Semantica dei programmi. La semantica dei programmi è la caratterizzazione matematica dei possibili comportamenti di un programma.

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1 Semantica dei programmi La semantica dei programmi è la caratterizzazione matematica dei possibili comportamenti di un programma. Semantica operazionale: associa ad ogni programma la sequenza delle sue computazioni. Il significato di un programma viene definito algoritmicamente attraverso le sequenze di computazione. Semantica denotazionale: associa ad ogni programma una funzione che ad ogni input restituisce un certo output. Questa funzione viene definita induttivamente, per ricorsione strutturale, sulla struttura dei programmi. 1

2 Alcuni richiami di logica del I Ordine - Sintassi Simboli logici: Connettivi proposizionali:,,,, Costanti logiche: true, false Quantificatori:, Uguaglianza: = Parentesi: (,) Var: un infinità contabile di variabili Simboli non logici: una base B = (F,P) F: collezione contabile di simboli funzionali P: collezione contabile di simboli relazionali 2

3 Alcuni richiami di logica del I Ordine - Sintassi (ctnd 1.) L insieme T B dei termini del linguaggio del I ordine di base B viene costruito induttivamente x Var, allora x T B c F, allora c T B f F con arietà n 1 e t 1,...,t n T B, allora f(t 1,...,t n ) T B 3

4 Alcuni richiami di logica del I Ordine - Sintassi (ctnd 2.) L insieme WFF B delle formule ben formate del linguaggio del I ordine di base B viene costruito induttivamente t 1,t 2 T B, allora t 1 = t 2 WFF B c P, allora c WFF B R P con arietà n 1 e t 1,...,t n T B, allora R(t 1,...,t n ) WFF B ϕ,ψ WFF B, allora ϕ WFF B ϕ ψ WFF B, {,,,, } x Var e ϕ WFF B, allora ( x)ϕ WFF B e ( x)ϕ sono in WFF B 4

5 Alcuni richiami di logica del I Ordine - Semantica Sia B = (F,P). Un interpretazione per B, I, è una coppia ordinata (D,I 0 ) tale che D I 0 è una mappa sui simboli di B definita come segue: c F, I 0 (c) = d, d D c P, I 0 (c) {true,false} f F con arietà n 1, I 0 (f) : D n D R P con arietà n 1, I 0 (R) : D n {true,false} Assegnamento σ : Var D L insieme degli assegnamenti per I è Σ I Funzionale che mappa ogni termine t T B in I(t) : Σ I D ed ogni formula w WFF B in I(w) : Σ I {true,false} 5

6 Linguaggio di programmazione flowchart Linguaggio di programmazione imperativo costruito a partire da assegnamenti e salti (condizionali ed incondizionali) Viene chiamato flowchart perché può essere anche rappresentato come un diagramma di flusso La sua definizione si basa sulla logica predicativa Simboli utilizzati dai programmi flowchart armamentario comune in logica predicativa (simboli logici e non logici) {:=,;,:,goto,if,then,else,fi} un infinità contabile di etichette Lab con due elementi distinti: begin ed end 6

7 Preliminari alla costruzione dei programmi flowchart 1. Termini e formule della logica predicativa 2. Comandi Assegnamento parallelo: l 1 : (x 1,...,x n ) := (t 1,...,t n ) ; goto l 2, n 1 con l 1,l 2 Lab, l 1 end, x 1,...,x n variabili distinte in Var, t 1,...,t n termini della logica predicativa Jump condizionale: l 1 : if e then goto l 2 else goto l 3 fi con l 1,l 2,l 3 Lab, l 1 end, l 2 l 3, e una formula della logica predicativa senza quantificatori 7

8 Costruzione dei programmi flowchart Un programma flowchart sulla base B = (F,P) viene definito come una sequenza finita e non vuota di comandi su B separati da ; Esso soddisfa le seguenti condizioni: 1. Le etichette delle occorrenze definenti sono tutte differenti 2. Ogni etichetta in una occorrenza applicata diversa da end ha anche una occorrenza definente 3. L etichetta begin ha un occorrenza definente L insieme di tutti i programmi flowchart viene indicato con L B 1 8

9 Semantica di un programma flowchart Sia B = (F,P) una base, I una interpretazione di B. Costruiamo un funzionale M I che associ ad ogni oggetto programma flowchart il suo significato Stati La collezione Σ I degli assegnamenti dell interpretazione I 9

10 Semantica di un programma flowchart (ctnd.) Configurazioni Una configurazione per una base B, un interpretazione I e un programma S è una coppia (l i,σ i ) in {l Lab l occorre in S} Σ I Come correlare insieme queste configurazioni? E possibile definire una relazione sulle configurazioni che descriva le transizioni eseguite durante l esecuzione del programma 10

11 Relazione di transizione Sia B = (F,P) una base, I una interpretazione di B ed S un programma flowchart La relazione di transizione S sull insieme di configurazioni di S viene definita (l 1,σ 1 ) S (l 2,σ 2 ) se e solo se vale una delle seguenti tre condizioni 1.C è in S un comando l 1 : (x 1,...,x n ) := (t 1,...,t n ); goto l 2 e σ 2 = σ 1 [x 1 /I(t 1 )(σ 1 ),...,x n /I(t n )(σ 1 )] 11

12 Relazione di transizione (ctnd.) 2.C è in S un comando l 1 : if e then goto l 2 else goto l 3 fi, I(e)(σ 1 ) = true e σ 2 = σ 1 3.C è in S un comando l 1 : if e then goto l 3 else goto l 2 fi, I(e)(σ 1 ) = false e σ 2 = σ 1 12

