Parte IV Indice. Algebra booleana. Esercizi

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1 Parte IV Indice Algebra booleana operatori logici espressioni logiche teoremi fondamentali tabelle di verità forme canoniche circuiti logici mappe di Karnaugh Esercii IV.

2 Algebra booleana L algebra booleana deve il suo nome a Boole che ne formaliò le regole L algebra booleana opera su variabili che possono assumere solamente due valori Tali variabili vengono dette logiche o booleane ; i valori che possono assumere sono due: / vero/falso on/off chiuso/aperto Il valore è solitamente associato alla condiione logica vero true on chiuso mentre lo è associato alla condiione logica falso false off aperto IV.2

3 Algebra booleana L algebra booleana è adatta per rappresentare eventi binari cioè condiioni che possono assumere solo due valori Esempio Una lampadina può essere accesa a questa condiione si associa il valore o vero oppure spenta valore o falso Le funioni che operano sulle variabili booleane sono dette funioni booleane e possono produrre anch esse solo i valori e IV.3

4 Algebra booleana Una funione booleana funione di variabili booleane v v 2...v n si indica: v v K v 2 n Può essere definita in vari modi: uno di questi consiste nello specificare i valori di per tutte le possibili combinaioni delle variabili da cui essa dipende. Tale elenco di combinaioni viene detto tabella della verità IV.4

5 Algebra booleana Esempio vv2v3 può essere definita come: v 3 v 2 v Ogni variabile booleana può assumere due valori quindi con n variabili si possono avere 2 n possibili combinaioni IV.5

6 Algebra booleana Esempio Descriione di un evento mediante una funione booleana Un allievo passa l esame se si verifica almeno una delle seguenti condiioni:» supera sia il compito di esonero sia la prova orale» non supera l esonero ma è sufficiente alla prova scritta di un appello regolare e supera la prova orale Si può assegnare ad ogni evento una variabile booleana: a esonero b scritto regolare c prova orale IV.6

7 Algebra booleana Con 3 variabili booleane ci sono possibili combinaioni La tabella della verità della funione booleana superamento esame Sabc sarà: a b c S IV.7

8 Algebra booleana Si noti che per superare l esame cioè S bisogna aver sostenuto e superato l orale e l esonero e/o lo scritto regolare A stretto rigore di logica la condiione a b c non può verificarsi in quanto si può accedere all orale solo dopo aver superato una delle prove precedenti o entrambe Il valore di S per quella combinaione si potrebbe più correttamente non specificare valore detto don t care e solitamente rappresentato con il simbolo IV.8

9 Operatori logici Le variabili booleane possono essere combinate da operatori logici Tali operatori restituiscono anch essi un valore logico Gli operatori sono: AND OR NOT NAND NOR EXOR EXNOR IV.9

10 Operatori logici Operatore AND tale operatore viene denotato dal simbolo da non confondere con il simbolo di prodotto aritmetico e spesso sottinteso si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole:»»»» il risultato è vero se entrambi gli operandi sono veri IV.

11 Operatori logici Operatore OR inclusivo tale operatore viene denotato dal simbolo da non confondere con il simbolo di addiione aritmetica si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole:»»»» il risultato è vero se almeno uno degli operandi è vero IV.

12 Operatori logici Operatore NOT tale operatore viene indicato con il simbolo sopra la variabile da negare es. a si applica ad un solo operando operatore unario e produce un valore in accordo alle seguenti regole:»» il risultato è il valore opposto la negaione di quello dell operando; ovvero se l operando è falso l uscita è vera e viceversa IV.2

13 Operatori logici Operatore NAND tale operatore è equivalente ad un operatore AND negato» A NAND B A AND B si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole:» NAND» NAND» NAND» NAND il risultato è falso se entrambi gli operandi sono veri IV.3

14 Operatori logici Operatore NOR tale operatore è equivalente ad un operatore OR negato» A NOR B A OR B si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole:» NOR» NOR» NOR» NOR il risultato è vero se entrambi gli operandi sono falsi IV.4

15 Operatori logici Operatore EX-OR OR esclusivo tale operatore viene denotato dal simbolo si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole:»»»» il risultato è vero se gli operandi sono diversi tra di loro IV.5

16 Operatori logici Operatore EX-NOR tale operatore è equivalente ad un operatore EX-OR negato» A B si applica a due operandi e produce un valore in accordo alle seguenti regole:»»»» il risultato è vero se gli operandi sono uguali tra di loro IV.6

17 Espressioni logiche Sono espressioni contenenti solo: variabili booleane le costanti e gli operatori logici Esempi a b c ab c d ae c e Le funioni logiche possono essere definite da espressioni logiche: a b c 2 ab c d ae c e IV.7

18 Espressioni logiche Due espressioni e 2 si dicono equivalenti quando si verificano entrambe le seguenti condiioni: tutte le combinaioni di variabili per cui vale sono tali per cui anche 2 vale e viceversa tutte le combinaioni di variabili per cui vale sono tali per cui anche 2 vale e viceversa Ossia ingressi uguali danno uscite uguali in entrambe le funioni Esempio 2 IV.8

