RELAZIONI BINARIE. Proprietà delle relazioni Data una relazione R, definita in un insieme non vuoto U, si hanno le seguenti proprietà :

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1 RELAZIONI INARIE Dati due insiemi non vuoti, A detto dominio e detto codominio, eventualmente coincidenti, si chiama relazione binaria (o corrispondenza) di A in, e si indica con f : A, (oppure R ) una legge (o proprietà, o criterio) che consente di associare univocamente elementi A con elementi La legge f e gli insiemi A e individuano un sottoinsieme G del prodotto cartesiano A, detto grafico, formato dalle coppie (, ) che soddisfano la relazione Data la coppia (, ) appartenente al grafico G, si dice che è l immagine di, nella relazione f, e si indica con la notazione = f () ; mentre si dice che è controimmagine di e si indica con la notazione = f - () L Insieme di definizione della relazione f è l insieme f - () costituito da tutti gli elementi A che hanno un immagine in In simboli f - () = { A ( ) (, ) G } L insieme immagine della relazione f è l insieme f (A) costituito da tutti gli elementi che hanno una controimmagine in A A (, ) G } In simboli f (A) = { ( ) Esempio Dati gli insiemi A = {,,,, } e = {,,, } e la relazione G = {(, ) A + > 7}, la scrittura per elencazione del grafico è G = {(,), (,), (,), (,), (,), (,)} A A Diagramma sagittale Diagramma cartesiano La relazione f : A è vuota se nessun elemento di A è associato a qualche elemento di Data la relazione f : A di grafico G, si dice relazione inversa di f la relazione che indichiamo con f - : A che ha come grafico l insieme : G - = { (, ) A (, ) G } Proprietà delle relazioni Data una relazione R, definita in un insieme non vuoto U, si hanno le seguenti proprietà : Proprietà U si ha che R Proprietà Antiriflessiva U si ha che R/ Proprietà Simmetrica, U ( Se R ) ( R ) Proprietà, U ( Se R R ) ( = ) Proprietà,, z U ( Se R R z ) ( R z ) Proprietà,, U si ha che = R R z Matematica wwwmimmocorradoit

2 Relazione di equivalenza Una relazione R definita in un insieme non vuoto U, è una relazione di equivalenza se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, e viene indicata con il simbolo ~ Partizione Dato un insieme A, si dice partizione di A, e si indica con P A, la suddivisione dell insieme A in sottoinsiemi così definita : a) nessuno dei sottoinsiemi di A è vuoto; b) tutti i sottoinsiemi di A sono, a due a due, disgiunti; c) l unione di tutti i sottoinsiemi di A da l insieme A Classe di equivalenza In un insieme U in cui è assegnata una relazione di equivalenza R, si dice classe di equivalenza ogni sottoinsieme S non vuoto di U che gode delle seguenti proprietà : gli elementi di S sono tutti tra loro equivalenti (rispetto alla relazione R); ogni elemento di U che non appartiene ad S non è equivalente ad alcun elemento di S Teorema Ad ogni relazione di equivalenza R nell insieme U, corrisponde una partizione di U in classi di equivalenza Insieme quoziente Si chiama insieme quoziente di un insieme U, rispetto a una relazione di equivalenza R, e si indica con U/R l insieme che ha per elementi le classi di equivalenza di E, rispetto ad R Relazioni d ordine Data una relazione R nell insieme U, si dice che essa è una relazione di ordine largo se gode delle proprietà: riflessiva, antisimmetrica e transitiva Data una relazione R nell insieme U, si dice che essa è una relazione di ordine stretto se gode delle proprietà: antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva Data una relazione R nell insieme U, si dice che essa è una relazione di ordine totale se due elementi distinti qualsiasi di U sono confrontabili nella relazione R In simboli, U R R Data una relazione R nell insieme U, si dice che essa è una relazione di ordine parziale se esiste almeno una coppia di elementi non confrontabili, U R/ R/ Funzioni Una funzione è una relazione f : A che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento A f Matematica wwwmimmocorradoit

