La somma di numeri binari. Logica a due livelli. Logica a due livelli

Transcript

1 Fondamenti di Informatica Lezione n.3 n.3 Trasformazioni Fondamenti di Informatica es: in una funzione di tre variabili {x, x2, x3} sono minterm le seguenti espressioni: espressioni: In questa lezione verranno considerate le proprietà proprietà dell'algebra booleana che saranno poi utili per l'analisi e la progettazione di circuiti a livello logico Lezione n.3 n.3 n minterm è un un espressione prodotto che contiene in modo affermato o negato tutte le variabili della funzione x x2 x3 mentre non sono minterm: minterm: x x2 Introdurremo poi le tecniche per trasformare la rappresentazione algebrica di un problema nella rappresentazione circuitale Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica es: in una funzione di tre variabili {x, x2, x3} sono maxterm espressioni quali: quali: x + x2 + x3 Lez.3 - lgebra di oole SdP: SdP: (x x2 x3 ) + (x x2 x3 ) PdS: PdS: (x + x2 + x3 ) (x + x2 + x3 ) x + x2 + x3 Si consideri la somma tra: addendo + addendo = somma S e sono funzioni booleane nelle variabili {x, y, } x + x3 Fondamenti di Informatica 4 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 3 Fondamenti di Informatica riporto esempi di forme canoniche: Lez.3 - lgebra di oole x x3 Si dicono forme canoniche le somme di minterm (SdP) SdP) e i prodotti di maxterm (PdS) ) PdS mentre non lo sono: sono: x + x2 2 n maxterm è un un espressione somma che contiene in modo affermato o negato tutte le variabili della funzione x x2 x3 5 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica x y S 6

2 Per sommare due numeri binari è quindi necessario sintetizzare due funzioni: S (x, y, ) (x, y, ) Per sintetizzare una funzione è possibile ricorrere a: somma di minterm (forma SdP) prodotto di maxterm (forma PdS) Esempio: sintetizzare la funzione Selezionare gli della funzione a ciascuno di essi corrisponde un minterm x y = x y + x y + x y + x y na somma di minterm rappresenta direttamente tutti gli di una funzione S Esempio: sintetizzare la funzione Selezionare gli della funzione a ciascuno di essi corrisponde un maxterm x y = (x + y + ) ³x + y + (x + y + ) (x + y + ) n prodotto di maxterm rappresenta direttamente tutti gli di una funzione S Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 7 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 8 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 9 na qualunque funzione f(x, x 2,, x n ) può essere espressa univocamente da una forma canonica costituita da: somma di minterm: f(x,x 2,...,x n )= P i (x i, x i,2 x i,n ) prodotto di maxterm: f(x,x 2,...,x n )= i (x i, + x i,2 + + x i,n ) Logica a due livelli ualunque espressione del tipo prodotto di somme (PdS( PdS) ) può essere implementata mediante un circuito a due es: =( + )( + + ) Logica a due livelli ualunque espressione del tipo somma di prodotti (SdP( SdP) ) può essere implementata mediante un circuito a due es: =( )+( ) Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 2

3 Logica a due livelli Full adder Negazione logica nche le funzioni S e possono essere sintetizzate con due x (SP) = x y + x y + x y + x y y S (PS) = (x + y + )(x + y + ) (x + y + )(x + y + ) S (SP) = x y + x y + x y + x y S (PS) =(x + y + )(x + y + ) (x + y + )(x + y + ) n circuito che implementa le funzioni S e è detto Full dder (F) o sommatore completo onnettendo più F assieme è possibile realizzare un circuito che somma numeri binari di lunghezza qualsiasi x 3 y 3 3 F S 3 4 x 2 y 2 2 F S 2 3 x y F S 2 x i y i i F S i i+ x y F S n cerchio all ingresso o all uscita di una porta logica significa negazione I nuovi simboli così costruiti possono essere utilizzati per rappresentare funzioni booleane anche complesse es: = + Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 3 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 4 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 5 Equivalenze Il Teorema di De Morgan afferma che: = + che corrisponde all equivalenza circuitale: Le relazioni di equivalenza dell algebra booleana si riflettono, a livello circuitale, in relazioni di equivalenza fra moduli logici Equivalenze E possibile effettuare trasformazioni circuitali basate su proprietà logiche: + = = + + = La stessa funzione logica può essere rappresentata da circuiti diversid Trasformazioni circuitali Funzione ex-or realizzata con un circuito a due Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 6 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 7 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 8

4 Trasformazioni circuitali Trasformazioni circuitali Realizzazione circuitale di un F ggiungendo due negazioni all inizio e alla fine della linea di un segnale, la funzione sintetizzata non cambia Sfruttando una delle equivalenze logiche, è possibile ottenere la stessa funzione con sole porte NND push the bubble + = Trasformazioni analoghe alla precedente possono essere applicate in casi più complessi: + DEF = DEF ( + + )(D + E + F ) = D + E + F E possibile sintetizzare qualunque funzione rappresentata come SdP o PdS utilizzando solo porte NND o solo porte NOR sia le porte NND che le porte NOR sono insiemi completi x y F ircuito a due livelli (SdP( SdP) che sintetizza le funzioni logiche necessarie per realizzare un F: S (SP) = x y + x y + x y + x y (SP) = x y + x y + x y + x y Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 9 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 2 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 2 Verificare la seguente identità: Dimostrazione: + + = = + + ( + ) = = ( + )+( + ) Verifica dell equivalenza equivalenza con i diagrammi di Venn: + ++ Semplificare il seguente circuito: = + ltre tecniche: confronto delle tabelle della verità diagrammi di Venn confronto delle forme canoniche = ( + )+( + )( + ) Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 22 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 23 Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 24

5 Occorre semplificare la relazione: = ( + )+( + )( + ) = +( + )( + ) = +( + )( + ) = +( + )( + ) = + ( + )( + ) = + ( + ) Lez.3 - lgebra di oole Fondamenti di Informatica 25