Logica Digitale. Fondamenti Informatica 2 - Prof. Gregorio Cosentino

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1 Logica Digitale 1

2 Ma in fondo quali sono i mattoncini che compongono un calcolatore elettronico? Porte Circuiti Aritmetica Memorie Bus I/O And, Or, Nand, Nor, Not Multiplexer, Codif, Shifter, ALU Sommatori Latch, Flip Flop Sincroni clk, Asincroni M/slave Chip paralleli 2

3 Circuiti Digitali INGRESSI i 1 i n CIRCUITO DIGITALE o 1 o m USCITE Circuiti elettronici i cui ingressi e le cui uscite assumono solo due livelli Al circuito sono associate le funzioni che calcolano le uscite a partire dagli ingressi o 1 = f 1 (i 1,.,i n ). o m = f m (i 1,.,i n ) 3

4 Una semplice applicazione Variabile di controllo: X due stati: X=0 -> interruttore aperto X=1 -> interruttore chiuso Uscita Y Due stati: Lampadina spenta (Y=0) Lampadina accesa (Y=1) X=0 Y=0 X=1 Y=1 4

5 Modello logico AND X1 X2 Y Y = X1 X2 X1 OR Y Y = X1 + X2 X2 5

6 Funzione di trasmissione Ft=Funzione di trasmissione IN = OUT se Ft=1, altrimenti OUT=0 +5V IN OUT Ft 1 Ft Controllo Ft=xy è un AND Ingresso Porta 0 Ft Uscita Porta x y 0V 6

7 Transistori MOS Le funzionalità sono simili a quelle del relè: Funzione di trasmissione controllata mediante un ingresso di controllo (gate) +5v A X A X 0 V ~5 V 5 V ~0 V 7

8 Funzioni Logiche (Booleane) y = f(x 1,,x n ) y,x 1,,x n {0,1} {0,1} n f {0,1} Variabili con due soli valori possibili: { 0,1} {F,T} FALSO VERO Tavola di verità FALSE TRUE x 1 x 2 x n-1 x n f n combinazioni di ingresso 2 2 n funzioni distinte di n variabili 8

9 Funzioni Booleane (Esempi) Con n=1 si hanno 4 funzioni: x 1 f 0 f 1 f 2 f La funzione f 2 è detta NOT Con n=2 si hanno 16 funzioni, tra cui: x 1 x 2 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f La funzione f 1 è nota come AND La funzione f 7 è nota come OR 9

10 Algebra Circuitale (Booleana) Èuna struttura algebrica (insieme più operatori) Reticolo distributivo complementato Insieme: I = { 0,1 } Operatori: AND, OR Complementazione: NOT Notazione Se x e y sono due variabili booleane: L AND di x e y si indica con x y L OR di x e y si indica con x + y Il NOT di x si indica con x 10

11 Porte NAND e NOR È possibile simulare AND, OR e NOT, e quindi realizzare qualsiasi circuito, usando soli NAND oppure soli NOR che richiedono meno transistors. 0,0 1 1,1 Simulazione AND 11

12 Porte XOR Calcola la funzione OR Esclusivo (diverso da OR): dà uscita 1 (vero) quando uno solo degli ingressi (ma non entrambi) vale 1 Facilmente realizzabile con porte AND, OR e NAND

13 Riepilogo Operatore Simbolo Proprietà NOT y=1 se e solo se x=0 y=x AND y=x 1 x 2 y=1 se e solo se x 1 =x 2 =1 OR y=x 1 +x 2 y=0 se e solo se x 1 =x 2 =0 NAND y=x 1 /x 2 y=0 se e solo se x 1 =x 2 =1 NOR y= x x 2 y=1 se e solo se x 1 =x 2 =0 XOR y = x 1 x 2 y=1 se e solo se x 1 x 2 XNOR y= x 1 x 2 y=1 se e solo se x 1 =x 2 13

14 Porte universali Con l insieme delle tre porte (NOT, AND, OR) può essere realizzata qualunque funzione (insieme completo); non è minimo: l operatore AND (oppure OR) è ridondante Le porte NAND ed NOR sono le (uniche) porte universali poiché mediante esse può essere realizzata qualunque funzione binaria 14

15 Circuiti Logici Porte Logiche: circuiti elementari che realizzano gli operatori dell algebra Qualsiasi funzione booleana può essere calcolata con un circuito realizzato con sole porte AND, OR e NOT Le porte logiche vengono realizzate con circuiti elettronici: NOT NAND NOR 15

16 Circuiti Logici Una porta logica e un dispositivo con N ingressi ed una uscita che realizza un legame tra il valore logico presente all uscita e quelli presenti all ingresso, esprimibile tramite una funzione logica elementare NOT NAND NOR 16

17 Circuiti Logici La porta AND con due ingressi e particolarmente importante perchè consente di controllare il trasferimento dei bit di informazione: ad esempio scegliendo di affidare questa funzione all ingresso B, si può affermare che l uscita Y assume lo stesso valore dell ingresso A quando B vale 1. A B Y

