Teoria degli Insiemi
|
|
- Edoardo Marrone
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Teoria degli Insiemi Docente: Francesca Benanti Ottobre Teoria degli Insiemi La Teoria degli Insiemi è una branca della matematica creata alla fine del diciannovesimo secolo principalmente dal matematico tedesco Georg Cantor ( ). Inizialmente controversa, è arrivata ad avere il ruolo di teoria fondamentale nella matematica moderna. I concetti di questa teoria, quali per esempio quelli di funzione e di relazione, sono presenti in ogni suo settore. Un insieme è una collezione di oggetti determinati e distinti della nostra percezione o del nostro pensiero concepiti come un tutto unico. Tali oggetti si dicono gli elementi dell insieme. (G. Cantor) 2 Insiemi Insieme: concetto primitivo, nel senso che non può essere definito in termini di altre nozioni più elementari, sinonimo di collezione, raccolta di elementi. Insiemi Numerici: N = {0, 1, 2, 3, 4...} = l insieme dei numeri naturali, 1
2 Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = l insieme dei numeri interi, Q = {..., 2.7,..., 3,..., 0,..., 1..., 4.8(2),...} = l insieme dei numeri 4 7 razionali, R = {..., 5,..., 4 5,..., 0,..., 2..., 7,...} = l insieme dei numeri reali. Osservazione: I simboli N, Z, Q, R indicano gli insiemi numerici N, Z, Q, R privati dell elemento zero. I simboli Z +, Q +, R + indicano gli interi, i razionali, i reali positivi, rispettivamente. I simboli Z, Q, R indicano gli interi, i razionali, i reali negativi, rispettivamente. 3 Definire un insieme Modi per definire un insieme: Modo esplicito: si elencano tutti gli elementi dell insieme Esempio: A = { 2, 1, 0, 1, 2} Modo implicito: si elencano le proprietà che caratterizzano gli elementi dell insieme Esempio: A = {x intero, 2 x 2} Rappresentazione grafica: Diagrammi di Eulero-Venn Esempio: A =
3 Per indicare che a è un elemento dell insieme A si scrive a A e si legge a appartiene all insieme A. Per indicare che b non è un elemento dell insieme A si scrive b A e si legge b non appartiene all insieme A. Esempi: A = { 2, 1, 0, 1, 2} 1 A, 3 A A = {x N x = 2n, x 2 > 11} 5 A, 4 A A = 3 A, 1 A. 4 Inclusione Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A è un sottoinsieme di B (o che A è incluso in B) e si scrive A B se ogni elemento di A è un elemento di B, ossia è vera l implicazione x A x B Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A non è un sottoinsieme di B (o che A non è incluso in B) e si scrive A B se esiste qualche elemento di A che non appartiene a B, ossia è vera la proposizione x A x B
4 Esempi: A = { 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} B = { 1, 4, 5} C = { 2, 3, 4, 7} Allora, si ha B A, C A A = {x Z x < 5, } B = {x N x 2 < 20, } C = {x N x 2 < 30, } Allora, si ha B A, C A Consideriamo i seguenti insiemi Allora, si ha B A, C A. 5 Sottoinsiemi Propri e Impropri Definizione: Si definisce insieme vuoto l insieme privo di elementi e si indica
5 Esempio: A = {x N x 2 = 1} = Osservazione: Dato un generico insieme A per convenzione si pone A A, A Definizione: Dato un insieme A si definiscono sottoinsiemi impropri di A l insieme vuoto e A stesso. Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice che A è un sottoinsieme proprio di B e si scrive A B se A è un sottoinsieme di B diverso dall insieme vuoto e da B stesso, ossia Esempio: A, x B x A sottoinsiemi impropri di A: sottoinsiemi propri di A: A = {a, b, 1}, A {a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1} Definizione: Dato un insieme A si definisce insieme delle parti di A l insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A, e si indica P(A) Esempio: A = {a, b, 1}
6 P(A) = {A,, {a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1}}. Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A è uguale a B, e si scrive A = B se ogni elemento di A è un elemento di B e viceversa, ovvero A B, B A Esempio: Allora A = {x N x 2 < 11} B = {0, 1, 2, 3} A = B 6 Operazioni tra Insiemi Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce unione di A e di B, e si indica A B, l insieme di tutti gli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi Esempio: A B = {x x A x B} Allora A = {1, 2, 3}, B = {4, 3} A B = {1, 2, 3, 4}
7 Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce intersezione di A e di B, e si indica A B, l insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B Esempio: A B = {x x A x B} Allora A = {1, 2, 3}, B = {4, 3} A B = {3} Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce differenza di A e B, e si indica A\B, l insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A e non a B A\B = {x x A x B} (Analogamente B\A = {x x B x A}, detta la differenza di B e A) Esempio:
8 Allora A = {1, 2, 3}, B = {4, 3} A\B = {1, 2} B\A = {4} Osservazione: Se A B allora B\A è detto complementare di A in B. Esempio: Allora A = {0, 1}, B = { 1, 0, 1, 4, 3} A B, B\A = { 1, 3, 4} (Analogamente se B A allora A\B è detto complementare di B in A) Sia U un fissato universo, ossia un insieme che contiene tutti gli oggetti che ci possono interessare. Definizione: Dato un insieme A, si definisce complementare di A, e si indica C A, l insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad A C A = {x U x A} = {x x A} Esempio:
9 Allora A = {x x < 2} C A = {x x 2} 7 Proprietà delle Operazioni tra Insiemi 1. Idempotenza: A A = A, A A = A; 2. Associativa: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C); 3. Commutativa: A B = B A, A B = B A; 4. Distributiva: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C); 5. Legge dei neutri: A = A, A U = U, A =, A U = A; 6. Complemento: A C A = U, A C A =, C ( C A) = A, C = U, C U = ; 7. Leggi di De Morgan: C (A B) = C A C B, C (A B) = C A C B.
