciò se in una funzione compare un termine eguale al primo membro delle Pi, si può ottenere una semplificazione sostituendo col termine a secondo membro. Consideriamo l'esempio trattato da Shannon per lo schema in Figura 1 La funzione di trasmissione è data da: F = A. [ A. ( B + C D ) + A. ( B + D C )]

14 Pag. 14 se ad essa applichiamo le proprietà P5, P6, P1 ricaviamo la funzione: F = A. ( B + C. D ) caratteristica del circuito molto più semplice di Figura 2. Un altro esempio può essere dato con la funzione: F = A C + A D + B C + B D che, applicando due volte la proprietà P5, si semplifica facilmente come segue: F = A (C + D) + B ( C + D) = (A + B) (C + D) Il procedimento di semplificazione a tentativi (cut-and-try-method) può essere utile per funzioni elementari e negli stadi preliminari di semplificazione, ma non permette di sapere se l'espressione finale è effettivamente la più semplice ottenibile. Si sono sviluppati perciò diversi procedimenti sistematici che permettono di raggiungere questo risultato. Essi sono noti col nome di metodo di Quine, metodo di Harvard, metodo di Veitch e metodo di Karnaugh.

15 Pag. 15 Metodo di Karnaugh Il metodo di Karnaugh prende a referimento una funzione logica espressa con la tabella della verità rappresentandola sotto forma di mappa a matrice (mappa K), in cui ciascuna casella rappresenta una riga della tabella della verità. La mappa K permette perciò di rappresentare facilmente ogni funzione logica partendo da somme di mintermini o da prodotti di maxtermini. Per seguire il metodo K di semplificazione della funzione automaticamente occorre che la disposizione della mappa sia effettuata in modo che tra una casella e l'adiacente sia una e una sola variabile a cambiare di stato (0 1 oppure 1 0), come è mostrato nelle mappe che seguono: Mappa K per tre variabili Dalla tabella della verità: F = A. B.C + A. B.C + ABC Dalla mappa di Karnaugh: F = A.C + AC. Mappa K per quattro variabili

16 Pag. 16 Dalla tabella della verità: F = A. B. C. D + A.B. C.D + A. B. C. D + A. B. C.D + A B C D + A B C D Dalla mappa di Karnaugh: F = A. C.D + B. D Nella presentazione matriciale della funzione F occorre tener presente che: l'ultima colonna è considerata adiacente alla prima colonna; l'ultima riga adiacente alla prima riga in modo tale che si possa applicare anche alle loro celle la proprietà distributiva delle operazioni logiche, cioè: F.B + F. B = F

17 Pag. 17 Il principio generale per la semplificazione con mappe K è che ogni coppia di mintermini adiacenti può essere ridotta a un solo termine che presenta una variabile in meno. Graficamente ciò si visualizza cerchiando le caselle adiacenti nello stato 1. Questo principio generale può essere applicato in cascata sicché in 4 caselle adiacenti nello stato 1, la somma di 4 termini si riconduce a un solo termine in cui scompaiono le due variabili che commutano nel riquadro cerchiato. Nello stesso modo la somma di 8 caselle adiacenti nello stato 1 si riduce a u solo termine in cui scompaiono tre variabili. Si noti negli esempi che seguono che la disposizione adottata per le caselle fa comparire come adiacenti anche l'ultima casella con la prima di una stessa riga o di una stessa colonna.

18 Pag. 18 Esempi di ulteriori semplificazioni si hanno anche quando le caselle nello stato 1 sulla mappa K non sono pari ad una potenza di 2 ma risultano comunque adiacenti. Quando ad esempio sono adiacenti 5 caselle, l'1 della casella che ha un solo lato adiacente ad un altro 1 può essere cerchiato con la casella adiacente applicando in questo modo anche la proprietà di idempotenza. (La proprietà di idempotenza stabilisce che il prodotto o la somma logica di una variabile booleana con se' stessa è uguale al valore della variabile A.A=A; A+A=A). Allo stesso modo, quando sono adiacenti 6 caselle, come negli esempi che seguono, la somma di 6 termini si riduce ad una somma di due termini.

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20 Pag. 20 CIRCUITI LOGICI SIMBOLISMO DI RAPPRESENTAZIONE DEI CIRCUITI LOGICI I circuiti che compiono le operazioni dell'algebra della logica vengono designati come circuti di porta logica (logic gate). Le porte logiche forniscono in uscita un segnale binario, il cui valore è determinato dallo stao delle sue variabili binarie in ingresso e dal tipo di operazione logica compiuta. Esiste un tipo di porta per ogni operazione logica. Le porte logiche di base sono tre: AND, OR, NOT, da cui si possono sviluppare le diverse funzioni logiche. SIMBOLI DELLE PORTE LOGICHE Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA AND La porta AND esegue l'operazione di prodotto logico fra due o più ingressi binari (il prodotto logico fra N variabili booleane è uguale a 1 se e solo se TUTTE le variabili che lo compongono hanno il valore 1). Nel caso di due sole variabili di ingresso il simbolo e la tabella della verità per tale porta sono mostrati in figura.

