Fondamenti di Informatica II

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Fondamenti di Informatica II"

Transcript

1 Fondamenti di Informatica II Ilaria Castelli Università degli Studi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione A.A. 2009/2010 I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 1/8

2 Testi di riferimento Slide del corso Introduction to algorithms. T. H. Cormer, C. E. Leiserson, R. L. Rivest Qualsiasi manuale di programmazione in Java, C, C++. I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 2/8

3 Introduzione Teoria degli insiemi Relazioni Funzioni Fondamenti di informatica I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 3/8

4 Teoria degli insiemi Un insieme è una collezione S di oggetti distinguibili. Gli elementi di S sono presi da un universo U. Esempi: l insieme vuoto l insieme dei numeri naturali N, l insieme dei numeri reali R, ecc. S = {1, 5, 7} con U = N Operazioni tra insiemi Intersezione A B = {x : x A e x B} Unione A B = {x : x A o x B} Complemento A = U A = {x : x U e x / A} I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 4/8

5 Teoria degli insiemi Un insieme è una collezione S di oggetti distinguibili. Gli elementi di S sono presi da un universo U. Esempi: l insieme vuoto l insieme dei numeri naturali N, l insieme dei numeri reali R, ecc. S = {1, 5, 7} con U = N Proprietà degli insiemi Commutativa A B = B A A B = B A Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Associativa A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Leggi di De Morgan A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 4/8

6 Teoria degli insiemi Un insieme è una collezione S di oggetti distinguibili. Gli elementi di S sono presi da un universo U. Esempi: l insieme vuoto l insieme dei numeri naturali N, l insieme dei numeri reali R, ecc. S = {1, 5, 7} con U = N Partizione, cardinalità, prodotto cartesiano S = {S i } è una partizione dell insieme S se: S i, S j S, i j S i S j = e S = S S i S S i S indica la cardinalità di un insieme Prodotto cartesiano di due insiemi: A B = {(a, b) : a A e b B} I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 4/8

7 Relazioni Una relazione binaria R tra due insiemi A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A B. Se (a, b) R, scriviamo arb. Proprietà Riflessiva: ara, a A e = sono relazioni riflessive in N, ma < no! Simmetrica: arb bra, a, b A = è simmetrica, < no! Transitiva: arb e brc arc, a, b, c A <,, = sono transitive Antisimmetrica: arb e bra a = b è antisimmetrica I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 5/8

8 Relazioni Relazione di equivalenza Una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione di equivalenza. Data una relazione di equivalenza R su un insieme A, si dice classe di equivalenza di a A l insieme [a] = {b A : arb} Relazione d ordine Una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva si dice relazione d ordine (parziale). Una relazione d ordine è totale se a, b A: arb oppure bra. Cioè qualsiasi coppia di elementi di A è confrontabile secondo la relazione stessa. Esempio:, I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 6/8

9 Funzioni Una funzione f è una relazione binaria su A B, tale che ad ogni elemento a A viene associato univocamente un elemento b B, cioè (a, b) f. A è il dominio di f, B è il codominio di f. Se f : A B e b = f(a), b è l immagine di a tramite f. Immagine di un insieme A A tramite f: f(a ) = {b B : b = f(a) per qualche a A } Una funzione è suriettiva quando l immagine del dominio coincide con il codominio b B, a A : b = f(a) iniettiva quando ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio a 1, a 2 A, a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ) biettiva se è iniettiva e suriettiva. Se f è biettiva, allora è definita la sua inversa f 1. f 1 (b) = a f(a) = b I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 7/8

10 Fondamenti di informatica Algoritmo Sequenza ben definita di istruzioni che specificano le operazioni da eseguire per risolvere un problema (o meglio, una classe di problemi). Un algoritmo prende dei dati in ingresso (input), li elabora, e produce dei dati di uscita (output). Si suppone che conosciate: i concetti di variabile, costante, array, struttura Variabile = porzione di memoria destinata a contenere dei dati che possono essere modificati nel corso dell esecuzione di un programma. È identificata da un nome. Definendo il tipo di una variabile, si definisce il range di valori che può assumere, e le operazioni possibili con essa. Costante = porzione di memoria, anch essa identificata da un nome, il cui contenuto non può essere modificato durante l esecuzione di un programma. Array = struttura dati costituita da un insieme di elementi omogenei accessibili tramite indici. Struttura = struttura dati complessa che consente di considerare elementi non omogenei, come un unica entità logica. le istruzioni per il controllo di flusso (if-then-else, switch, while, do-while, for); i fondamenti della programmazione ( C, Java, C++) I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 8/8