10 8 Prodotto Cartesiano Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce prodotto cartesiano di A e B, e si indica A B, l insieme formato dalle coppie ordinate (a, b) in cui a A e b B A B = {(a, b) a A, b B} Esempio: Allora A = {x, y, z}, B = {1, 2} A B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)} Osservazione: (x, y) (y, x) X Y Y X (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) x 1 = x 2, y 1 = y 2 Rappresentazioni del Prodotto Cartesiano: 1. (Tavola Pitagorica)
11 2. (Piano Cartesiano) 3. (Diagramma di Eulero - Venn)
12 Esercizi: 1. Dimostrare le proprietà delle operazioni tra insiemi; 2. Siano e A = {x Z x 4 13x = 0} B = {x Z x 18}. Determinare A B, A B, A\B e B\A. 3. Siano A = {a, b}, B = {2, 3} e C = {4, 3} Determinare A (B C), (A B) (A C), A (B C) e (A B) (A C). Proprietà Distributiva, A (B C) = (A B) (A C): Verifichiamo A (B C) (A B) (A C): x A (B C) x A x (B C) (x A) (x B x C) (x A x B) (x A x C) (x A B) (x A C) x (A B) (A C) (A B) (A C) A (B C): x (A B) (A C) x (A B) x (A C) (x A x B) (x A x C) (x A) (x B x C) x A (x B C) x A (B C).
13 9 Corrispondenze Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce corrispondenza o relazione R da A in B una legge che associa elementi di A ad elementi di B. N.B. A è detto dominio della corrispondenza, B è detto codominio della corrispondenza. Esempio: A = {1, 4, 5} B = {0, 1, 2, 2, 3} consideriamo la corrispondenza R definita nel modo seguente: dove a A e b B. Allora si ha: arb, se b 2 = a 1 R 1, 4 R 2, 4 R 2 Osservazione: In una corrispondenza da A in B ad un elemento del dominio può essere associato più di un elemento o nessun elemento del codominio. Esempio: A = {1, 4, 5} B = {0, 1, 2, 2, 3} arb, se b 2 = a 1 R 1 4 R 2, 4 R 2 b B 5 R b Osservazione: Una corrispondenza da A in B può essere vista come un sottoinsieme del prodotto cartesiano A B, ossia
14 A R B = {(a, b) a A, b B, a R b} A B Esempio: A = {1, 4, 5} B = {0, 1, 2, 2, 3} arb, se b 2 = a 1 R 1, 4 R 2, 4 R 2 A R B = {(1, 1), (4, 2), (4, 2)} A B
15 10 Relazioni Definizione: Dato un insieme A si definisce relazione binaria o semplicemente relazione su A una corrispondenza R da A in se stesso. Osservazione: Una relazione su A individua un sottoinsieme del prodotto cartesiano A A. Esempio: Sia A = {0, 1,..., 9} consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: a R a, se a = 2a dove a, a A. Allora A R A = {(a, a) a, a A, a = 2a} = = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.
16
17 Osservazione: Una relazione su A può essere rappresentata anche mediante un grafo in cui i nodi sono gli elementi di A e gli archi le relazioni tra gli elementi di A. Esempio: A = {0, 1,..., 9} A R A = {(a, a) a, a A, a = 2a} 11 Proprietà delle Relazioni Proprietà Riflessiva: Una relazione R definita su un insieme A è riflessiva se ogni elemento di A è in relazione con sè stesso: x A, xrx. Proprietà Simmetrica: Una relazione R definita su un insieme A è simmetrica se, comunque presi x e y in A, se x è in relazione con y allora y è in relazione con x: x, y A, xry yrx.
