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1 Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi precise, quanto un evento casuale sia probabile. Questa procedura quindi riesce a misurare la probabilità di tutti quegli eventi che vengono definiti casuali solo perché il loro verificarsi dipende da una serie di fattori non controllabili ma oggettivi. Poter misurare la probabilità di un evento permette di fare dei confronti e di stabilire, in una serie di eventi, qual è il più probabile. Dal punto di vista storico il primo matematico che si occupò di questo aspetto fu Blaise Pascal ( ). Pascal enunciò i fondamenti di questo calcolo che furono ripresi e ampliati più tardi da altri matematici come Jakob Bernoulli che scoprì la Legge dei grandi numeri. Spazio Campionario Il lancio di una moneta, l estrazione di un numero al lotto, il lancio di un dado sono esempi di fenomeni il cui esito dipende in modo imprevedibile dal caso: fenomeni di questo tipo, il cui risultato non può essere previsto con certezza, vengono detti esperimenti aleatori (o casuali). Si dice spazio campionario (o spazio degli eventi), e si indica con il simbolo Ω, l insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio. Dato uno spazio campionario Ω, si chiama evento ogni sottoinsieme di Ω. Un evento rappresentato dall intero spazio campionario è detto evento certo. Un evento rappresentato dall insieme vuoto è detto evento impossibile. Un evento rappresentato da un sottoinsieme proprio dello spazio campionario è detto evento aleatorio. Dato un evento, il suo evento contrario è quell evento che si verifica quando e solo quando non si verifica l evento. L evento contrario dell evento si indica con. Esempi Nell esperimento aleatorio lancio di un dado, lo spazio campionario è l insieme Ω= 1,2,3,4,5,6. L insieme = 1,3,5 rappresenta l evento =. L evento è un evento aleatorio. L evento contrario dell evento è l evento =. L evento = " è un evento certo. L evento = 7" è un evento impossibile. Probabilità di un evento La probabilità di un evento è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili (quando essi sono tutti ugualmente possibili). Esempi = Riprendendo gli esempi precedenti: 0 = 0< <1 1 = 3 6 =1 2 ; =6 6 =1 ; =0 6 =0 è è è Matematica 1

2 Probabilità dell evento contrario La probabilità dell evento contrario è: =1. Esempi Riprendendo l esempio precedente: =1 =1 1 2 =1 2. Evento unione Dati gli eventi A e B, relativi allo stesso spazio degli eventi, il loro evento unione,, è quell evento che si verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi dati. Evento intersezione Dati gli eventi A e B, relativi allo stesso spazio degli eventi, il loro evento intersezione,, è quell evento che si verifica quando si verificano contemporaneamente gli eventi dati. Eventi compatibili Due eventi, relativi allo stesso spazio degli eventi, si dicono incompatibili se il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro. In caso contrario si dicono compatibili. Teorema della somma (o Teorema della probabilità totale) = + + Esempio 1 Eventi incompatibili Dentro un urna vi sono 10 palline numerate. Calcolare la probabilità che, estraendo una pallina a caso, esca un multiplo del 3 o un multiplo del 5. = + = = Esempio 2 Eventi compatibili Dentro un urna vi sono 12 palline numerate. Consideriamo i seguenti eventi: ="esce un numero pari " ="esce un numero maggiore di 7 " = + = = 8 12 Matematica 2

3 Probabilità condizionata Esempio 1 eventi dipendenti Consideriamo il seguente esperimento aleatorio: Estrazione di una pallina numerata da un sacchetto contenente 12 palline numerate da 1 a 12. Consideriamo l evento = 3". La probabilità = =. Supponiamo adesso, che chi estrae la pallina, la vede e dica = È 9". Cosa si può dire ora della probabilità? L evento è condizionato dall evento : il verificarsi dell evento da informazioni aggiuntive sulla possibilità di verificarsi dell evento A. Indichiamo tale situazione con la simbologia: /, che si legge: Probabilità che si verifichi l evento A condizionato dal verificarsi dell evento B. Nel calcolo di questa probabilità occorre tenere presente che lo spazio degli eventi non è più fatto da 12, ma da 8 numeri. I casi favorevoli per / devono essere ricercati solo all interno del nuovo spazio degli eventi, che non è altro che. Quindi / = =. In questo caso l informazione aggiuntiva ha modificato la probabilità del verificarsi dell evento A, /. Esempio 2 eventi indipendenti Consideriamo ora il seguente esperimento aleatorio: Estrazione di una carta da un mazzo di carte napoletane. Consideriamo l evento = ". La probabilità = =. Supponiamo adesso, che chi estrae la carta, la vede e dica = È ". Cosa si può dire ora della probabilità? L evento è condizionato dall evento : il verificarsi dell evento da informazioni aggiuntive sulla possibilità di verificarsi dell evento A. Indichiamo tale situazione con la simbologia: /, che si legge: Probabilità che si verifichi l evento A condizionato dal verificarsi dell evento B. Nel calcolo di questa probabilità occorre tenere presente che lo spazio degli eventi non è più fatto da 40, ma da 10 carte. I casi favorevoli per / devono essere ricercati solo all interno del nuovo spazio degli eventi, che non è altro che. Quindi / =. In questo caso l informazione aggiuntiva non ha modificato la probabilità del verificarsi dell evento A, = /. Eventi dipendenti e indipendenti Due eventi si dicono dipendenti se /. Due eventi si dicono indipendenti se = /. Matematica 3