19 Espressioni logiche Due espressioni e 2 si dicono complementari quando si verificano entrambe le seguenti condiioni: tutte le combinaioni di variabili per cui vale sono tali per cui 2 vale e viceversa tutte le combinaioni di variabili per cui vale sono tali per cui 2 vale e viceversa Ossia ingressi uguali danno uscite opposte nelle due funioni Esempio 2 a a AND b NAND b IV.9

20 Espressioni logiche Due espressioni e 2 si dicono duali quando si verificano entrambe le seguenti condiioni: tutti gli OR di corrispondono a AND di 2 e viceversa tutti gli di corrispondono a di 2 e viceversa Esempio 2 a b c a b c IV.2

21 Calcolo di espressioni logiche Si devono utiliare i teoremi propri dell Algebra di Boole Spesso il calcolo è finaliato a ridurre il numero di termini di una espressione booleana: semplificaione delle espressioni I due metodi per la semplificaione si basano rispettivamente su: i teoremi dell Algebra di Boole 2 le mappe di Karnaugh IV.2

22 Teoremi dell algebra di Boole Principali teoremi duale 2 duale 3 duale 4 duale 5 duale 6 duale 7Teorema di De Morgan K K duale K K 8 duale IV.22

23 IV.23 Teoremi dell algebra di Boole 9 duale duale duale 2 duale 3 duale 4 duale 5 duale 6 duale _ K K _ K K K K K ] [ K K ] [ K

24 Teoremi dell algebra di Boole Nei teoremi precedentemente elencati e possono essere considerate sia come singole variabili sia come espressioni logiche Esempio dalla regola si ricava: A B considerando AB al posto di IV.24

25 Semplificaioni con i teoremi Semplificare le seguenti espressioni X Y XY X Y XY X Y Y X Y XY X X Y XY qualsiasi espressione 2 X Y XY YX X Z Y Z Z Z IV.25

26 unioni logiche e tabelle di verità Per ricavare la tabella di verità da una funione logica si applicano tutte le combinaioni di valori agli ingressi e si valutano le uscite Esempio a b c a b c ab b c ab b c ab b ab b c IV.26

27 orme canoniche delle espressioni orma canonica SP Somma di Prodotti E una somma logica di termini Ogni termine detto minterm contiene il prodotto logico di tutte le variabili dell espressione ciascuna variabile può essere affermata o negata Esempio a b c abc abc abc abc l espressione è composta da 4 minterm IV.27

28 orme canoniche delle espressioni orma canonica PS Prodotti di Somme E un prodotto logico di termini Ogni termine detto materm contiene la somma logica di tutte le variabili dell espressione ciascuna variabile può essere affermata o negata Esempio a b c a b c a b c a b c l espressione è composta da 3 materm IV.28

29 orme canoniche delle espressioni Scrittura della forma canonica SP data la tabella Per ciascuna delle righe della tabella in cui la funione ha risultato :» scrivere un prodotto di tutte le variabili» per ciascuna delle variabili del prodotto: negarla se nella tabella ha valore Sommare i minterm Scrittura della forma canonica PS data la tabella Per ciascuna delle righe della tabella in cui la funione ha risultato :» scrivere una somma di tutte le variabili» per ciascuna delle variabili della somma: negarla se nella tabella ha valore Moltiplicare i materm IV.29

30 orme canoniche delle espressioni Esempio a b c abc a b c Risultati SP: PS: a b c abc abc abc abc a b c a a b c a b c a IV.3 b c b c

31 orme canoniche delle espressioni Conversione in forma canonica di un espressione SP non canonica Si esamina ogni termine: Esempio» se contiene tutte le variabili minterm il termine non necessita di modifiche» altrimenti per ciascuna variabile X che manca si moltiplica il termine per e si semplifica primo termine: secondo: tero: X X IV.3

32 orme canoniche delle espressioni Conversione in forma canonica di un espressione PS non canonica Si esamina ogni termine: Esempio» se contiene tutte le variabili materm il termine non necessita di modifiche» altrimenti per ciascuna variabile X che manca si aggiunge X X al termine si usa la propr. distributiva e si semplifica primo termine: secondo: tero:... IV.32

33 Circuiti logici Una funione logica può essere rappresentata da un circuito logico Le variabili corrispondono ai fili in ingresso Il risultato corrisponde all uscita del circuito Gli operatori logici corrispondono alle porte logiche IV.33

34 Porte logiche AND OR NOT EXOR NAND NOR IV.34

35 Porte logiche Equivalene funionali di porte Una porta AND può essere sostituita da una porta OR e viceversa negando sia gli ingressi sia le uscite N.B. 2 negaioni si annullano Esempio Esistono porte a ingressi multipli: a b c a b c Lo stesso vale per la porta OR IV.35

36 Circuiti logici Circuito logico equivalente ad una funione a b c a b c a b c Si noti come viene realiata la priorità dell AND sull OR IV.36