18 Forme canoniche Esiste un modo standard (o canonico) per definire una qualunque funzione? Si, 2 forme: Somma di Prodotti (SP) e la duale Prodotto di Somme (PS) 18

19 Mintermine Un mintermine m i di n variabili, è una funzione che vale 1 solo in corrispondenza dell assegnamento di verità i m 13 =x 4 x 3 x 2 x 1 Qualunque funzione è esprimibile come somma dei mintermini per cui y = 1 19

20 Espressioni Algebriche Teor.: ogni funzione booleana è algebrica, cioè rappresentabile con un espressione dell algebra Prima Forma Canonica f =Σ j=1..m Π i=1..n x ij * x ij * vale x i oppure x i f èespressa come OR delle combinazioni per cui la funzione è vera (somma di mintermini) Qualsiasi funzione booleana può essere messa in questa forma 20

21 Funzioni Booleane (Esempio) ES Tre variabili booleane A, B, C Funzione di maggioranza M: è vera solo se almeno due delle tre variabili sono vere D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 ABC ABC ABC ABC M = ABC + ABC + ABC + ABC D3 D5 D6 D7 21

22 Funzioni Booleane (Esempio) ES Tre variabili booleane A, B, C Funzione di maggioranza M: Consente di operare la sintesi di una qualsiasi funzione logica con una tecnica a due livelli, un primo livello di porte AND ai cui ingressi pervengono le variabili di ingresso (dirette o negate) ed un secondo livello di OR a cui pervengono le uscite delle porte AND del primo livello. M = ABC + ABC + ABC + ABC 22

23 Circuiti Logici: (Esempio) (Funzione di Maggioranza) M = ABC + ABC + ABC + ABC 23

24 Circuiti Logici: (Esempio) (Funzione di Maggioranza) Invia alla sua unica uscita il valore logico presente nell i-esimo dei suoi 2n ingressi selezionato dal valore i codificato in N ulteriori ingressi di controllo 24

25 Circuiti Logici: (Esercizio) 1) Uno dei seguenti non rappresenta un insieme di operatori logici universali. a) and e or b) nand c) or e not Motivare brevemente la risposta (massimo tre righe) 25

26 Circuiti Logici: (Esercizio) 1)Data una rappresentazione delle cifre decimali (0...9) in cui 0 è codificato come 0000, 1 come 0001, 2 come 0010,..., 9 come 1001, scrivere la tabella di verità della funzione di commutazione che è vera quando la cifra è compresa tra 4 e 6, estremi inclusi. Fornire il circuito logico che la calcola come somma di mintermini. 26

27 Circuiti Logici: (Esercizio) 1) Data una rappresentazione delle cifre decimali (0...9) in cui 0 è codificato come 0000, 1 come 0001, 2 come 0010,..., 9 come 1001, scrivere la tabella di verità della funzione di commutazione che è vera quando la cifra è compresa tra 3 e 6, estremi inclusi. Fornire il circuito logico che la calcola come somma di mintermini. 27

28 Circuiti Logici: (Esercizio) 1) Data una rappresentazione delle cifre decimali (0...9) a quattro digit, scrivere la tabella di verità della funzione di commutazione che è vera quando la cifra è pari, escluso lo zero. Commentare e Fornire il circuito logico che la calcola come somma di mintermini. 28

29 Circuiti Integrati Un circuito integrato è un dispositivo elettronico costituito dall'integrazione di un circuito elettronico su di un substrato di materiale semiconduttore. Molte porte realizzate sulla stessa piastrina di silicio (chip) Contenitori da 14 a 68 piedini Vari livelli di integrazione: SSI (Small Scale) 1-10 porte MSI (Medium Scale) LSI (Large Scale) VLSI (Very Large Sc.) > 10 5 Tempi di commutazione 1-20 nsec 29

30 Circuiti Integrati Quattro porte realizzate sulla stessa piastrina di silicio (chip) Contenitori da 14 piedini: due input e un output per porta, una alimentazione e una terra livello di integrazione: SSI (Small Scale) 1-10 porte il notch identifica l orientamento 30

31 Introduzione Circuiti combinatori (o reti combinatorie) Il valore dell uscita in un determinato istante dipende unicamente dal valore degli ingressi in quello stesso istante 31

32 Introduzione Circuiti sequenziali (reti sequenziali) Il valore dell uscita in un determinato istante dipende sia dal valore degli ingressi in quell istante, sia dal valore degli ingressi in istanti precedenti Per definire il comportamento di un circuito sequenziale è necessario tenere conto della storia passata degli ingressi 32

33 Circuiti Combinatori Circuiti in cui l uscita dipende solo dagli ingressi, e non dallo stato cioè dalla storia passata, per esempio come nella Funzione di Maggioranza ES 2 n INGRESSI CONTROLLATI... n INGRESSI DI CONTROLLO. MULTIPLEXER UNA USCITA Gli ingressi di controllo selezionano quale degli ingressi controllati viene mandato in uscita 33

34 Multiplexer (circuito) Invia alla sua unica uscita il valore logico presente nell i-esimo dei suoi 2 n ingressi selezionato dal valore i codificato in N ulteriori ingressi di controllo 34

35 Funzione Maggioranza come multiplexer Tre variabili booleane A, B, C Funzione di maggioranza M: è vera solo se almeno due delle tre variabili sono vere Riga 3 ABC Riga 5 Riga 6 Riga 7 ABC ABC ABC Le tre linee di controllo A,B,C compongono un numero a tre bit che specifica quale delle otto linee di ingresso devono essere inviate all OR e quindi alla porta di uscita 35

36 Comparatore NOR gate 0 0 Semplice 4-bit comparatore Word A Word B. Se tutti e quattro i bit sono uguali, al NOR arrivano quattro zero,in uscita avrò zero, faccio NOR cosi da avere 1 se le word sono uguali. 0 36

37 Semiaddizionatore (Half Adder) AND gate Circuito a 2 ingressi e 2 uscite: somma e riporto (carry) Non può essere usato per la somma di numerali a più bit, dove occorre sommare anche il riporto della cifra precedente 37

38 ALU a 1 bit (bit slice) A e B sono bit omologhi degli operandi F 0 e F 1 segnali di controllo selezionano la funzione (00: AND), (01: OR), (10: NOT), (11: SUM) del decoder ( 00 passa linea 0,etc) La linea passata = 1 abilita un solo and della logical unit oppure il sommatore;uscita su OR semplice ENA ed ENB sono segnali di enable INVA permette di negare A Default ENA=ENB=1 e INVA=0 per non modificare in questo caso il valore di A e B, servono per altre funzioni 38

39 ALU a 1 bit (bit slice) Per realizzare una ALU ad 8 bit non devo fare altro che mettere in serie 8 ALU a 1 bit 39

40 Arithmetic Logic Units (2) Otto 1-bit ALU connessi per realizzare un 8-bit ALU. I segnali di Enables e Invert non sono riportati per semplicità grafica. Il segnale INC è utile per effettuare addizioni: esso incrementa ( INC ) di 1 il risultato, rendendo possibili operazioni tipo A+1 e A+B+1 molto utili in tutti i programmi software 40

41 Circuiti Sequenziali Circuiti in cui i valori delle uscite sono determinati oltre che dai valori presenti agli ingressi anche dallo STATO in cui il sistema si trova. Il concetto di STATO di una rete logica e legato alla esistenza di ELEMENTI DI MEMORIA (Latch e Flip Flop) X1 Y1 X2 S1,S2,S3 Y2 41

42 Circuiti Sequenziali Registri Un Registro è un elemento in grado di memorizzare, cioè di conservare nel tempo, un valore logico Esso ammette due ( e solo due ) stati stabili che possono essere fatti corrispondere ai valori 0 ed 1 Circuiti elettronici che realizzano questa funzione sono i Flip Flop e i Latch Un registro da 16 bit è costituito da 16 Latch o Flip Flop Per indicare il numero di bit contenuti in un registro si usa parlare della sua lunghezza a) b) 42

43 Flip-Flop Vcc Rc + Vu Il terminale di uscita U si trova a potenziale zero quando l interruttore e chiuso. A potenziale Vcc quando è aperto. Il circuito conserva lo stato zero finchè non viene azionato dall esterno l interruttore. Esso ricorda quello che si chiama bit - 43

44 Clocks Oscillatore (a) A clock.(b) The timing diagram for the clock.(c) Generation of an asymmetric clock. Ilclock è un circuito che emette una serie di impulsi con una precisa ampiezza e un preciso intervallo tra impulsi consecutivi, praticamente da il tempo in modo che due o più eventi digitali siano sincronizzati. Il delay produce una serie in ritardo, aumento il numero di impulsi ( b ) Se metto A in AND con B aumento ancora il numero di impulsi 44

45 Latch e Flip-Flop a) b) I Latch commutano sui livelli del clock a)alto, b)basso a) b) I Flip-Flop commutano sui fronti del clock: a) Commuta sul fronte di salita b) Commuta sul fronte di discesa 45

46 Registri I Flip-Flop sono gli elementi base di memorizzazione nel computer Molti Flip-Flop possono essere messi su un unico chip Occorrono in genere da 6 a 10 transistor per ogni Flip-Flop 46

47 Chip di Memoria CS OE CHIP DI MEMORIA n m. log 2 n LINEE INDIRIZZO WE. m LINEE DATI IN/OUT Chip da n m bit complessivi m linee dati bidirezionali log 2 n linee di indirizzo Segnali di controllo: CS (Chip Select) OE (Output Enable) WE (Write Enable) Problema: numero limitato di piedini del contenitore 47

48 Circuiti Logici: (Esercizio) 1) Un circuito digitale con funzione di comparatore a due ingressi A e B ciascuno di quattro bit è composto da: a) quattro and e un or b) un nand e quattro or c) quattro or esclusivo e un nor Motivare brevemente la risposta (massimo tre righe + una figura obbligatoria) 48