4 Teorema del prodotto (o Teorema della probabilità composta) Esempio 1 eventi indipendenti (con reimbussolamento) Consideriamo il seguente esperimento aleatorio: Un sacchetto contiene 3 palline numerate da 1 a 3. Dal sacchetto estraiamo una pallina e poi una seconda pallina, dopo che la prima pallina è stata rimessa nel sacchetto. Calcoliamo la probabilità che nelle due estrazioni successive vengono estratti due numeri dispari. Consideriamo gli eventi: = è ". = è ". = 2 3 = 2 3 I due eventi e sono indipendenti, poiché il verificarsi dell uno non altera la probabilità di verificarsi dell altro. Il problema può essere risolto mediante il diagramma cartesiano a lato. I casi possibili sono le nove coppie di coordinate dei punti del piano cartesiano. Mentre i casi favorevoli sono le quattro coppie: 1;1, 1;3, 3;1, 3;3. Pertanto la probabilità che nelle due estrazioni successive vengono estratti due numeri dispari è: = 4 9. Ma tale risultato non è altro che il prodotto delle probabilità dei due eventi e. Cioè: = Il problema poteva essere risolto anche utilizzando il diagramma ad albero raffigurato a lato. Matematica 4

5 Esempio 2 eventi dipendenti (senza reimbussolamento) Consideriamo il seguente esperimento aleatorio: Un sacchetto contiene 3 palline numerate da 1 a 3. Dal sacchetto estraiamo una pallina e poi una seconda pallina, senza rimettere la prima nel sacchetto. Calcoliamo la probabilità che nelle due estrazioni successive vengono estratti due numeri dispari. Consideriamo gli eventi: = è ". = è ". In questo caso però: = 2 3 = 1 2 I due eventi e sono dipendenti, poiché il verificarsi del primo evento altera la probabilità di verificarsi del secondo. Il problema può essere risolto mediante il diagramma cartesiano a lato. I casi possibili sono le sei coppie di coordinate dei punti del piano cartesiano. Non ci sono le coppie della diagonale principale, perché se esce un numero, esso non può ripetersi nella seconda estrazione. Mentre i casi favorevoli sono le due coppie: 1;3, 3;1. Pertanto la probabilità che nelle due estrazioni successive vengono estratti due numeri dispari è: = 2 6. Ma tale risultato non è altro che il prodotto delle probabilità e /. Cioè: = / Il problema poteva essere risolto anche utilizzando il diagramma ad albero raffigurato a lato. = =2 6. In conclusione si ha il seguente: Teorema del prodotto (o Teorema della probabilità composta) = / Matematica 5

6 Quesito D6 PROVA INVALSI Su una popolazione di 10 individui il 10% è affetto da una malattia, mentre il 90% è sano. Il test che diagnostica la presenza della malattia è affidabile solo parzialmente: nel 5% dei casi rileva la malattia su un individuo sano e nell 1% dei casi non rileva la malattia su un individuo malato. Il diagramma riassume la situazione: Utilizzando i dati del diagramma ad albero, completa la seguente tabella. Esito corretto del test Esito errato del test Totale Sani Malati Totale Qual è la probabilità che l esito del test sia corretto per una persona scelta a caso da quella popolazione? = =0,954=95,4% Oppure = = = =0,954=95,4% Qual è la probabilità che un individuo, preso a caso tra tutti quelli che hanno avuto un esito corretto al test, sia sano? Scrivi il risultato in percentuale con una cifra dopo la virgola. / = ,896 89,6%. Matematica 6

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