Fondamenti di Informatica B. Fondamenti di Informatica B. Esercizio 1. Riepilogo teorico

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1 Fondamenti di Informatica sercitazione n. Fondamenti di Informatica sercitazione n. lgerba booleana Tabelle della verità iagrammi di Venn lementi logici sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 2 Riepilogo teorico sercizio + = + = = = + = + = ( + ) = + + ( ) = ( +) ( + ) = + = + ( + ) = ( + ) + () = () + = = + = = + = Verificare con diverse metodologie la seguente equivalenza: = + + Soluzione con algebra di oole (semplifico la parte sinistra): = (+) ( + ) ( +) = ( + )+ ( + )+ + + = sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 3 sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 4

2 2 sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 5 sercizio ( + ) (+) (+) ( +) = = + + uguaglianza verificata sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 6 sercizio Soluzione con tabella di verità: II I sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 7 sercizio Soluzione con diagrammi di Venn: impossibile perché i diagrammi di Venn si possono utilizzare per verificare equivalenze con un massimo di 3 variabili. sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 8 sercizio 2 ato che + = e =, verificare utilizzando delle trasformazioni algebriche che: Soluzione: + + = + raccolgo essendo + = essendo = posso sommarlo raccolgo essendo + = uguaglianza verificata ( +)+ = + + = = + +(+)= + +=+ + + = +

3 sercizio 3 sercizio 3 Semplificare la seguente espressione ed implementarla con sole porte NOR: + + Soluzione: + + = + ( + )+ = = (+) + + = + (+)+ = = + + (+) sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 9 Trasformiamo in un espressione con sole porte NOR + + = + + = doppia negazione = ( +)(+)( + ) = emorgan emorgan ( )( + ) = ( )(+)= (+ + ) ( + )( + ) = sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica sercizio 3 sercizio 3 Trasformiamo in un espressione con sole porte NOR = = (+ ) + + = + + = doppia negazione ( + ) + ( + )+( + ) emorgan Oppure con il metodo delle mappe di Karnaugh ( + ) ( + )( + ) = ( + ) ( + )( + ) = ( + ) + ( + )+( + ) sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 2 3

4 sercizio 3 sercizio 4 a cui si ricava il seguente circuito Scrivere la funzione F(,,, M, N) sotto una forma in cui la variabile compaia solo una volta affermata e negata e semplificare l espressione ottenuta. F = + ( + M + N ) + ( + M ) + N N.. L a funzione deve assumere la forma ( ) + () Soluzione: + (+M+N)+( + M)+N + + M + N + + M + N + + M ( + )+ N ( + )+ + M + N + + M + M + N + N + +M+N (+ M + N + + M + N)+ (+ M + N) sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 3 sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 4 sercizio 4 sercizio 5 (+ M + N + + M + N)+ (+ M + N) N (+) (+ M + N) (+ + M + M + N)+ () (+ ( + )+ M + M (+)+N)+ (+ + + M + M +M + N)+ ( + ) (M + M) (+ + +M + N)+ sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 5 Verificare con diverse metodologie la seguente equivalenza: +++ = + + Soluzione con algebra di oole (semplifico la parte sinistra): +++ = + + ( + ) (+) + + = ( + ) = = + ( + + ) ( + ) + = + sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 6 4

5 5 sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 7 sercizio 5 Soluzione con tabella di verità: II I sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 8 sercizio 5 Soluzione con diagrammi di Venn: U U sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 9 sercizio 6 isponendo unicamente di porte NN a due ingressi e di porte NOT: a. Progettare un circuito che realizzi la funzione NN a 4 ingressi b. Generalizzare la soluzione nel caso di una funzione NN a più di 4 ingressi Soluzione a = + = + = sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 2 sercizio 6 Soluzione b F G H on 8 ingressi: F G H = + + F + GH = + + F + GH = + F GH = + F GH = F GH

6 on 5 ingressi: sercizio 6 = + + = + + = on 6 ingressi sercizio 6 + = + = F Ogni NN può avere in ingresso un circuito NN-NOT o un ingresso del circuito sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 2 sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 22 sercizio 7 sercizio 7 Si scriva la tavola della verità della seguente funzione logica, e se ne trovi l espressione minima con una tecnica a scelta: F =( )+( + ) Si verifichi l equivalenza tra l espressione della funzione F e la sua espressione minima utilizzando le regole dell algebra booleana. + ( )+( + ) sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 23 sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 24 6

7 7 sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 25 sercizio 7 F = + ( )+( + )= + +( )= + + ( + )= = + ( + + )+ ( + ) = = + +( + )= sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 26 sercizio 8 La seguente uguaglianza è verificata? Giustificare la risposta. Soluzione con algebra di oole (e considerazioni): = = + ( )= ( +) Se = l uguaglianza è verificata. Se = otteniamo: = + ( + + )+ = + sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 27 sercizio 8 Se = l uguaglianza è sempre verificata (infatti, perciò otteniamo ) (++)+ = + = = = ++= Se = (perciò ) otteniamo he NON è verificata se =, =, =. Lo stesso si ottiene con la tabella delle verità: L uguaglianza non è verificata per =, =, =, =, =. sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 28 sercizio 8 II I

8 8 sercitazione n. lgebra booleana Fondamenti di informatica 29 sercizio 8 II I