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1 ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno una bianca; (e) rossa bianca e nera nell ordine e senza ordine. (2) Supponete di avere tre carte di cui una presenta entrambi i lati rossi, una entrambi neri e l ultima uno rosso ed uno nero. Queste carte sono riposte in un cappello e senza guardare si estrae casualmente una carta che presenta il colore rosso da un lato. Qual è la probabilita che l altro lato sia nero? (3) Per determinare la presenza di una certa malattia si effettua un analisi del sangue. Il test è efficace nell individuare la malattia nel 99.9% dei casi, mentre se una persona è sana il 0.2% della volte da esito positivo (falso positivo). Se la prevalenza della malattia sulla popolazione è dello 0.5%, qual è la probabilità che una persona sia positiva al test? Se è positiva al test qual è la probabilità che sia effettivamente malata? Supponete ora che l incidenza della malattia è del 100% annuo, cioè ogni anno aumenta del 100 % rispetto al precedente. Qual è la probabilità che tra due anni che una persona positiva al test sia effettivamente malata? (4) Si dispongono di due freccette con le quali si vuole colpire un bersaglio. La probabilità di centrare il bersaglio con il primo e il secondo tiro è rispettivamente pari a 0.5 e 0.6. Supponendo i tiri indipendenti tra loro, calcolare la probabilità di: non fare nessun centro, 1 solo centro e almeno 1 centro. (5) Date due urne I e II, la prima contiene 3 palline bianche e 2 rosse, la seconda 2 bianche e 4 rosse. Se l estrazione dalle due urne è equiprobabile, rispondere alle seguenti domande. a) Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca? b) Sapendo che è stata estratta una pallina bianca, qual è la probabilità che essa provenga dalla prima urna? (6) Studiare le seguenti funzioni (determinare dominio, intersezione con gli assi cartesiani, eventuali simmetrie, segno, iti a ± e nei punti in cui non sono definite) a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1 (x + 2) 2 c) y = x 2 1 1

2 2 ESERCIZI (1) a) Utilizzando la formula della moltiplicazione: Soluzioni P (3 rosse) = P (prima rossa)p (seconda rossa prima rossa)p (terza rossa prima e seconda rossa) = In modo analogo: b) P (3 bianche) = c) Osserviamo che P (2 bianche 1 nera) = P (1 a bianca, 2 a bianca, 3 a nera) + P (1 a bianca, 2 a nera, 3 a bianca) Avremo, sempre per il teorema della moltiplicazione +P (1 a nera, 2 a bianca, 3 a bianca) P (1 a bianca, 2 a bianca, 3 a nera) = P (prima bianca)p (seconda bianca prima bianca) P (terza nera prima e seconda bianca) = Lo stesso risultato vale per gli altri casi per cui P (2 bianche 1 nera) = d) Conviene usare la relazione P (almeno 1 bianca ) = 1 P (nessuna bianca), e nuovamente per il teorema della moltiplicazione avremo; P (nessuna bianca) = , dove 17 rappresenta il numero di palline non bianche. e) Se le cerchiamo nell ordine, se le cerchiamo senz ordine, P (rossa, bianca, nera) = , P (rossa bianca e nera) = Dato che 6 sono i modi di ordinare 3 oggetti distinti: l evento A = { bianca rossa e nera senza ordine } è dato da A = {(R, B, N), (R, N, B), (N, B, R), (N, R, B), (B, R, N), (B, N, R)}. Utilizzando il diagramma ad albero si poteva rispondere alle domanda precedenti senza fare troppi conti. (2) Si indichiamo con RR e con RN e NN le tre carte, P (RN R) = = P (R RN)P (RN) P (R) = = 1 3, P (R RN)P (RN) P (R RN)P (RN) + P (R RR)P (RR) + P (R NN)P (NN) dove si è usato la formula di Bayes e il teorema della probabilità totale. Alla stessa conclusione si arrivava se si considerava lo spazio ridotto: S R = {RN, RR, RR} dove l evento RR va contato due volte poiché la carta RR, all estrazione dal cappello, può presentare in due modi il lato rosso.