21 Pag. 21 Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA OR La porta OR esegue l'operazione di somma logica fra due o più ingressi binari(la somma logica fra N variabili booleane è uguale a 1 se ALMENO UNA delle variabili che la compongono vale 1). Nel caso di due sole variabili di ingresso il simbolo e la tabella della verità per tale porta sono mostrati in figura. Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA NOT La porta NOT capace di ricevere un solo ingresso esegue l'operazione di invertire il valore di questa variabile e darle in uscita il valore complementato o negato.

22 Pag. 22 Il simbolo e la tabella della verità per tale porta sono mostrati in figura. Rappresentazione dei circuiti logici: PORTA NAND La porta NAND è costituita da un AND a due o più ingressi la cui uscita va all'ingresso di un NOT e da quindi come risultato la negazione dell'and, viene perciò detta NAND. La porta NAND esegue il complemento (il complemento di una variabile booleana è uguale a 1 se la variabile vale 0 e viceversa) del prodotto logico fra due o più variabili binarie. Il simbolo e la tabella della verità per tale porta sono mostrati in figura. Rappresentazione circuiti logici: PORTA NOR La porta NOR è costituita da un OR a due o più ingressi la cui uscita va all'ingresso di un NOT ed è quindi il risultato di una negazione del OR viene detta perciò NOR.

23 Pag. 23 La porta NOR esegue il complemento della somma logica fra due o più variabili binarie. Il simbolo e la tabella della verità per tale porta sono mostrati in figura. Trasformazioni TRASFORMAZIONE DEL NAND Dal teorema di De Morgan deriva che il circuito di NAND definito come il complemento del circuito di AND: risulta uguale a:. Tabella del NAND Secondo il teorema fondamentale possiamo scrivere:

24 Pag. 24 Con i simboli logici si può scrivere: che è quanto dice il teorema di De Morgan. TRASFORMAZIONE DEL NOR Dal teorema di De Morgan deriva che il circuito di NOR definito come il complemento del circuito di OR:. risulta uguale a:. La tabella di NOR Con il teorema fondamentale, possiamo scrivere: Con i simboli logici si può scrivere: Che è quanto dice il teorema di De Morgan. TRASFORMAZIONE AND in OR e viceversa Tenendo presente che: si ha:

25 Pag. 25 se si nega anche l'uscita dell'or si ha infine: cioè il circuito di AND è equivalente ad un circuito di OR in cui si invertano tutti gli ingressi e l'uscita. Così ricordando che : si ha: se si nega anche l'uscita dell'and si ha: Cioè: il circuito di OR è equivalente ad un circuito di AND in cui si invertano tutti gli ingressi e l'uscita. Risulta allora chiaro che non è necessario usare tutte e tre le operazioni logiche elementari AND, OR, NOT perché: 1. l'operazione di AND si può ottenere da un OR collegandovi in ingresso e uscita dei NOT; 2. così pure si può ottenere un OR da un AND. Ne deriva che qualsiasi funzione logica può essere sviluppata con porte logiche tutte NOR, oppure tutte NAND. Sviluppo porte logiche SVILUPPO DELLE PORTE LOGICHE FONDAMENTALI CON PORTE NAND Le porte NAND possono essere usate per realizzare qualsiasi funzione booleana sviluppandole con soli moduli NAND tutti uguali.

26 Pag. 26 SVILUPPO DELLE PORTE LOGICHE FONDAMENTALI CON PORTE NOR Le porte NOR possono essere usate per realizzare qualsiasi espressione booleana. PORTA DI OR ESCLUSIVO - Exclusive OR o EX-OR La tabella di verità della funzione =R esclusivo è data da:

27 Pag. 27 Tabella della verità porta EX-OR Dal teorema fondamentale si ha, sviluppando con termini minimi, Z= A B+A B cioè: oppure: sviluppando con termini massimi Z=(A+B)( A + B ) cioè: Infine il simbolo per la funzione EX-OR è il seguente: PROPRIETA' LOGICHE DI EX-OR Simbolo porta EX-OR Il circuito EX-OR è commutativo ed anche associativo. Possiamo perciò scrivere senza parentesi l'ex-or per più variabili, come ad esempio:

28 Pag. 28 Le famiglie di EX-OR disponibili commercialmente hanno in genere solo due ingressi, sicché per ottenere più variabili in EX-OR si usano in cascata le porte EX-OR a due ingressi connesse ad esempio come segue: