I circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti

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Raimonda Marchi
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1 rchitettura dei calcolatori e delle Reti Lezione 4 I circuiti digitali: dalle funzioni logiche ai circuiti Proff.. orghese, F. Pedersini Dipartimento di Scienze dell Informazione Università degli Studi di Milano.. 26/7 L 4 /28 Sommario Funzioni logiche Semplificazione algebrica. Dalla tabella della verità al circuito: la prima forma canonica: SOP. Implementazione circuitale mediante PL o ROM... 26/7 L 4 2/28

2 Funzione logica / circuito logico Funzione logica: f: {,} n {,}; y f(x, x 2, x n ) funzione booleana di n variabili booleane Può essere rappresentata come un opportuna combinazione di operatori elementari (not, and, or) Definita per tutte le 2 n combinazioni delle variabili (ingressi) Tabella di verità (Truth Table, TT) ircuito logico (porta logica) Uscita (booleana) funzione logica di n ingressi (variabili) booleane Può essere realizzata come un opportuna combinazione di porte logiche elementari (not, and, or, nand, nor).. 26/7 L 4 3/28 Funzione / circuito / tab. verità 3 ingressi: F f (,,) combinazioni and and not() F.. 26/7 L 4 4/28 2

3 Proprietà degli operatori logici ND OR Identità x x x x Elemento nullo x x Idempotenza x x x x x x Inverso x ~x x ~ x ommutativa x y y x x y y x ssociativa (x y) z x (y z) (xy) z x (yz) ND rispetto OR OR rispetto ad ND Distributiva x (y z) x yx z x y z (xz) (xy) ssorbimento x (x y) x x x y x De Morgan xy x y x y x! y.. 26/7 L 4 5/28 Proprietà di assorbimento I: ( ) Dim: () c.v.d. II: ~ Dim: Proprietà distributiva di OR / ND: ~ ( ~) ( ) Sviluppando il prodotto: ( ) ( ~) ~ ~ ~ Raccogliendo : ( ~) c.v.d... 26/7 L 4 6/28 3

4 Semplificazione di funzioni Espressioni equivalenti 2 espressioni si dicono equivalenti se hanno la stessa tabella di verità Quale è la migliore? La più semplice La più veloce Metodi di semplificazione Sfruttando le proprietà dell algebra ooleana Sulle espressioni logiche Mappe di Karnaugh Sulle tabelle di verità.. 26/7 L 4 7/28 Esempio di semplificazione algebrica F " " " " " " - raccolgo : " ( ) " " " " - inverso : " " " " - identità : (" ) " " ".. 26/7 L 4 8/28 4

5 5 L 4 9/ /7 Esempio rappresentazione L D L D D L 4 / /7 Manipolazione algebrica! " # $ pplichiamo DeMorgan : ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( D D D D D D D D L

6 Esempio rappresentazione /7 L 4 /28 Esempio: le 2 rappresentazioni equivalenti.. 26/7 L 4 2/28 6

7 Funzione: espressione / tab. verità espressione logica tabella delle verità F ( ND ) OR ( ND NOT()) F F se e solo se: ND ND OR ND ND OR ND ND F!!.. 26/7 L 4 3/28 La prima forma canonica F!! F Implicante: Prodotto delle variabili (in forma naturale o negata) per le quali la funzione vale Mintermine m j : implicante che contiene tutte le n variabili della funzione (e.g. ). Prima forma canonica (SoP) : Q F " m j, Q! 2 j n.. 26/7 L 4 4/28 7

8 ircuito della I forma canonica: SOP.. 26/7 L 4 5/28 SOP a più uscite Esercizio: Ricavare la funzione in forma di tabella della verità.. 26/7 L 4 6/28 8

9 La prima forma canonica: SOP Prima forma canonica di una funzione: la somma dei suoi mintermini Qualunque funzione è esprimibile in forma canonica: Z(,,,D) ~~~ ( ~)(D ~D) (~)(D~D) ~~~(D~D) D ~D ~D ~~D D ~D ~D ~~D ~~~~D ~~~D La stessa espressione si ricaverebbe dalla tabella della verità.. 26/7 L 4 7/28 Prima forma canonica: Sum-of-Products (SoP) Forma universale mediante la quale è possibile rappresentare qualunque funzione booleana. Non è una forma ottima, ma un punto di partenza per l ottimizzazione Si basa su componenti caratterizzanti la struttura della funzione (mintermini), che esprimono le condizioni logiche di verità () della funzione Mintermine, m i : Funzione booleana a n ingressi che vale in corrispondenza della sola i-esima configurazione di ingresso Per n variabili, al più 2 n mintermini Implementabile mediante un ND ad n ingressi.. 26/7 L 4 8/28 9

10 Dalla SOP al circuito Dalla forma canonica (somma di mintermini) è facile passare al circuito: Ogni mintermine è un ND Tutti gli ND entrano in un OR Implementazione regolare Solo due livelli di porte Tempo di commutazione: 2 * t GTE locchi generali personalizzabili (PL, ROM) purché ci sia un numero sufficiente di componenti elementari.. 26/7 L 4 9/28 Esercizio: funzione maggioranza 3 ingressi, uscita. ostruzione tabella di verità o espressione logica 2. Trasformazione a forma SOP 3. Eventuale semplificazione F F(,,) ( ) ( ) ( ).. 26/7 L 4 2/28

11 Uscite indifferenti di una funzione logica Può accadere che per alcuni ingressi, il valore dell uscita sia INDIFFERENTE Simbolo: X RELIZZZIONE: si sceglie il caso che rende il circuito più semplice F X X F X F.. 26/7 L 4 2/28 Tipi di circuiti che implementano SOP PL: Programmable Logic rray Matrici regolari ND e OR in successione, personalizzabili dall utente. ROM: Read Only Memory ircuiti ad-hoc che implementano una particolare funzione in modo irreversibile... 26/7 L 4 22/28

12 PL (Programmable Logic rray) La matrice degli ND ha n linee di ingresso iascuna porta ha a disposizione 2n segnali: n ingressi n ingressi negati L utente fornisce la matrice che dice quale linea entra in quale porta ND rea la matrice dei mintermini, bruciando in ingresso alle porte ND le linee che non servono. Le uscite della matrice ND entrano nella matrice OR con linee definite dall utente Matrice di programmazione OR Si utilizza una porta OR per ogni funzione... 26/7 L 4 23/28 Struttura di una PL.. 26/7 L 4 24/28 2

13 Esempio di PL.. 26/7 L 4 25/28 Esercizi sulla PL Realizzare mediante PL con 3 ingressi: la funzione maggioranza. la funzione che vale se e solo se solo bit di ingresso vale un decoder la funzione che vale se l input è pari, se dispari la funzione che calcola i multipli di 3 (con 4 ingressi).. 26/7 L 4 26/28 3

14 Rappresentazione circuitale mediante ROM Read-Only Memory, memoria di sola lettura. Funge anche da modulo combinatorio a uscita multipla. n linee di ingresso, m linee di uscita (ampiezza) a ciascuna delle 2 n (altezza) configurazioni di ingresso (parole di memoria) è associata permanentemente una combinazione delle m linee di uscita d ogni parola corrisponde un mintermine, definito dal suo indirizzo di memoria L ingresso seleziona la parola da leggere di m bit Il contenuto della parola di memoria corrisponde all uscita relativa a tale mintermine. Decoder n 2 n seguito da una matrice di m porte OR.. 26/7 L 4 27/28 Esempio di ROM Realizzare con una ROM la funzione descritta dalla seguente tabella di verità: X X X 2 Z Z X X X 2 Decoder Z Z.. 26/7 L 4 28/28 4

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