3 Relazioni particolari La relazione Identità su un insieme A, è la relazione R = {(, ) / A} La relazione Totale su un insieme A, è la relazione R = A A = {(, ) /, A} La relazione vuota è la relazione R =Ø Osservazioni La proprietà antisimmetrica dice che la coppia (,) e la sua simmetrica (,) soddisfano la relazione R soltanto in un caso, quando e sono uguali tra loro La proprietà di connessione dice che tutte le coppie del prodotto cartesiano AA sono confrontabili attraverso la relazione Ad esempio la relazione è minore di permette di confrontare tutti i numeri dell insieme N Prendendo a caso due numeri ed, si verifica sempre almeno una delle tre condizioni: = < < Mentre la relazione è multiplo di non permette di confrontare tutti i numeri dell insieme N Prendendo a caso due numeri ed, non si verifica sempre almeno una delle tre condizioni: = è multiplo di è multiplo di ; un controesempio è dato dalla coppia (, ) Non è detto che una relazione debba godere necessariamente di qualche proprietà Le relazioni dal punto di vista grafico Dal punto di vista grafico, in una rappresentazione cartesiana, una relazione è : Proprietà Grafico Il grafico contiene le coppie della diagonale ascendente del tipo (a, a) Simmetrica Il suo grafico è una figura simmetrica rispetto alla diagonale ascendente Il grafico contiene ad esempio le coppie (a, b) e (b, a) Le uniche coppie che hanno il loro simmetrico sono quelle che si trovano sulla diagonale ascendente Il grafico non contiene le coppie del tipo (a, b) e (b, a) Non esiste una regola Connessione Non esiste una regola Dal punto di vista grafico, in una rappresentazione sagittale, una relazione è : Proprietà Grafico Da ogni punto parte una freccia che ritorna al punto stesso Simmetrica Se c è una freccia da a b allora deve esserci una freccia da b a Connessione Se c è una freccia da a b e a b allora non deve esserci una freccia da b a Se c è una freccia da a b e una freccia da b c allora deve esserci una freccia da a c Ogni coppia di elementi distinti deve essere collegata da almeno una freccia Matematica wwwmimmocorradoit

4 Esempi {(, ) / } R = < {(, ) / } R = {(, ) / } R = = Matematica wwwmimmocorradoit

5 Esempi Sia A = { a,b,c} e R = {( a,a),( a,b),( b,a) } Simmetrica a b c Sia A = { a,b,c} e R = {( a,a),( b,b),( c,c),( a,b),( b,c),( c,a) } a b c Sia A = { a,b,c} e R = {( a,a)(, b,b)(, c,c)(, a,b),( b,a),( b,c),( c,b),( a,c),( c,a) } Simmetrica a b c Matematica wwwmimmocorradoit

6 Esempi Relazione Dominio Simmetrica = + N Z Q R No No Si No No è triplo di N No No Si No No è padre di Cittadini di una città No No Si No No = N Si Si Si Si No divide Z Si No No (*) Si No è multiplo di Z Si No No (*) Si No divide N Si No Si (*) Si No è multiplo di N Si No Si (*) Si No è simile a Figure del Piano Euclideo Si Si No Si No è parallela a Piano Euclideo Si Si No Si No Xè incidente a Piano Euclideo No Si No No No è perpendicolare a Piano Euclideo No Si No No No N - Z - Q R No Si No Si No < N Z Q R No No Si Si Si N Z Q R Si No Si Si Si P (A) Si No Si Si No P (A) No No Si Si No Se A = { a } e P(A)={ Ø,{ a }} Se A = { a } e P(A)={ Ø,{ a }} Si No Si Si Si No No Si Si Si è primo con N No Si No Si No + è pari N Si Si No Si No Identità Si Si Si Si No Totale Si Si No Si Si Vuota No Si Si Si Si Nota (*) - Nell insieme Z ( divide e divide ) non implica che ( = ) Infatti ( + divide - e - divide +) non implica che ( - = + ) Nell insieme N ( divide e divide ) implica che ( = ) Infatti ( + divide + e + divide +) implica che ( + = + ) Matematica wwwmimmocorradoit