18 Proprietà Antisimmetrica: Una relazione R definita su un insieme A è antisimmetrica se, comunque presi x e y in A con x y, se x è in relazione con y allora y non è in relazione con x: x, y A, x y, xry y Rx. o, equivalentemente, se x è in relazione con y e y è in relazione con x allora x = y x, y A, xry, yrx x = y. Proprietà Transitiva: Una relazione R definita su un insieme A è transitiva se, comunque presi tre elementi in A, x, y, z, se x è in relazione con y e y con z, allora x è in relazione con z: 12 Relazioni d ordine x, y, z A, xry, yrz xrz. Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale valgono le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva è detta relazione d ordine parziale. A è detto parzialmente ordinato. Definizione: Una relazione d ordine R su un insieme A è detta relazione d ordine totale se comunque presi due elementi a e b in A si ha arb o bra, ossia a e b si possono sempre confrontare. A è detto totalmente ordinato. Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: xry x y, x, y A. R è una relazione d ordine parziale su A, infatti R è riflessiva: R è antisimmetrica: x A, x x R è transitiva: x, y A, xry, yrx x y, y x x = y x, y, z A, xry, yrz x y, y z x z xrz
19 Graficamente: N.B. La relazione d ordine non è totale, infatti 2 3 e 3 2, dunque 2 R3 e 3 R2. Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: xry x y, x, y A. R è una relazione d ordine totale su A, infatti R è riflessiva: R è antisimmetrica: R è transitiva: e inoltre x A, x x x, y A, xry, yrx x y, y x x = y x, y, z A, xry, yrz x y, y z x z xrz x, y A, x y, oppure y x.
20 13 Relazioni d equivalenza Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva è detta relazione d equivalenza. Esempi: 1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: xry x = y, x, y A. Banalmente si verifica che R è una relazione d equivalenza su A. 2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: arb a b = 2n, n Z, a, b A. R è una relazione d equivalenza su A, infatti: R è riflessiva: a Z, a a = 0 = 2 0 ara; R è simmetrica: a, b Z, arb a b = 2 n, n Z b a = (a b) = (2 n) = 2 ( n) = 2 n, n Z bra; R è transitiva: a, b, c Z, arb e brc a b = 2 n, b c = 2 n, n, n Z a c = (a b) + (b c) = 2 n + 2 n = 2 (n + n ) = 2 m, m Z arc. 3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: arb ab 0, a, b A. R non è una relazione d equivalenza su A, infatti:
21 R è riflessiva: R è simmetrica: a Z, aa = a 2 0 ara; R non è transitiva: a, b Z, arb ab 0 ba 0 bra; 3R0, 0R( 5) ma 3 R( 5). 4. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: arb ab > 0, a, b A. R è una relazione d equivalenza su A, infatti: R è riflessiva: R è simmetrica: a Z, aa = a 2 > 0 ara; a, b Z, arb ab > 0 ba > 0 bra; R è transitiva: a, b, c Z, arb, brc ab > 0, bc > 0 (ab)(bc) > 0 ab 2 c > 0 ac > 0 arc. Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazione di equivalenza definita in A. Sia a A, si chiama classe di equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti gli elementi b di A che sono in relazione con a [a] = {b A arb}. Osservazione: [a], infatti a [a]. Esempi:
22 1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: xry x = y, x, y A. Sia a A, allora [a] = {b A arb} = {b A a = b} = {a}. 2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: arb a b = 2n, n Z, a, b A. Determiniamo [3]: [3] = {x Z 3Rx} = {x Z 3 x = 2n, n Z} = {x Z x = 3 2n = 3 + 2n = 2n + 1, n Z} = {x Z x = 2n + 1, n Z} = {tutti gli interi dispari} 3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel modo seguente: arb ab > 0, a, b A. Determiniamo [ 5] e [ 2]: [ 5] = {x Z ( 5)Rx} = {x Z ( 5)x > 0} = {x Z x < 0} = Z Analogamente [ 2] = {x Z ( 2)Rx} = {x Z ( 2)x > 0} = {x Z x < 0} = Z = [ 5].
23 Domanda: Quando due classi di equivalenza coincidono? Criterio: Sia R una relazione di equivalenza definita su un insieme A. a, b A, [a] = [b] arb. Dimostrazione: ( ): brb b [b] = [a] b [a] arb. ( ): Dimostriamo dapprima che [a] [b]. c [a] arc. Ma per ipotesi arb. Dunque, per la proprietà simmetrica, si ha che bra. Allora bra e arc. Per la transitività di R, si ha brc. Dunque c [b]. In modo analogo si dimostra che [b] [a]. In conclusione si ha [a] = [b]. Definizione: Sia dato un insieme A e sia R = una relazione di equivalenza definita in A. Si definisce insieme quoziente di A modulo l insieme di tutte le classi di equivalenza A/ = {[a] a A}. Esempi: 1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione definita nel modo seguente: x y x = y, x, y A. Sia a A, allora [a] = {a}. Dunque A/ = {[a] a A} = {{a} a A}. 2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione definita nel modo seguente: a b a b = 2n, n Z, a, b A. Determiniamo [0]: [0] = {x Z 0 x} = {x Z 0 x = 2n, n Z} = {x Z x = 2n = 2n, n Z} = {x Z x = 2n, n Z} = {tutti gli interi pari}
24 Determiniamo [1]: [1] = {x Z 1 x} = {x Z 1 x = 2n, n Z} = {x Z x = 1 2n = 1 + 2n, n Z} = {x Z x = 2n + 1, n Z} = {tutti gli interi dispari} Dunque Z/ = {[0], [1]}. 3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione definita nel modo seguente: arb ab > 0, a, b A. Determiniamo [1]: Determiniamo [ 1]: Dunque [1] = {x Z 1 x} = {x Z 1x > 0} = {x Z x > 0} = Z + [ 1] = {x Z ( 1) x} = {x Z ( 1)x > 0} = {x Z x < 0} = Z Z/ = {Z +, Z }. Risultato: Sia dato un insieme A e sia una relazione di equivalenza definita in A. Allora l insieme quoziente A/ è una partizione di A, ossia è una famiglia di sottoinsiemi di A non vuoti, a due a due disgiunti e la cui unione è tutto A. 14 Funzioni Definizione: Dati due insiemi A e B si chiama applicazione o funzione da A in B una corrispondenza che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. Si scrive: f : A B a b dove a A. Si scrive anche f(a) = b. N.B. A è detto dominio della funzione, B è detto codominio della funzione.