13 Sequenze di computazione dei programmi flowchart Sia S un programma flowchart e σ Σ I Una sequenza di computazione di S su input σ è una sequenza possibilmente infinita di configurazioni (l 0,σ 0 ),...,(l k,σ k ),[...] tale che l 0 = begin σ 0 = σ e per ogni coppia di configurazioni della sequenza (l i,σ i ),(l i+1,σ i+1 ), (l i,σ i ) S (l i+1,σ i+1 ) per i 0 13

14 Computazioni dei programmi flowchart Una sequenza di computazione di un programma S su un input σ che è infinita o finisce con una configurazione (l k,σ k ) tale che l k = end viene detta computazione di S su input σ Qualora la computazione sia finita, σ k viene detto lo stato di output Il programma S termina su input σ se (begin,σ) S (end,σ k ) 14

15 Semantica operazionale dei programmi flowchart Sia S L B 1 ed I una interpretazione di B Il significato del programma di flowchart S (nell interpretazione I) è la funzione M I (S) : Σ I Σ I definita da { σ se, con input σ, S termina con output σ M I (S)(σ) = indefinita altrimenti 15

16 Programmi while I programmi while sono di tipo imperativo e sono basati sulle nozioni di assegnamento if-then-else statement while loop La loro definizione è basata sulla logica predicativa 16

17 Sintassi dei programmi while Sia B = (F,P) una base per la logica predicativa Aggiungiamo i seguenti simboli {:=,;,if,then,else,fi,while,do,od} La definizione dei programmi while viene fatta per induzione A differenza dei programmi flowchart ogni statement è un programma 17

18 Costruzione di un programma while Sia B = (F,P) una base, allora l insieme L B 2 su B viene definito induttivamente dei programmi while a. Statement di assegnamento Per ogni variabile x Var e ogni termine t della logica predicativa x := t è un programma while b. Statement composto Siano S 1 ed S 2 due programmi while, allora S 1 ;S 2 è un programma while 18

19 Costruzione di un programma while (ctnd.) c. Statement condizionale Siano S 1,S 2 due programmi while ed e una formula della logica predicativa priva di quantificatori, allora if e then S 1 else S 2 fi è un programma while d. While loop Sia S 1 un programma while ed e una formula della logica predicativa priva di quantificatori, allora while e do S 1 od è un programma while 19

20 Semantica di un programma while Sia B = (F,P) una base, I una interpretazione di B. Costruiamo un funzionale M I che associ ad ogni oggetto programma while il suo significato Stati La collezione Σ I degli assegnamenti dell interpretazione I 20

21 Configurazioni Semantica di un programma while (ctnd.) Una configurazione per una base B e un interpretazione I di B è una coppia (S,σ) di elementi di (L B 2 {ǫ}) Σ I Come correlare insieme queste configurazioni? E possibile definire una relazione sulle configurazioni che descriva le transizioni eseguite durante l esecuzione del programma 21

22 Relazione di transizione Sia B = (F,P) una base ed I una interpretazione di B, allora la relazione di transizione sul prodotto cartesiano (L B 2 {ǫ}) Σ I delle configurazioni possibili in B viene definita (S 1,σ 1 ) (S 2,σ 2 ) se e solo se vale una delle seguenti condizioni 1.S 1 è il programma x := t; S 2 e σ 2 = σ 1 [x/i(t)(σ 1 )] 22

23 Relazione di transizione (ctnd 1.) 2.Ci sono dei programmi while S 1,S 2,S 3, e una e della logica predicativa senza quantificatori, tali che S 1 è if e then S { 1 else S 2 fi ; S 3 S S 2 è 1 ;S 3 se I(e)(σ 1) = true S 2 ;S 3 se I(e)(σ 1) = false e σ 2 = σ 1 3.Ci sono dei programmi while S 1,S 2, e una e della logica predicativa senza quantificatori, tali che S 1 è while e do S 1 od ; S 2 S 2 è { S 1 ;S 1 se I(e)(σ 1 ) = true se I(e)(σ 1 ) = false S 2 e σ 2 = σ 1 23

24 Relazione di transizione (ctnd 2.) 4.S 1 è il programma x := t, S 2 è il programma vuoto e σ 2 = σ 1 [x/i(t)(σ 1 )] 5.Ci sono programmi S 1, S 2, e una formula e della logica predicativa, priva di quantificatori, tali che S 1 è if e then S 1 else S 2 fi S 2 è { S 1 se I(e)(σ 1 ) = true S 2 se I(e)(σ 1) = false e σ 2 = σ 1 24

25 Relazione di transizione (ctnd 3.) 6.C è un programma S 1, e una formula e della logica predicativa, priva di quantificatori, tali che S 1 è while e do S 1 od e σ 2 = σ 1 S 2 è { S 1 ;S 1 se I(e)(σ 1 ) = true ǫ se I(e)(σ 1 ) = false 25

26 Sequenze di computazione Una sequenza di computazione di un programma while S per uno stato σ, detto stato di input, è una sequenza possibilmente infinita di configurazioni (S 0,σ 0 ),...,(S k,σ k ),[...] tale che S 0 = S, σ 0 = σ e, per ogni coppia di configurazioni consecutive nella sequenza, (S i,σ i ) (S i+1,σ i+1 ), i 0. 26

27 Computazioni Una sequenza di computazione si dice una computazione se è infinita o finisce con una configurazione (S k,σ k ) tale che S k = ǫ Qualora la computazione sia finita, σ k viene detto lo stato di output 27

28 Semantica operazionale dei programmi while Sia S L B 2 ed I una interpretazione di B Il significato del programma while S (nell interpretazione I) è la funzione M I (S) : Σ I Σ I definita da M I (S)(σ) = { σ se, su input σ, S termina con output σ indefinita altrimenti 28

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