11 Fondamenti di informatica Algoritmo Sequenza ben definita di istruzioni che specificano le operazioni da eseguire per risolvere un problema (o meglio, una classe di problemi). Un algoritmo prende dei dati in ingresso (input), li elabora, e produce dei dati di uscita (output). Si suppone che conosciate: i concetti di variabile, costante, array, struttura le istruzioni per il controllo di flusso (if-then-else, switch, while, do-while, for); T C F C F I I1 I2 T I T C F i fondamenti della programmazione ( C, Java, C++) I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 8/8

12 Fondamenti di informatica Algoritmo Sequenza ben definita di istruzioni che specificano le operazioni da eseguire per risolvere un problema (o meglio, una classe di problemi). Un algoritmo prende dei dati in ingresso (input), li elabora, e produce dei dati di uscita (output). Si suppone che conosciate: i concetti di variabile, costante, array, struttura le istruzioni per il controllo di flusso (if-then-else, switch, while, do-while, for); i fondamenti della programmazione ( C, Java, C++) I. Castelli Introduzione, A.A. 2009/2010 8/8

4. Strutture algebriche. Relazioni

4. Strutture algebriche. Relazioni Relazioni Sia R una relazione definita su un insieme A (cioè R A A). R si dice riflessiva se a A : ara R si dice simmetrica se a, b A : arb = bra R si dice antisimmetrica se a, b A : arb bra = a = b R

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

RELAZIONI BINARIE. Proprietà delle relazioni Data una relazione R, definita in un insieme non vuoto U, si hanno le seguenti proprietà :

RELAZIONI BINARIE. Proprietà delle relazioni Data una relazione R, definita in un insieme non vuoto U, si hanno le seguenti proprietà : RELAZIONI INARIE Dati due insiemi non vuoti, A detto dominio e detto codominio, eventualmente coincidenti, si chiama relazione binaria (o corrispondenza) di A in, e si indica con f : A, (oppure R ) una

Dettagli

APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1

APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1 Gino Tironi Stesura provvisoria del 24 settembre, 2007. ii Indice 1 Insiemi e logica 1 1.1 Preliminari......................................... 1 1.2 Cenni di

Dettagli

1 Insiemi e terminologia

1 Insiemi e terminologia 1 Insiemi e terminologia Assumeremo come intuitiva la nozione di insieme e ne utilizzeremo il linguaggio come strumento per studiare collezioni di oggetti. Gli Insiemi sono generalmente indicati con le

Dettagli

Anno 1. Le relazioni fondamentali (equivalenza, d'ordine, inverse, fra insiemi)

Anno 1. Le relazioni fondamentali (equivalenza, d'ordine, inverse, fra insiemi) Anno 1 Le relazioni fondamentali (equivalenza, d'ordine, inverse, fra insiemi) 1 Introduzione In questa lezione imparerai a utilizzare le diverse tipologie di relazione e a distinguerle a seconda delle

Dettagli

Corso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi:

Corso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi: Corso PAS Anno 2014 Matematica e didattica 3 Correzione esercizi 1. Definizione. Sia n un fissato intero maggiore di 1. Dati due interi a, b si dice che a è congruo a b modulo n, e si scrive a b (mod n),

Dettagli

R X X. RELAZIONE TOTALE Definizione: Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto

R X X. RELAZIONE TOTALE Definizione: Si definisce relazione totale tra x e y se dati X,Y diversi dall'insieme vuoto PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemi non vuoti X e Y si definisce prodotto cartesiano: X Y ={ x, y x X, y Y } attenzione che (x,y) è diverso da (y,x) perchè (x,y)={x,{y}} e (y,x)={y,{x}} invece sono uguali

Dettagli

Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S

Prodotto elemento per elemento, NON righe per colonne Unione: M R S Relazioni binarie Una relazione binaria può essere rappresentata con un grafo o con una matrice di incidenza. Date due relazioni R, S A 1 A 2, la matrice di incidenza a seguito di varie operazioni si può