25 Esempio: Dati gli insiemi A = { 2, 1, 0, 1, 2} e B = { 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} si consideri la corrispondenza definita da f : A B f(x) = x 2, x A. f è un applicazione, infatti ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento di B f( 2) = 4 B, f( 1) = 1 B, f(0) = 0 B, f(1) = 1 B, f(2) = 4 B. Graficamente:
26 Criterio: Per verificare che una corrispondenza f : A B è un applicazione bisogna verificare x A, f(x) B; x A,!f(x) (è unico): x = y f(x) = f(y) Esempi: 1. Consideriamo la corrispondenza f : Z Z definita da f(x) = 2x, x Z. f è un applicazione, infatti x Z, 2x Z f(x) = 2x Z. Siano x, y Z. Se x = y 2x = 2y f(x) = f(y)
27 2. Consideriamo la corrispondenza f : Q Q definita da f( a b ) = 5a b, a b Q. f è un applicazione, infatti a b Q, 5 a b Q f(a b ) Q. Siano a b, c d Q. Se a b = c d 5 a b = 5 c d f(a b ) = f( c d ) 3. Consideriamo la corrispondenza f : R R definita da f(x) = 5, x R. 2 x f non è un applicazione, infatti f(2) R 4. Consideriamo la corrispondenza f : Q Q definita da f( a b ) = 2b, a b Q. f non è un applicazione, infatti a b Q, 2b Q f(a b ) Q. 1 2 = 3 6 ma f(1 2 ) = 4 f(3 6 ) = 12
28 Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A B un applicazione. Si dice che f è iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte nel codominio, ossia x, y A, x y f(x) f(y). Esempi: INIETTIVA NON INIETTIVA Criterio: f : A B è iniettiva se, x, y A, f(x) = f(y) x = y Esempi: 1. Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = 3x + 1, x Z. f è iniettiva, infatti Siano x, y Z. Se
29 f(x) = f(y) 3x + 1 = 3y + 1 3x = 3y x = y 2. Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = x 2, x Z. f non è iniettiva, infatti 1 1 ma f(1) = 1 = f( 1) Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A B un applicazione. Si dice che f è surgettiva o suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di qualche elemento del dominio, ossia b B, a A t.c. f(a) = b. Esempi: SURGETTIVA NON SURGETTIVA
30 Criterio: f : A B è surgettiva se, b B x A, tale che l equazione f(x) = b ha soluzione. Esempi: 1. Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = x + 6, x Z. f è surgettiva? b Z x Z t.c. x + 6 = b? Risolviamo x + 6 = b si ottiene x = b 6 Z dunque b Z x = b 6 Z t.c. f(b 6) = b f è surgettiva.
31 2. Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = 3x + 1, x Z. f è surgettiva? b Z x Z t.c. 3x + 1 = b? Risolviamo 3x + 1 = b si ottiene x = b 1 3 Z dunque f non è surgettiva, infatti per b = 5 si ha x = 4 3 Z
32 Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A B un applicazione. Si dice che f è biunivoca se è iniettiva e surgettiva. Esempi: Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = x + 6, x Z. f è biunivoca
33 Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A B un applicazione biunivoca. Si definisce funzione inversa di f, e si indica f 1, l applicazione f 1 : B A che associa ad ogni elemento di B, b B, quell unico elemento a A di cui è immagine tramite la f, ossia f(a) = b. b B, f 1 (b) = a, dove a A e f(a) = b Esempio: f f 1 Esempio: Consideriamo l applicazione f : Z Z definita da f(x) = x + 6, x Z. Abbiamo visto che f è biunivoca La funzione inversa è definita da f 1 : Z Z f(x) = x 6, x Z.