3 ESERCIZI 3 (3) Indichiamo con M l evento il soggetto è malato e con E il test ha dato esito positivo. Viene richiesto di calcolare P (E M)P (M)P (E) P (M E) = P (E M)P (M) + P (E M c )P (M c ) = = 0.19, dove si è ancora una volta fatto uso della formula di Bayes e del teorema della probabilità totale. (4) Per i = 1, 2 indichiamo con A i = {la i-esima freccia raggiunge il bersaglio}. Osserviamo che l evento A = {nessuna freccia coplisce il bersaglio} = A c 1 A c 2, per cui ricordando che l ipotesi di indipendenza vale anche se si considerano gli insiemi complementari, P (A) = P (A c 1 A c 2) = P (A c 1)P (A c 2) = = 0.2. L insieme B = {una sola freccia colpisce il bersaglio} è composto dall unione dell evento A 1 A c 2, cioè la prima freccia colpisce il bersaglio e la seconda no, con l evento A c 1 A 2, cioè la prima freccia colpisce il bersaglio e la seconda no, quindi B = {una sola freccia colpisce il bersaglio} = (A 1 A c 2) (A c 1 A 2 ) = (B 1 B 2 ), dato che gli insiemi B i sono disgiunti, per l assioma (A3) P (B) = P (B 1 ) + P (B 2 ) = P (A 1 )P (A c 2) + P (A c 1)P (A 2 ) = = 0.5 Se C = {almeno 1 freccia ragguinge il bersaglio} allora P (C) = 1 P (C c ) = 1 P (A) = = 0.8 (5) a) Una pallina bianca può essere pescata dalla prima o dalla seconda urna: Se indichiamo con B = { pesco una pallina bianca } e con I = { estraggo dalla prima urna } e II = { estraggo dalla seconda urna } avremo B = (B I) (B II) e per il teorema della probabilità totale, P (B) = P (B I)P (I) + P (B II)P (II) = = 7 15 dove si sono utilizzati il fatto che 1 = P (I) + P (II) = 2P (I) dato che P (I) = P (II) e la definizione classica di probabilità, per calcolare P (B I) e P (B II) (l estrazione dalla prima e o seconda urna è di tipo casuale.) b) Per calcolare la probabilità a posteriori P (I B) si utilizza la formula di Bayes: P (I B) = P (B I)P (I) P (B) = 3/10 7/15 = (6) a) Il dominio è A = {x R : 2x + 2 0} = R \ { 1}; la funzione non gode di simmetrie dato che il dominio non è simmetrico rispetto all origine. Determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani: f(0) = 0 inoltre f(x) = 0 solo se 0 = = x(4) per cui quando x = 0 oppure x = 3/4, per cui le intersezioni con gli assi sono (0; 0) e ( 3/4; 0). Dato che segno (f) = segno () segno (2x + 2) per cui f(x) > 0 se x ] 1, 3/4[ ]0, + [. Calcoliamo i iti: x 2x + 2 = x 4/x x x 2 + 2/x = + 0 =

4 4 ESERCIZI e in modo analogo Inoltre x 2x + 2 = x 1 + 2x + 2 = + dato che f è positiva in un intorno destro di 1. Siccome f ha segno negativo in un intorno sinistro di 1, avremo che x 1 2x + 2 =. b) Il dominio è A = {x R : (x + 2) 2 0} = R \ { 2}; la funzione non gode di simmetrie dato che il dominio non è simmetrico rispetto all origine. Determiniamo le intersezioni con gli assi cartesiani: f(0) = 1 4 inoltre f(x) = 0 solo se 0 = 6x 2 x 1 = 0 cioè, utilizzando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, quando x = 1/2 oppure x = 1/3. Le intersezioni con gli assi cartesiani sono quindi (0; 1/4), (1/2; 0), ( 1/3; 0). Dato che segno (f) = segno (6x 2 x 1) segno ((x + 2) 2 ), siccome il denominatore ha sempre segno positivo, avremo f(x) > 0 se x ], 1/3[ ]1/2, + [. Calcoliamo i iti: 6x 2 x 1 6 1/x 1/x 2 x (x + 2) 2 = x (1 + 2/x) 2 = 6 e in modo analogo 6x 2 x 1 x (x + 2) 2 = 6 Inoltre 6x 2 x 1 x 2 (x + 2) 2 = + dato che f è positiva in un intorno destro di 2. c) Il dominio è A = { x R : } x Studiamo allora il segno della funzione f(x) = x+3 x 2 1. Tale funzione è definita se x ±1 inoltre segno (f) = segno () segno (x 2 1) per cui f(x) 0 se x A := [ 3, 1[ ]1, + [ che è anche il dominio di f. Osserviamo inoltre che tale funzione è sempre non negativa. Determiniamo le intersezione con gli assi: dato che 0 A, non ci sono intersezioni con l asse y; imponendo 0 = f(x) che è vera se e solo se f(x) = 0, cioè se e solo se x = 3, quindi ( 3; 0) è l unica intersezione con gli assi cartesiani. Calcoliamo i iti: x + x 2 1 = 1/x 3/x 2 1/x 3/x x + 1 1/x 2 = 2 x + 1 1/x 2 = 0.

5 ESERCIZI 5 per il teorema della composizione dei iti. Il ite a non esiste dato che la funzione non è definita se x < 3. Inoltre f(x) > 0 in un intorno destro di 1 e in uno sinistro di 1 per cui x 1 x 2 1 = x 1 + x 2 1 = +.

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