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

ALGEBRA E LOGICA (v1.5)

ALGEBRA E LOGICA (v1.5) ALGEBRA E LOGICA (v1.5) Iniettività e suriettività: Per dimostrare che una funzione è iniettiva basta provare che se a1 = a2 => f(a1) = f(a2) per ogni valore di a (la cardinalità del codominio è maggiore

Dettagli

G. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia

G. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia G. Pareschi RELAZIONI. RELAZIONI DI EQUIVALENZA. 1. Definizione e terminologia Definizione 1.1 Relazione. Dati due insiemi A e B un sottoisieme R A B è detto una relazione binaria tra A e B. Se A = B allora

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI. 1) Dimostrare che l insieme. non è ricorsivo. Soluzione: Definiamo l insieme

ESERCIZI SVOLTI. 1) Dimostrare che l insieme. non è ricorsivo. Soluzione: Definiamo l insieme ESERCIZI SVOLTI 1) Dimostrare che l insieme Allora notiamo che π non è vuoto perché la funzione ovunque divergente appartiene all insieme avendo per dominio l insieme. Inoltre π non coincide con l insieme

Dettagli

Alcuni Preliminari. Prodotto Cartesiano

Alcuni Preliminari. Prodotto Cartesiano Alcuni Preliminari Prodotto Cartesiano Dati due insiemi A e B, si definisce il loro prodotto cartesiano A x B come l insieme di tutte le coppie ordinate (a,b) con a! A e b! B. Es: dati A= {a,b,c} e B={,2,3}

Dettagli

APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA. Margherita Roggero

APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA. Margherita Roggero APPUNTI ED ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA Margherita Roggero A.A. 2005/2006 M. Roggero - Appunti ed Esercizi di Matematica Discreta Introduzione Queste note contengono gli appunti del corso di Matematica

Dettagli

Come sarebbe il mondo senza matematica?

Come sarebbe il mondo senza matematica? Come sarebbe il mondo senza matematica? Alunna: Chiara Damasio (Classe 1^C, a. s. 2013 2014, Liceo scientifico opzione scienze applicate, IIS 8 marzo, Settimo Torinese, TO) Referente: Prof.ssa Giuseppina

Dettagli

RELAZIONI E FUNZIONI. Per ricordare. Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4

RELAZIONI E FUNZIONI. Per ricordare. Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4 RELAZIONI E FUNZIONI 3 Per ricordare H Dati due insiemi A e B e una proposizione aperta px,y, con x 2 A e y 2 B, si dice che x eá in relazione con y, e si scrive x R y, sepx,y eá vera; si parla allora

Dettagli

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE pag. 131 Appendice: Nozioni base e varie G. Gerla APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE 1. Funzioni e relazioni di equivalenza Questi appunti sono rivolti a persone che abbiano già una conoscenza elementare della

Dettagli

I Insiemi e funzioni

I Insiemi e funzioni I Insiemi e funzioni 1. INSIEMI ED OPERAZIONI SU DI ESSI 1.1. Insiemi Dal punto di vista intuitivo, il concetto di insieme può essere fatto corrispondere all atto mentale mediante il quale associamo alcuni

Dettagli

Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2007 2008. Parte 1: NOZIONI DI BASE

Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2007 2008. Parte 1: NOZIONI DI BASE Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2007 2008 Parte 1: NOZIONI DI BASE 1 Indice 1 Nozioni introduttive 3 1.1 Insiemi..................................... 3 1.2 Operazioni tra insiemi.............................

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1)

APPUNTI DI MATEMATICA ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) ALGEBRA \ INSIEMISTICA \ TEORIA DEGLI INSIEMI (1) Un insieme è una collezione di oggetti. Il concetto di insieme è un concetto primitivo. Deve esistere un criterio chiaro, preciso, non ambiguo, inequivocabile,

Dettagli

Figura 2.1. A sottoinsieme di B

Figura 2.1. A sottoinsieme di B G Sammito, ernardo, Formulario di matematia Insiemi F Cimolin, L arletta, L Lussardi Insiemi Generalità Un insieme è una ollezione distinguibile di oggetti, detti elementi dell'insieme Quando un elemento