34 Definizione: Siano f : A B e g : B C due applicazioni. Allora l applicazione g f : A C definita da è detta applicazione composta. g f(x) = g(f(x)), x A Esempio: Consideriamo f : Z N f(x) = x 2, x Z g : N Q g(x) = 3x+5 2, x N g f : Z Q g f(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = 3x
35 Esercizi: 1. Delle seguenti relazioni su N verificare quali tra le proprietà riflessiva, simmetrica, anti-simmetrica e transitiva sono valide: a) xry x y; b) xry hanno lo stesso numero di cifre; c) xry x y = 3n per qualche naturale n; d) xry hanno un divisore comune diverso da Su Z si definisca la seguente relazione: xry λx 3y = 1 con λ Z. Dire per quale valore di λ la relazione R è simmetrica: a) λ = 0; b) λ = 1 2 ; c) λ = 3; d) λ = Delle seguenti funzioni dire quali sono iniettive e quali surgettive: a) f : R R, definita da f(x) = 4x + 1; b) g : R R, definita da g(x) = 2 x ; c) h : Z R, definita da h(x) = 1 x 2 +1 ; 4. Siano f : R R e g : R R due funzioni definite da f(x) = (x 1) 2 e g(x) = x + 1. Determinare le funzioni composte f g, g f, f f e g g.
4. Strutture algebriche. Relazioni
Relazioni Sia R una relazione definita su un insieme A (cioè R A A). R si dice riflessiva se a A : ara R si dice simmetrica se a, b A : arb = bra R si dice antisimmetrica se a, b A : arb bra = a = b R
DettagliTeoria degli insiemi
Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di
Dettagli1 Insiemi e terminologia
1 Insiemi e terminologia Assumeremo come intuitiva la nozione di insieme e ne utilizzeremo il linguaggio come strumento per studiare collezioni di oggetti. Gli Insiemi sono generalmente indicati con le
DettagliRELAZIONI BINARIE. Proprietà delle relazioni Data una relazione R, definita in un insieme non vuoto U, si hanno le seguenti proprietà :
RELAZIONI INARIE Dati due insiemi non vuoti, A detto dominio e detto codominio, eventualmente coincidenti, si chiama relazione binaria (o corrispondenza) di A in, e si indica con f : A, (oppure R ) una
DettagliSOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SU RELAZIONI D EQUIVALENZA
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SU RELAZIONI D EQUIVALENZA (1) Per ogni relazione binaria E su A = {0, 1, 2, 3, 4} descritta nel seguito, stabilire se E è una relazione d equivalenza. In caso negativo, indica
DettagliCapitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI
Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni
DettagliFondamenti di Informatica II
Fondamenti di Informatica II Ilaria Castelli castelli@dii.unisi.it Università degli Studi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione A.A. 2009/2010 I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 1/8
DettagliRELAZIONI E FUNZIONI. Per ricordare. Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4
RELAZIONI E FUNZIONI 3 Per ricordare H Dati due insiemi A e B e una proposizione aperta px,y, con x 2 A e y 2 B, si dice che x eá in relazione con y, e si scrive x R y, sepx,y eá vera; si parla allora
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)
ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,
Dettagli1. PRIME PROPRIETÀ 2
RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,
DettagliLe funzioni reali di variabile reale
Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un
DettagliStudio di funzione. Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2
Studio di funzione Copyright c 2009 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Funzioni elementari 2 Studio di funzione
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione
DettagliEsercitazioni (a cura di R. Basili)
Esercitazioni (a cura di R. Basili) E1. Elementi di Algebra Insiemi Nozione intuitiva di insieme L'insieme vuoto Operazioni tra insiemi Domini Prodotto Cartesiano Proprieta' delle operazioni tra insiemi
Dettagli4. Operazioni binarie, gruppi e campi.
1 4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 4.1 Definizione. Diremo - operazione binaria ovunque definita in A B a valori in C ogni funzione f : A B C - operazione binaria ovunque definita in A a valori in
DettagliR X X. RELAZIONE TOTALE Definizione: Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto
PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemi non vuoti X e Y si definisce prodotto cartesiano: X Y ={ x, y x X, y Y } attenzione che (x,y) è diverso da (y,x) perchè (x,y)={x,{y}} e (y,x)={y,{x}} invece sono uguali
DettagliProdotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S
Relazioni binarie Una relazione binaria può essere rappresentata con un grafo o con una matrice di incidenza. Date due relazioni R, S A 1 A 2, la matrice di incidenza a seguito di varie operazioni si può
DettagliLezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme:
Lezione 1 Gli Insiemi La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: degli iscritti ad un corso di laurea delle stelle in cielo dei punti di un piano
DettagliDefinizione Dati due insiemi A e B, contenuti nel campo reale R, si definisce funzione reale di variabile reale una legge f : A
Scopo centrale, sia della teoria statistica che della economica, è proprio quello di esprimere ed analizzare le relazioni, esistenti tra le variabili statistiche ed economiche, che, in linguaggio matematico,
DettagliElementi di topologia della retta
Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme
DettagliDispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2007 2008. Parte 1: NOZIONI DI BASE
Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2007 2008 Parte 1: NOZIONI DI BASE 1 Indice 1 Nozioni introduttive 3 1.1 Insiemi..................................... 3 1.2 Operazioni tra insiemi.............................
DettagliSyllabus: argomenti di Matematica delle prove di valutazione
Syllabus: argomenti di Matematica delle prove di valutazione abcdef... ABC (senza calcolatrici, senza palmari, senza telefonini... ) Gli Argomenti A. Numeri frazioni e numeri decimali massimo comun divisore,
Dettagli31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando
FUNZIONI MATEMATICHE Introduzione Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando tra le due esiste un legame di tipo matematico. La teoria
DettagliFunzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
DettagliPercorsi di matematica per il ripasso e il recupero
Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli
Dettagli+... + a n. a 0 x n + a 1 x n 1. b 0 x m + b 1 x m 1. +... + b m 0. Funzioni reali di variabile reale. Definizione classica. Funzioni razionali
Funzioni reali di variabile reale Una reale di variabile reale è una funzione nella quale il dominio d è un sottoinsieme di r e il condominio c è anch esso un sottoinsieme di r. F:r r Definizione classica.
DettagliAlgebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE
Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE Andrea Bobbio Anno Accademico 2000-2001 Algebra Booleana 2 Calcolatore come rete logica Il calcolatore può essere visto come una rete logica
DettagliSPAZI METRICI. Uno spazio metrico X con metrica d si indica con il simbolo (X, d). METRICI 1
SPAZI METRICI Nel piano R 2 o nello spazio R 3 la distanza fra due punti è la lunghezza, o norma euclidea, del vettore differenza di questi due punti. Se p = (x, y, z) è un vettore in coordinate ortonormali,
DettagliInsiemi e funzioni. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari
Insiemi e funzioni Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari ottobre 2007 Indice 1 Insiemi 3 1.1 Inclusione............................... 5 1.2 Famiglie di insiemi..........................
DettagliEsistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto Relatore Prof. Andrea
DettagliFunzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:
Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura
DettagliAnello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.
Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e
DettagliCoordinate Cartesiane nel Piano
Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso
DettagliLE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ
LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale
DettagliG. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia
G. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia Definizione 1.1 Relazione. Dati due insiemi A e B un sottoisieme R A B è detto una relazione binaria tra A e B. Se A = B allora
DettagliAlgebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)
Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti
DettagliG. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ
G. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ 1. Definizione di funzione Definizione 1.1. Siano X e Y due insiemi. Una funzione f da X a Y è un sottoinsieme del prodotto cartesiano: f X Y, tale che
DettagliCAPITOLO V. DATABASE: Il modello relazionale
CAPITOLO V DATABASE: Il modello relazionale Il modello relazionale offre una rappresentazione matematica dei dati basata sul concetto di relazione normalizzata. I principi del modello relazionale furono
DettagliAnno 5 4 Funzioni reali. elementari
Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire
DettagliCorso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi:
Corso PAS Anno 2014 Matematica e didattica 3 Correzione esercizi 1. Definizione. Sia n un fissato intero maggiore di 1. Dati due interi a, b si dice che a è congruo a b modulo n, e si scrive a b (mod n),
DettagliAlcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni
Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alberto Pinto Corso di Matematica - NUCT 1 Insiemi 1.1 Generalità Diamo la definizione di insieme secondo Georg Cantor, matematico
DettagliALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI
ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito
DettagliMATEMATICA DEL DISCRETO elementi di teoria dei grafi. anno acc. 2009/2010
elementi di teoria dei grafi anno acc. 2009/2010 Grafi semplici Un grafo semplice G è una coppia ordinata (V(G), L(G)), ove V(G) è un insieme finito e non vuoto di elementi detti vertici o nodi di G, mentre
DettagliAPPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1
APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 Gino Tironi Stesura provvisoria del 24 settembre, 2007. ii Indice 1 Insiemi e logica 1 1.1 Preliminari......................................... 1 1.2 Cenni di
DettagliANALISI MATEMATICA I Parte prima
Università degli Studi di Udine Paolo Baiti, Lorenzo Freddi Dispense del corso di ANALISI MATEMATICA I Parte prima tenuto presso la facoltà di Scienze corso di Laurea in Matematica Anno Accademico 2009-2010
DettagliL anello dei polinomi
L anello dei polinomi Sia R un anello commutativo con identità. È possibile costruire un anello commutativo unitario, che si denota con R[x], che contiene R (come sottoanello) e un elemento x non appartenente
DettagliAnno 1. Le relazioni fondamentali (equivalenza, d'ordine, inverse, fra insiemi)
Anno 1 Le relazioni fondamentali (equivalenza, d'ordine, inverse, fra insiemi) 1 Introduzione In questa lezione imparerai a utilizzare le diverse tipologie di relazione e a distinguerle a seconda delle
DettagliALGEBRA E LOGICA (v1.5)
ALGEBRA E LOGICA (v1.5) Iniettività e suriettività: Per dimostrare che una funzione è iniettiva basta provare che se a1 = a2 => f(a1) = f(a2) per ogni valore di a (la cardinalità del codominio è maggiore
DettagliCorso di Laurea in Matematica. Dispense del corso di ALGEBRA I
Corso di Laurea in Matematica Dispense del corso di ALGEBRA I a.a. 2012 2013 2 Cos è l anima?. Al negativo è facile da definire: per l appunto ciò che si affretta a rintanarsi quando sente parlare di serie
DettagliCorrispondenze e funzioni
Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei
DettagliPROGETTAZIONE DISCIPLINARE MATEMATICA classe 2^
PROGETTAZIONE DISCIPLINARE MATEMATICA classe 2^ PER RICONOSCERE, RAPPRESENTARE E RISOLVERE PROBLEMI I. Q. II. Q. CONTENUTI / ATTIVITA 1 bim. 2 bim. 3 bim. 4 bim. 1a) Individuazione di situazioni problematiche
DettagliAPPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA. Margherita Roggero
APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA Margherita Roggero A.A. 2005/2006 M. Roggero - Appunti ed Esercizi di Matematica Discreta Introduzione Queste note contengono gli appunti del corso di Matematica
DettagliDispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009
Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009 2 Indice I INSIEMI E NUMERI 5 1 Insiemi e applicazioni 7 1.1 Insiemi..................................... 7 1.2 Operazioni tra insiemi.............................
DettagliFUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)
1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:
DettagliFunzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento
TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una
Dettaglif il sottoinsieme D f di A dei valori che può assumere la variabile indipendente x. Talvolta indicheremo il dominio della funzione f con dom (f).
Liceo Scientico Paritario Ven. A. Luzzago di Brescia. Classe 5A - Anno Scolastico 2014/2015 - Prof. Simone Alghisi 1 Le funzioni (1.1) Denizione Siano A e B due insiemi. Una funzione f : A B é una legge
DettagliMATEMATICA C 3 ALGEBRA 1 2. INSIEMI
MATEMATICA C 3 ALGEBRA 1 2. INSIEMI Stonehenge photo by: radical.librarian taken from: http://www.flickr.com/photos/radical_librarian/3564677324 license: creative commons attribution 2.0 INSIEMI 1 Indice
DettagliDOMINIO di FUNZIONI. PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte.
DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: Grafici delle funzioni elementari. Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere e fratte. Tutorial di Barberis Paola - 2009 Definizioni: FUNZIONE e DOMINIO LA FUNZIONE
DettagliGli asintoti di una funzione sono rette, quindi possono essere: rette verticali o rette orizzontali o rette oblique.
Asintoti Gli asintoti di una funzione sono rette, quindi possono essere: rette verticali o rette orizzontali o rette oblique. Asintoti verticali Sia 0 punto di accumulazione per dom(f). La retta = 0 è
DettagliProtocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale
Protocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale DISCIPLINA: MATEMATICA RESPONSABILE: CAGNESCHI F. IMPERATORE D. CLASSE: prima servizi commerciali Utilizzare le tecniche e le procedure
DettagliTOPOLOGIE. Capitolo 2. 2.1 Spazi topologici
Capitolo 2 TOPOLOGIE Ogni spazio che si considera in gran parte della matematica e delle sue applicazioni è uno spazio topologico di qualche tipo: qui introduciamo in generale le nozioni di base della
DettagliAPPENDICE NOZIONI BASE E VARIE
pag. 131 Appendice: Nozioni base e varie G. Gerla APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE 1. Funzioni e relazioni di equivalenza Questi appunti sono rivolti a persone che abbiano già una conoscenza elementare della
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso
DettagliLaboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica
Laboratorio teorico-pratico per la preparazione alle gare di matematica Ercole Suppa Liceo Scientifico A. Einstein, Teramo e-mail: ercolesuppa@gmail.com Teramo, 3 dicembre 2014 USR Abruzzo - PLS 2014-2015,
DettagliLICEO STATALE G. MAZZINI
LICEO STATALE G. MAZZINI LICEO LINGUISTICO LICEO DELLE SCIENZE UMANE LICEO DELLE SCIENZE UMANE OPZIONE ECONOMICO-SOCIALE Viale Aldo Ferrari, 37 Tel. 0187743000 19122 La Spezia Fax 0187743208 www.liceomazzini.org
DettagliLezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio
Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 0 Preliminari.. Insiemistica e logica Il presente Capitolo introduttivo ha lo scopo di ripassare alcuni argomenti
Dettagli0.1 Esercizi calcolo combinatorio
0.1 Esercizi calcolo combinatorio Esercizio 1. Sia T l insieme dei primi 100 numeri naturali. Calcolare: 1. Il numero di sottoinsiemi A di T che contengono esattamente 8 pari.. Il numero di coppie (A,
Dettaglif: AxB f(x)=y, f={<x,y> per ogni x in A esiste unica y in B f(x)=y} f={<1,2>, <2,3>, <3,3>} : {1,2,3} {1,2,3} f(1)=2, f(2)=3, f(3)=3
Insieme delle parti di A : Funzione : insieme i cui elementi sono TUTTI i sottoinsiemi di A f: AxB f(x)=y, f={ per ogni x in A esiste unica y in B f(x)=y} f={, , } : {1,2,3} {1,2,3}
DettagliLezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione. 1 Definizione di Nucleo e Immagine
Lezione 6 Nucleo, Immagine e Teorema della Dimensione In questa lezione entriamo nel vivo della teoria delle applicazioni lineari. Per una applicazione lineare L : V W definiamo e impariamo a calcolare
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE 1. Operazioni algebriche binarie Dato un insieme M, chiamiamo operazione algebrica binaria definita su M una qualunque applicazione f che associa ad ogni coppia ordinata (a, b) di
DettagliSe ad ogni elemento di A la relazione R associa un solo elemento di B, allora essa prende il nome di applicazione (funzione) di A in B.