Dettagli

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti

Dettagli

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SU RELAZIONI D EQUIVALENZA

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SU RELAZIONI D EQUIVALENZA SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SU RELAZIONI D EQUIVALENZA (1) Per ogni relazione binaria E su A = {0, 1, 2, 3, 4} descritta nel seguito, stabilire se E è una relazione d equivalenza. In caso negativo, indica

Dettagli

Le funzioni reali di variabile reale

Le funzioni reali di variabile reale Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un

Dettagli

11. Le funzioni composte

11. Le funzioni composte . Le funzioni composte Definizione Date le due funzioni f A B e g D C, dove f[ A] D, si dice funzione composta di f e g la funzione h A C che ad ogni elemento a Afa corrispondere l elemento g(()) f a Ce

Dettagli

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni

Dettagli

Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009

Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009 Dispense del corso di ALGEBRA 1 a.a. 2008 2009 2 Indice I INSIEMI E NUMERI 5 1 Insiemi e applicazioni 7 1.1 Insiemi..................................... 7 1.2 Operazioni tra insiemi.............................

Dettagli

Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni

Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alcune nozioni preliminari di teoria elementare di insiemi e funzioni Alberto Pinto Corso di Matematica - NUCT 1 Insiemi 1.1 Generalità Diamo la definizione di insieme secondo Georg Cantor, matematico

Dettagli

4. Operazioni binarie, gruppi e campi.

4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 1 4. Operazioni binarie, gruppi e campi. 4.1 Definizione. Diremo - operazione binaria ovunque definita in A B a valori in C ogni funzione f : A B C - operazione binaria ovunque definita in A a valori in

Dettagli

Esercitazioni (a cura di R. Basili)

Esercitazioni (a cura di R. Basili) Esercitazioni (a cura di R. Basili) E1. Elementi di Algebra Insiemi Nozione intuitiva di insieme L'insieme vuoto Operazioni tra insiemi Domini Prodotto Cartesiano Proprieta' delle operazioni tra insiemi

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli

Relazioni binarie in generale

Relazioni binarie in generale Capitolo B53: Relazioni binarie in generale Contenuti delle sezioni a. Relazioni binarie p. b. Operazioni su relazioni binarie p.6 c. Digrafi e relazioni binarie p.7 d. Principali caratterizzazioni delle

Dettagli

Dispense del corso di Logica a.a. 2015/16: Problemi di primo livello. V. M. Abrusci

Dispense del corso di Logica a.a. 2015/16: Problemi di primo livello. V. M. Abrusci Dispense del corso di Logica a.a. 2015/16: Problemi di primo livello V. M. Abrusci 12 ottobre 2015 0.1 Problemi logici basilari sulle classi Le classi sono uno dei temi della logica. Esponiamo in questa

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica. Dispense del corso di ALGEBRA I

Corso di Laurea in Matematica. Dispense del corso di ALGEBRA I Corso di Laurea in Matematica Dispense del corso di ALGEBRA I a.a. 2012 2013 2 Cos è l anima?. Al negativo è facile da definire: per l appunto ciò che si affretta a rintanarsi quando sente parlare di serie

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Sistemi di Numerazione Sistema decimale La

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

G. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ

G. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ G. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ 1. Definizione di funzione Definizione 1.1. Siano X e Y due insiemi. Una funzione f da X a Y è un sottoinsieme del prodotto cartesiano: f X Y, tale che

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

Elementi di teoria degli insiemi

Elementi di teoria degli insiemi Elementi di teoria degli insiemi 1 Insiemi e loro elementi 11 Sottoinsiemi Insieme vuoto Abbiamo già osservato che ogni numero naturale è anche razionale assoluto o, in altre parole, che l insieme dei

Dettagli

2. Insiemi ed elementi di calcolo combinatorio

2. Insiemi ed elementi di calcolo combinatorio Dispense del corso di Ottimizzazione Combinatoria (IN440 2. Insiemi ed elementi di calcolo combinatorio Marco Liverani Università degli Studi Roma Tre Dipartimento di Matematica e Fisica Corso di Laurea

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso

Dettagli

RELAZIONI E PROPRIETA 1

RELAZIONI E PROPRIETA 1 C. De Fusco Relazioni e loro proprietà 1 RELAZIONI E PROPRIETA 1 Generalità. 2 Relazioni particolari tra insiemi.. 3 Relazioni tra numeri 6 Proprietà delle relazioni in un insieme 9 Relazioni di equivalenza.

Dettagli

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico 2011-2012 Prova di Matematica : Relazioni + Geometria Alunno: Classe: 1 C 05.06.2012 prof. Mimmo Corrado 1. Dati gli insiemi =2,3,5,7 e =2,4,6, rappresenta

Dettagli

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) [# Aii [10 pagine]] Algebre di Boole Un algebra di Boole è una struttura 1. Definizione e proprietá B =< B,,, ν, 0, 1 > in cui B è un insieme non

Dettagli

G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole

G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE. 1. Algebre di Boole G. Pareschi ALGEBRE DI BOOLE 1. Algebre di Boole Nel file precedente abbiamo incontrato la definizione di algebra di Boole come reticolo: un algebra di Boole e un reticolo limitato, complementato e distributivo.

Dettagli

Modellazione delle preferenze

Modellazione delle preferenze Modellazione delle preferenze Roberto Cordone 1 1 Sono debitore delle dispense di B. Simeone e F. Patrone Sistemazione assiomatica Dato un insieme non vuoto di impatti F, esprimere una preferenza fra due

Dettagli

Obiettivi Cognitivi OBIETTIVI MINIMI

Obiettivi Cognitivi OBIETTIVI MINIMI Docente Materia Classe Mugno Eugenio Matematica 1F Programmazione Preventiva Anno Scolastico 2012/2013 Data 25/11/2012 Obiettivi Cognitivi OBIETTIVI MINIMI conoscere il concetto di numero intero; conoscere

Dettagli

Fondamenti dei linguaggi di programmazione

Fondamenti dei linguaggi di programmazione Fondamenti dei linguaggi di programmazione Aniello Murano Università degli Studi di Napoli Federico II 1 Riassunto delle lezioni precedenti Prima Lezione: Introduzione e motivazioni del corso; Sintassi

Dettagli

Se ad ogni elemento di A la relazione R associa un solo elemento di B, allora essa prende il nome di applicazione (funzione) di A in B.

Se ad ogni elemento di A la relazione R associa un solo elemento di B, allora essa prende il nome di applicazione (funzione) di A in B. 6. APPLICAZIONI o FUNZIONI Dati due insiemi A e B, sia R A B una relazione di A in B. Fissato un elemento x A può capitare che ad esso la relazione R associ un solo elemento di B, o che ne associ più di

Dettagli

Strutture Algebriche Le Sottostrutture Strutture degli Insiemi Quoziente

Strutture Algebriche Le Sottostrutture Strutture degli Insiemi Quoziente ALGEBRA RELAZIONI Operazioni tra relazioni: Unione (somma logica delle matrici) Intersezione (prodotto elemento per elemento delle matrici) Prodotto (prodotto righe per colonne delle matrici) prop. Associativa,

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Schemi Entita`-Associazione: linguaggio

Schemi Entita`-Associazione: linguaggio Schemi Entita`-Associazione: linguaggio sintassi linguaggio: regole di composizione di strutture sempre piu` complesse. semantica linguaggio: rappresentazione/realizzazione della sintassi. sintassi E-A:

Dettagli

Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE

Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE Algebra Booleana 1 ALGEBRA BOOLEANA: VARIABILI E FUNZIONI LOGICHE Andrea Bobbio Anno Accademico 2000-2001 Algebra Booleana 2 Calcolatore come rete logica Il calcolatore può essere visto come una rete logica

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

Insiemi e funzioni. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari

Insiemi e funzioni. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari Insiemi e funzioni Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari ottobre 2007 Indice 1 Insiemi 3 1.1 Inclusione............................... 5 1.2 Famiglie di insiemi..........................

Dettagli

Linguaggi, Modelli, Complessità

Linguaggi, Modelli, Complessità Linguaggi, Modelli, Complessità Giorgio Ausiello Università di Roma La Sapienza Fabrizio d Amore Università di Roma La Sapienza Giorgio Gambosi Università di Roma Tor Vergata Questo documento è stato scritto

Dettagli

Corrispondenze e relazioni - Complementi

Corrispondenze e relazioni - Complementi PRODOTTO CARTESIANO Nell elencare gli elementi di un insieme, l ordine non ha alcuna importanza; ma ci sono situazioni in cui l ordine con cui si indicano gli elementi è fondamentale. La partita Milan

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

Quaderni di Informatica. InforMateMatica. Luigino Calvi

Quaderni di Informatica. InforMateMatica. Luigino Calvi Quaderni di Informatica InforMateMatica Luigino Calvi I.I.S. Negrelli-Forcellini - Feltre 2014 ii Indice 1 Insiemi, Relazioni e Funzioni 1 1.1 ELEMENTI ED INSIEMI...................... 2 1.2 RELAZIONI..............................