6. APPLICAZIONI o FUNZIONI Dati due insiemi A e B, sia R A B una relazione di A in B. Fissato un elemento x A può capitare che ad esso la relazione R associ un solo elemento di B, o che ne associ più di
DettagliUniversità degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim
DettagliG. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole
G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE 1. Algebre di Boole Nel file precedente abbiamo incontrato la definizione di algebra di Boole come reticolo: un algebra di Boole e un reticolo limitato, complementato e distributivo.
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettagli2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE
2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento
DettagliAnno 5 Funzioni inverse e funzioni composte
Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:
DettagliAlcuni Preliminari. Prodotto Cartesiano
Alcuni Preliminari Prodotto Cartesiano Dati due insiemi A e B, si definisce il loro prodotto cartesiano A x B come l insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) con a! A e b! B. Es: dati A= {a,b,c} e B={,2,3}
DettagliI Insiemi e funzioni
I Insiemi e funzioni 1. INSIEMI ED OPERAZIONI SU DI ESSI 1.1. Insiemi Dal punto di vista intuitivo, il concetto di insieme può essere fatto corrispondere all atto mentale mediante il quale associamo alcuni
Dettagli10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.
10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliAPPUNTI DI ALGEBRA B
APPUNTI DI ALGEBRA B Prof. Gloria Rinaldi dal testo Algebra autori P.Quattrocchi, G.Rinaldi, ed. Zanichelli Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Università di Modena e Reggio Emilia, Via Amendola
DettagliAnno 3. Classificazione delle funzioni
nno 3 Classificazione delle funzioni 1 Introduzione In questa lezione affronteremo lo studio delle principali proprietà delle funzioni, imparando a classificarle e a compiere alcune operazioni su esse.
DettagliINTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.
INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati
DettagliInformatica Grafica. Un introduzione
Informatica Grafica Un introduzione Rappresentare la Geometria Operabile da metodi di calcolo automatici Grafica Vettoriale Partiamo dalla rappresentazione di un punto... Spazi Vettoriale SPAZI VETTORIALI
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliITCS Erasmo da Rotterdam. Anno Scolastico 2014/2015. CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio
ITCS Erasmo da Rotterdam Anno Scolastico 014/015 CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA GLI STUDENTI CON IL DEBITO FORMATIVO
DettagliElementi di teoria degli insiemi
Elementi di teoria degli insiemi 1 Insiemi e loro elementi 11 Sottoinsiemi Insieme vuoto Abbiamo già osservato che ogni numero naturale è anche razionale assoluto o, in altre parole, che l insieme dei
DettagliEsercitazioni di statistica
Esercitazioni di statistica Misure di associazione: Indipendenza assoluta e in media Stefania Spina Universitá di Napoli Federico II stefania.spina@unina.it 22 ottobre 2014 Stefania Spina Esercitazioni
DettagliTrasformazioni geometriche nel piano cartesiano
Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano Francesco Biccari 18 marzo 2013 Una trasformazione geometrica del piano è una legge (corrispondenza biunivoca) che consente di associare a un determinato
Dettagli3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).
Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza
DettagliALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI
ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI 1. CLASSI DI RESTO E DIVISIBILITÀ In questa parte sarò asciuttissimo, e scriverò solo le cose essenziali. I commenti avete potuto ascoltarli a lezione.
DettagliL algebra di Boole. Cenni Corso di Reti Logiche B. Mariagiovanna Sami
L algebra di Boole Cenni Corso di Reti Logiche B Mariagiovanna Sami Algebra Booleana: sistema algebrico Operazione: Operazione α sull'insieme S={s1,s2,...} = funzione che da SxS (prodotto cartesiano S
DettagliCorso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche
Corso introduttivo pluridisciplinare Strutture algebriche anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 17 index
DettagliSULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI
SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un
DettagliNUMERI COMPLESSI. Test di autovalutazione
NUMERI COMPLESSI Test di autovalutazione 1. Se due numeri complessi z 1 e z 2 sono rappresentati nel piano di Gauss da due punti simmetrici rispetto all origine: (a) sono le radici quadrate di uno stesso
DettagliNormalizzazione. Definizione
Normalizzazione Definizione Le forme normali 2 Una forma normale è una proprietà di una base di dati relazionale che ne garantisce la qualità, cioè l'assenza di determinati difetti Quando una relazione
Dettagli.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1
Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è
DettagliA i è un aperto in E. i=1
Proposizione 1. A è aperto se e solo se A c è chiuso. Dimostrazione. = : se x o A c, allora x o A = A o e quindi esiste r > 0 tale che B(x o, r) A; allora x o non può essere di accumulazione per A c. Dunque
DettagliDispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi
Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi
DettagliOsservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B
FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme
Dettagli