Dettagli

Lab 04 Istruzioni, cicli e array"

Lab 04 Istruzioni, cicli e array Fondamenti di Informatica e Laboratorio T-AB e Fondamenti di Informatica T1 Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni e Ingegneria dell Automazione a.a. 2011/2012 Lab 04 Istruzioni, cicli e array" Lab04

Dettagli

Funzioni. Funzioni /2

Funzioni. Funzioni /2 Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme

Dettagli

Insiemi con un operazione

Insiemi con un operazione Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è

Dettagli

Calcolatori: Algebra Booleana e Reti Logiche

Calcolatori: Algebra Booleana e Reti Logiche Calcolatori: Algebra Booleana e Reti Logiche 1 Algebra Booleana e Variabili Logiche I fondamenti dell Algebra Booleana (o Algebra di Boole) furono delineati dal matematico George Boole, in un lavoro pubblicato

Dettagli

1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo

1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di GEOMETRIA E ALGEBRA (mn). (Ing. per l Ambiente e il Territorio, Ing. Informatica - Sede di Mantova) A.A. 2008/2009. Docente: F. BISI. 1 Regole generali per l esame L esame

Dettagli

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo.

Anello commutativo. Un anello è commutativo se il prodotto è commutativo. Anello. Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni + e, dette somma e prodotto, tali che (A, +) è un gruppo abeliano, (A, ) è un monoide, e valgono le proprietà di distributività (a destra e

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE 1. Operazioni algebriche binarie Dato un insieme M, chiamiamo operazione algebrica binaria definita su M una qualunque applicazione f che associa ad ogni coppia ordinata (a, b) di

Dettagli

Prefazione. Michele Bricchi

Prefazione. Michele Bricchi Prefazione In questi Appunti abbiamo cercato di dare forma scritta alle Lezioni di Matematica per le Scienze Sociali, IV e V periodo, tenute durante l Anno Accademico 2002/2003 dai proff. R. Paoletti e

Dettagli

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x) 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

Basi di dati. Le funzionalità del sistema non vanno però ignorate

Basi di dati. Le funzionalità del sistema non vanno però ignorate Basi di dati La progettazione di una base di dati richiede di focalizzare lo sforzo su analisi, progettazione e implementazione della struttura con cui sono organizzati i dati (modelli di dati) Le funzionalità

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione

Dettagli

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura

Dettagli

Informatica 3. Informatica 3. LEZIONE 10: Introduzione agli algoritmi e alle strutture dati. Lezione 10 - Modulo 1. Importanza delle strutture dati

Informatica 3. Informatica 3. LEZIONE 10: Introduzione agli algoritmi e alle strutture dati. Lezione 10 - Modulo 1. Importanza delle strutture dati Informatica 3 Informatica 3 LEZIONE 10: Introduzione agli algoritmi e alle strutture dati Modulo 1: Perchè studiare algoritmi e strutture dati Modulo 2: Definizioni di base Lezione 10 - Modulo 1 Perchè

Dettagli

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI

DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI DIARIO DEL CORSO DI ALGEBRA A.A. 2012/13 DOCENTE: ANDREA CARANTI Lezione 1. lunedí 17 settembre 2011 (1 ora) Presentazione del corso. Esercizio: cosa succede a moltiplicare per 2, 3, 4,... il numero 052631578947368421,

Dettagli

ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI

ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI ALGEBRA I: ARITMETICA MODULARE E QUOZIENTI DI ANELLI 1. CLASSI DI RESTO E DIVISIBILITÀ In questa parte sarò asciuttissimo, e scriverò solo le cose essenziali. I commenti avete potuto ascoltarli a lezione.

Dettagli

Mestre 7/6/2012 Prof. Mauro Martignon Prof. Martina Zuccon Per gli studenti

Mestre 7/6/2012 Prof. Mauro Martignon Prof. Martina Zuccon Per gli studenti Programma di Informatica svolto nella classe 1C del Liceo Scientifico G.Bruno anno scolastico 2011-12. Obiettivi generali dell informatica; caratteristiche fondamentali di un computer; hardware e software,

Dettagli

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS 1 UTILITÀ Classicamente sinonimo di Desiderabilità Fisher (1930):... uno degli elementi che contribuiscono ad identificare la natura economica di un bene e sorge

Dettagli

SCUOLA PRIMARIA CURRICOLO MATEMATICA DELIBERATO ANNO SCOL. 2015/2016

SCUOLA PRIMARIA CURRICOLO MATEMATICA DELIBERATO ANNO SCOL. 2015/2016 SCUOLA PRIMARIA CURRICOLO MATEMATICA DELIBERATO ANNO SCOL. 2015/2016 SCUOLA PRIMARIA CLASSE PRIMA MATEMATICA AREA DISCIPLINARE: MATEMATICO- SCIENTIFICO-TECNOLOGICA COMPETENZA DI Mettere in relazione il

Dettagli

Lezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme:

Lezione 1. Gli Insiemi. La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: Lezione 1 Gli Insiemi La nozione di insieme viene spesso utilizzata nella vita di tutti i giorni; si parla dell insieme: degli iscritti ad un corso di laurea delle stelle in cielo dei punti di un piano

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

Anno 3. Classificazione delle funzioni

Anno 3. Classificazione delle funzioni nno 3 Classificazione delle funzioni 1 Introduzione In questa lezione affronteremo lo studio delle principali proprietà delle funzioni, imparando a classificarle e a compiere alcune operazioni su esse.

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 0 Preliminari.. Insiemistica e logica Il presente Capitolo introduttivo ha lo scopo di ripassare alcuni argomenti

Dettagli

1. PRODOTTO CARTESIANO DI DUE INSIEMI

1. PRODOTTO CARTESIANO DI DUE INSIEMI 468 RELAZIONI E FUNZIONI 1. PRODOTTO CARTESIANO DI DUE INSIEMI Si dice "prodotto cartesiano" di due insiemi A e B, l'insieme A B (leggi: "A cartesiano B") formato da tutte le coppie ordinate aventi come

Dettagli

LA FORMA MATEMATICA DEI FENOMENI NATURALI

LA FORMA MATEMATICA DEI FENOMENI NATURALI LE FUNZIONI Alla base del calcolo differenziale esiste il concetto di funzione. Il termine funzione è stato introdotto nella matematica da Gottfried Wilhelm LEIBNIZ nel 1664, per denotare una quantità

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

ALGEBRA BOOLEANA FONDAMENTI DI INFORMATICA 1. Algebra di Boole. Definizione NOT, AND, OR

ALGEBRA BOOLEANA FONDAMENTI DI INFORMATICA 1. Algebra di Boole. Definizione NOT, AND, OR Università degli Studi di Cagliari Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica, Chimica, Elettrica e Meccanica FONDAMENTI DI INFORMATICA 1 http://www.diee.unica.it/~marcialis/fi1 A.A. 2010/2011 Docente: Gian

Dettagli

Soluzione proposta dal Prof. Rio Chierego dell ISIS Guido Tassinari di Pozzuoli

Soluzione proposta dal Prof. Rio Chierego dell ISIS Guido Tassinari di Pozzuoli PARTE SECONDA: III quesito COME DA APPUNTI ILLUSTRATI A LEZIONE DEF: Una forma normale è una proprietà di uno schema relazionale che ne garantisce la qualità misurata in assenza di determinati difetti.

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Calcolo delle probabilità riassunto veloce Laboratorio di Bioinformatica Corso aa 2005-2006 Teoria assiomatica della probabilità S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI. B si definisce surriettiva. 9 quando ogni elemento di. B risulta IMMAGINE di. almeno un elemento di A.

APPLICAZIONI LINEARI. B si definisce surriettiva. 9 quando ogni elemento di. B risulta IMMAGINE di. almeno un elemento di A. APPLICAZIONI LINEARI Siano V e W due spazi vettoriali, di dimensione m ed n sullo stesso campo di scalari R. Una APPLICAZIONE ƒ : V W viene definita APPLICAZIONE LINEARE od OMOMORFISMO se risulta, per

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli